高中数学- 平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计一、教学目标设计《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求有以下三条：（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力.本节课的重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用;难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用.二、教学结构设计：本节课是一节概念教学课，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：（一）创设情境，由力对物体做功引出数量积，；（二）探究新知，认识数量积的定义及其几何意义；（三）理解新知，探究数量积的性质及其运算律；（四）运用新知，进行求解问题；（五）课堂小结，知道这节课学了什么；（六）布置作业，课下巩固完善.三、教学过程设计：（一）创设情境：SFSF的学习你有什么想法？若一个物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功等于多少？问题2：功是一个标量还是矢量，它是由哪些量来确定的？问题3：这种运算与前面学习的向量的加法、减法和实数与向量的积等线性运算一样吗？设计意图：以物理问题为背景，使学生了解数量积的物理背景，问题2是让学生知道数量积和向量的其他线性运算是一样的，都是向量的运算，但也有不同之处，有什么不同呢？引起大家学习兴趣，也为引入向量的数量积的概念做铺垫.（二）探究新知：1、数量积的定义：问题4：你能用文字语言描述力的做功公式吗？如果将公式中的力与位移推广到一般的向量，其结果又该如何表述？学生不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；推广到一般向量就是：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师引导，得出向量数量积的定义：已知两个非零向量和，我们把数量叫做与数量积（或内积），记作，即,其中是与的夹角.规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即注意：（1）两向量的数量积是一个数量；（2）是与的夹角，范围是；（3）两个向量的运算符号是用“”表示的，且不能省略.问题5：向量的数量积与前面我们学习的向量的加、减法和实数与向量的积等线性运算结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？引导学生完成下面表格：的范围0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符号设计意图：让学生认识到数量积与线性运算的不同之处，同时使大家注意到影响数量积大小的因素是两向量的夹角，从而为后面的性质与运算律的理解做铺垫.2、数量积的几何意义：还是由物理背景入手，在求解力对物体做功中，我们是先将力F正交分解，其在水平位移上的分力是，只有这个力做功了，同样在向量中，给定两个非零向量，它们的夹角为，我们也可以将分解，则OA1=,我们把叫做向量在方向上的投影.问题6:在方向上的投影是多少呢？问题7：根据投影的定义，你对数量积能有新的认识吗？设计意图：让大家认识投影的物理背景，并通过类比让学生进一步理解投影的概念，从而引出数量积的几何意义.（三）、理解新知：教师：（口答）练习1、已知，的夹角，求（1）在方向上的投影;（2）．（口答）练习2、已知，当时，求；（2）当时，求.问题8：你能将练习2中的结果推广到一般情况吗？试比较与的大小，你有什么结论？设计意图：通过练习进一步熟悉向量的数量积与投影的定义，同时通过夹角不同时数量积的运算，体会夹角与数量积符号的关系，也为后面运算性质的探究做准备.问题8的设计是让学生自己归纳出性质，培养学习中由特殊到一般的归纳能力，也让学生感受到发现规律的喜悦，提高学习的兴趣.探究：设为两个非零向量（1）；（判断向量垂直的又一条件）（2）当与同向时，；当与反向时，特别的或；（可以用来求向量的模）（3）.（注意等号成立的条件）问题9：实数的乘法运算有哪些运算律？这些运算律对于向量是否也适用呢？通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。已知向量、、和实数，则（1）（交换律）（2）(数乘结合律)（3）（分配率）探究1：你能推导出这些运算律吗？对于三个运算律的证明，（1）比较简单，让学生口述，而对于（2）让学生先自己推导然后，以实物展台的形式展示部分同学的过程，学生一般都只证明时的情况，我就适当引导还有和的情况，学生课下整理，最后（3）比较麻烦，由我引导，师生共同探究完成.探究2：向量数量积满足结合律吗？对于任意向量、、，是否成立.学生讨论，口述思路.探究3：对于任意向量、，下列等式是否成立？（1）；（2）.设计意图：通过类比实数的完全平方式和平方差公式发现数量积也满足相似的运算形式.（四）、运用新知：例1、（学生独立完成）已知，的夹角，求(1);（2）.学生口述过程，教师规范板书.例2、已知，且与不共线.为何值时，向量与互相垂直？学生口述思路，教师用课件放映过程.课本上给出的例题有4个，容量非常大，对于例1主要是数量积的性质和运算律的综合运用，所以在教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范.而对于例2，主要是教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理.（五）、课堂小结：本节课我们学习了哪些内容？引导学生回顾本节课所学内容，教师适当给与点评.知识方面：（1）平面向量数量积的定义及几何意义；（2）平面向量数量积的重要性质及运算律;方法方面：两直线的垂直可以借助数量积进行判断.思想方法：特殊到一般的归纳思想，数形结合思想及其类比思想.课下探究：对于向量，我们还学过利用坐标进行表示，类比向量的线性运算的学习，我们还应该怎么研究数量积？（为下节课的学习做铺垫）（六）、布置作业：（必做题）课本P108A组3，4（选做题）课本P108B组3，4四、板书设计2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、定义例1（过程）二、几何意义三、运算性质例2（过程）四、运算律学生在学习本章内容之前，已经熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，学习过任意角的三角函数和物理学中的力做功的知识，对于力对物体做功等简单的物理问题都能解决.