第八章 向量法

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第8章

相量法正弦稳态电路的分析方法正弦稳态电路的分析方法

重点：重点：正弦量的表示、相位差、有效值；1.正弦量的表示、相位差、有效值；2.正弦量的相量表示；正弦量的相量表示；电路定理的相量形式；3.电路定理的相量形式；难点：难点：正弦量和相量之间的关系、正弦量和相量之间的关系、图形结合求解简单的正弦电路

一、正弦量的基本概念1.正弦量随时间按正弦规律变化的电压或电流等物理量,统称为正弦量统称为正弦量。物理量统称为正弦量。

瞬时值表达式：波形：瞬时值表达式：波形：i(t)=Imcos(ωt+ψi)u(t)=Umcos(ωt+ψu)正弦稳态电路：正弦稳态电路：鼓舞和响应均为正弦量的电路

i

TOw=2π/T=2πft

ψ/ω

1f=T

正弦信号是一种基本信号，正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。

f(t)=∑Akcos(kωt+θk)k=1

n

2.正弦量的三要素

i(t)=Imcos(ωt+ψ)

(1)幅值振幅、最大值)(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。角频率(angularfrequency)ω(2)角频率相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。

ω=2πf=2πT

单位：单位：rad/s,弧度/秒iImOT2ππtωt

(3)初相位(3)初相位(initialphaseangle)ψ初相位

它反映了电流i(t)的初它反映了电流的初始值，始值，即t=0的电流值ψψω的电流值/i(0)=Imcosψ

周期性电流、3.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值(effectivevalue)定义周期电流、电压有效值定义交流i交流R直流IR直流

物理意义

W=RIT2

W=∫R(t)dti20

T

电流有效值定义为

1T2I=∫0i(t)dtTdef

有效值也称方均根值

同样，可定义电压有效值：同样，可定义电压有效值：正弦电流、电压的有效值正弦电流、设i(t)=Imcos(ωt+Ψ)

U=

def

1T

∫

T

0

u2(t)dt

1T2I=Imcos2(ωt+Ψ)dt∫0T∵

∫

T

0

cos(ωt+Ψ)dt=∫2

T

0

1+cos2(ωt+Ψ)1dt=t22

T0

1=T2

12TImIm=∴I==0.707ImT22

Im=2I

i(t)=Imcos(ωt+Ψ)=2Icos(ωt+Ψ)

同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：1U=UmUm=2U或2若一交流电压有效值为U=220V,则其最大值为m≈311V;若一交

流电压有效值为，则其最大值为U;U=380V,,Um≈537V。。注(1)工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。(2)测量中，交流测量仪表指示的电压、电流测量中，交流测量仪表指示的电压、读数一般为有效值。读数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、(3)区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。值的符号。

i,Im,I

4.同频率正弦量的相位差(phasedifference)。。设u(t)=Umcos(ωt+ψu),i(t)=Imcos(ωt+ψi)则相位差：=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi等于初相位之差规定：规定：||≤π(180)。。

0,u超前角，或i落后角(u比i先到达最超前I,落后u,超前先到达最大值)大值);u,iui

ψuψi0,i超前u,角，或u滞后i角,i比u先到达最，大值。大值。

O

ωt

特别相位关系：特别相位关系：=0,同相：同相：u,iui0

=π(180o),反相：反相：πu,iu0u,iui0iωt

ωt

=π/2:正交π/2u领先iπ/2;u落后iπ/2。π/2落后π/2

ωt相位差的具体含义？?体含义？?

