第六章 非线性规划(管理运筹学,李军)

本文格式为Word版，下载可任意编辑——第六章非线性规划(管理运筹学,李军)

非线性规划问题及其数学模型极值问题凸规划一维探寻无约束极值问题约束极值问题2023-1-281

1.非线性规划问题及其数学模型非线性规划问题举例：Example1:第82页例6-1Example2:第82页例6-2非线性规划问题的数学模型非线性规划问题的图示

2023-1-28

1.1非线性规划问题举例Example1:某商店经销A、B两种产品，售价分别为20和380元。据统计，售出一件A产品的平均时间为0.5小时，而售出一件B产品的平均时间与其销售的数量成正比，表达式为1+0.2n。若该商店总的营业时间为1000小时，试确定使其营业额最大的营业计划。2023-1-283

1.1非线性规划问题举例[解]设x1和x2分别为商店经销A、B两种产品的件数，于是有如下数学模型：maxf(x)20x1380x2

0.5x1x20.2x100022

x10,x202023-1-284

1.1非线性规划问题举例Example2:在层次分析(AnalyticHierarchyProcess,简记为AHP)中，为进行多属性的综合评价，需要确定每个属性的相对重要性，即它们的权重。为此，将各属性进行两两比较，从而得出如下判断矩阵：

2023-1-28

1.1非线性规划问题举例J=

a11……an1…

a1n…ann

,

其中：aij是第i个属性与第j个属性的重要性之比。

2023-1-28

1.1非线性规划问题举例现需要从判断矩阵求出各属性的权重，为使求出的权重向量W在最小二乘意义上能最好地反映判断矩阵的估计，由aij=wi/wj可得：minf(w)(aww)nn2

wi1

n

i1

j1

ij

j

i

i

1

wi02023-1-287

1.2非线性规划问题的数学模型minf(X),XEs.t.n

hi(X)0,(i1,2,,m)gj(X)0,(j1,2,,l)

其中X(x1,x2,,xn)T是n维欧氏空间En中的向量点。

2023-1-28

1.2非线性规划问题的数学模型由于，maxf(X)min[f(X)],“≤〞不等式仅乘“-1〞即可转换为“≥〞不等式；因此上述数学模型具有一般意义。又由于等价于两hi(X)0个不等式：;hi(X)0,因此非线性规划的数学模型也可以表示为：minf(X),XEngj(X)0,(j1,2,,l)2023-1-289

1.3非线性规划问题的图示minf(X)(x12)(x22)22

h(X)x1x260若令其目标函数f(X)=c,目标函数成为一条曲线或一张曲面；寻常称为等值线或等值面。此例，若设f(X)=2和f(X)=4可得两个圆形等值线，见下图：2023-1-2810

1.3非线性规划问题的图示x26

f(X)=4320x1236

f(X)=2

由左图可见,等值线f(X)=2和约束条件直线6-6相切，切点D即为此问题的最优解，X*=(3,3),其目标函数值f(X*)=2。

2023-1-28

1.3非线性规划

问题的图示在此例中，约束h(X)x1x260对最优解发生了影响，若以h(X)x1x260代替原约束，则非线性规划的最优解是X(2,2),即图中的C点，此时f(X)0。由于最优点位于可行域的内部，故事实上约束h(X)x1x260并未发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。

2023-1-28

1.3非线性规划问题的图示[注]线性规划存在最优解，最优解只能在其可行域的边缘上(特别能在可行域的顶点上)得到；而非线性规划的最优解(如果存在)则可能在可行域的任意一点上得到。

2023-1-28

2.极值问题局部极值与全局极值极值点存在的条件凸函数和凹函数凸函数的性质函数凸性的判定

2023-1-28

2.1局部极值与全局极值线性规划最优解非线性规划局部最优解全局最优解未必全局最优

2023-1-28

局部极值对于X-X*均有不等式f(X)≥f(X*),则称X*为f(X)在R上的局部微小点，f(X*)为局部微小值；对于X-X*均有不等式f(X)f(X*),则称X*为f(X)在R上的严格局部微小点，f(X*)为严格局部微小值；

2023-1-28

全局极值对于X,X*∈R均有不等式f(X)≥f(X*),则称X*为f(X)在R上的全局微小点，f(X*)为全局微小值；对于X,X*∈R均有不等式f(X)f(X*),则称X*为f(X)在R上的严格全局微小点，f(X*)为严格全局微小值。2023-1-2817

2.2极值点存在的条件必要条件设R是En上的一个开集，f(X)在R上有一阶连续偏导数，且在点XR取得局部极值，则必有

或

f(X)x1

f(X)x2

f(X)xn

0

f(X)02023-1-2818

必要条件f(X)f(X)f(X