而且在前面研究向量的加、减法和实数与向量的积等线性运算中就是通过其对应的物理背景和实数的运算中得到启发从而引出向量的运算的.所以我也采用从力对物体做功这个物理知识出发引导学生，得出数量积的定义，学生也应该很容易接受.但由于数量积与前面的线性运算有本质上的不同，两个向量通过这种运算后，得到的是一个数量，没有了方向，这点对于让学生当堂理解比较困难，可以让部分成绩好的同学课上探究解决其他同学课下处理，而且由于前面已经学习过实数乘法的性质及运算律，在探究数量积的性质及运算律时容易出现偏差，所以对于数量积的性质及其运算律的理解应该是本节课的难点.本节课是一节概念课，通过教学，基本上能完成本节课的全部内容，教学效果可以通过一下几个方面来评析：一是教学效率比较高，学生思维活跃，整堂课气氛比较热烈.由做功公式直接引出课题，过渡自然，中间设计的几个类比教学（与物理中的做功，线性运算的概念以及研究过程等进行类比）充分调动学生的学习积极性.大部分的问题都是让学生自主探究思考完成，部分难度大的题又让学生合作探究解决.二是学生受益面大，不同程度的学生在原有基础上都有进步.本节课的知识、能力、思想情操目标基本都能达成，并且让每一个学生都能有所收获.对于数量积概念的学习从易到难，有口答的问题，全班同学都能完成，也有需要合作探究的问题，为部分成绩比较好的同学提供扩展提升的空间.三是有效利用45分钟，学生学得轻松愉快，积极性高，当堂问题当堂解决，学生负担合理.通过课下学生的评测练习，基础题型基本都能完成，综合点的题目部分成绩好的同学能够完成，达到预期目标.存在的问题：由于对于概念的引导过快，部分同学只是死记住公式，套用公式，对公式理解上存在不足；对于数量积的运算律让学生探究时间过长，导致学生运用公式求解例2时间不够，部分同学课上没能很好消化.在整个高中的数学学习阶段，对于向量重点就是研究它的两种运算，即向量的线性运算和其数量积运算.而平面向量的数量积这节课就是在研究完向量的线性运算之后的又一个重要的运算，它把向量的长度和三角函数都联系了起来，这也为解决有关的几何问题提供了方便，所以也是高中数学的一个重要概念.本节内容教材共安排了两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算.本节课是第一课时，内容上包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律.是一节课内容，它是继向量的加、减法，实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是对前面所学知识的延续，又是学好后续知识的基础，起着承上启下的作用.本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力.同时在对数量积定义的认识方式上也与前面学习的向量的几种线性运算类比，感受它们的相似之处，并通过对比发现不同，从而进一步理解数量积.通过上面的分析，我们可以发现数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础.同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想.所以，我觉得本节课的教学目标可分为：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力.本节课的重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用;难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用.《平面向量数量积的物理背景及其含义》评测练习1.已知＝6，＝3，＝－12，则向量在向量方向上的投影是()A．－4 B．4C．－2 D．22.下列各式中正确的是（）（1）若,则，（2），（3）,（4）A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（4）.3.若向量,满足，与的夹角为，则=（）A.B.C.D.24.若||=||=|－|,则与+的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°5.如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则的值等于()A．0B．4C．8D．－46.已知||=1,||=，且(－)与垂直，则与的夹角为（）A．60°B．30°C．135°D．45°7.设，是相互垂直的单位向量，并且向量，，如果，那么实数x等于.8.等边三角形ABC的边长为1，，则=______.9.已知两单位向量与的夹角为，若，,试求（1）||；（2）与的夹角.10.已知||=5,||=4，且与的夹角为60°，求k为何值时,向量与互相垂直.参考答案1.A2.D3.B4.A5.B6.D7.8.9.解：（1）（2）,,,故与的夹角为10.解：（1）与互相垂直的条件是=0，即，也就是说，当时，向量与互相垂直.《平面向量数量积的物理背景及其含义》教后反思本节课最大的亮点就在于对于平面向量数量积的运算律的研究非常透彻，当然这也导致了本节课最大的不足，讲到最后时间上有点不足，我在设计的时候紧扣课题，平面向量数量积的定义及其几何意义都是从物理中的做功得到的启示从而得到的，所以引入全部围绕着物理做功层层深入，并且也充分利用了类比的思想，与向量的线性运算相类比来认识数量积，又通过它们的不同来理解概念，性质与运算律也都是与实数的内容进行类比，在讲解时很多东西都需要学生自己去对比，去探究，去练习，所以尽量教师别讲解的太多，给出一个线索，然后让学生大胆探究，尽量借组实物展台展示学生的过程，而教师主要进行引导和点评；由于内容比较多时间上很不好把握，尽可能合理分配，而且重点（平面向量数量积的概念）占用时间较少，难点内容（运算律）占用时间太多，导致后面处理例1和例2时时间不够，整体来说，是前后都紧中间松，还有在学习数量积的几何意义的时候分析的过于单调，没有结合图形让大家数形结合的进行理解，有些地方语言过度的也不是很自然，这些都应该是我以后教学中重点注意的地方.《平面向量数量积的物理背景及其含义》课标分析向量是近代数学中非常重要的数学概念之一，它是联系几何、代数与三角函数的一个桥梁，不仅其本身有着丰富的内容，更由于它在数学、