两个正弦量进行相位比较时应满足同频同函数、同符号，率、同函数、同符号，且在主值范围比较。

计算以下两正弦量的相位差。例计算以下两正弦量的相位差。(1i1(t)=10cos(100πt+300))i2(t)=10sin(100πt150)(2)u1(t)=10cos(100πt+300)u2(t)=10cos(200πt+450)(3)i1(t)=5cos(100πt300)i2(t)=3cos(100πt+300)

解

i2(t)=10cos(100πt1050)=300(1050)=1350

ω1≠ω2不能比较相位差

i2(t)=3cos(100πt1500)=300(1500)=1200

二、正弦量的相量表示1、正弦稳态电路的特点、正弦稳态电路的特点:假使鼓舞是一组同频率的正弦量,那么线假使鼓舞是一组同频率的正弦量那么线性电路中的响应也为同频率的正弦量.性电路中的响应也为同频率的正弦量+iu_RCL

电路处于稳态时,同频率的正弦量之间仅存有效值电路处于稳态时同频率的正弦量之间仅存有效值(或最大值、初相上存在差异与联系。或最大值)、或最大值初相上存在差异与联系。

2、复数及运算复数A的表示形式复数的表示形式Imb

A=a+jb(j=1为虚数单位)

A

ImbRe

A|A|

0

a

θ0ajθ

Re

A=a+jbjθ

A=|A|e

A=|A|e=|A|(cosθ+jsinθ)=a+jbA=|A|e=|A|∠θjθ

复数运算(1)加减运算(1)加减运算——采用代数形式加减运算采用代数形式若则图解法ImA2A10Re

A1=a1+jb1,A2=a2+jb2A1A2=(a1

a2)+j(b1b2)

例1.

5∠47+10∠25=?

解5∠47+10∠25=(3.41+j3.657)+(9.063j4.226)

=12.47j0.569=12.48∠2.61

乘除运算——采用极坐标形式(2)乘除运算采用极坐标形式若A1=|A1|θ1,A2=|A2|θ21212

则:AA=AejθAejθ=AAej(θ+θ)121212=AA∠θ1+θ212

乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。

A|A|∠θ1|A|ejθ1|A|j(θ1θ2)1=1=1jθ2=1eA|A|∠θ2|A|e|A|2222|A|=1θ1θ2|A|2

除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。

旋转因子：(3)旋转因子：Im

AejθθARe

∠复数ejθ=cosθ+jsinθ=1∠θ0

Aejθ相当于A逆时针旋转一个角度θ,而模相当于逆时针旋转一个角度不变。称为旋转因子。不变。故把ejθ称为旋转因子。

几种不同θ几种不同θ值时的旋转因子

Im

θ=ej

π2

+jI0

I

,

π2

=cos

π2

+jsinπ

π2

RejI

=+j

I

θ=,e2

π

j()2

θ=π,e

=cos()+jsin()=j22

π

π

j(π)

=cos(π)+jsin(π)=1

都可以看成旋转因子。故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。

3、正弦量的相量表示——有效值相量有效值相量

i(t)=2Icos(ωt+Ψ)I=I∠Ψ=Ieu(t)=2cos(ωt+θ)U=U∠=UjθUθe相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位

jψ

——最大值相量最大值相量

Im=Ime

jψ

=Im∠Ψ=Um∠θ

Um=Ume

jθ

例1已知

解o

i=141.4cos(314t+30)Au=311.1cos(314t60o)V试用相量表示i,试用相量表示u.例2

I=100∠30Ao

U=220∠60Vo

已I=50∠Af=50H知15,z试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。

i=502cos(314t+15)A

相量图把相量表示在复平面上就叫相量图

i(t)=2Icos(ωt+Ψ)→I=I∠Ψ

u(t)=2Ucos(ωt+θ)→U=U∠θjθ

UI

Ψ

0

+1

4.相量法的应用(1)同频率正弦量的加减u1(t)=2U1cos(ωt+Ψ1)=Re(2U1ejωt)

u2(t)=2U2cos(ωt+Ψ2)=Re(2U2ejωt)jωtu(t)=u1(t)+u2(t)=Re(2U1e)+Re(2U2ejωt)=Re(2U1e

jωt

+2U2e)=Re(2(U1+U2)ejωt)

jωt

可得其相量关系为：可得其相量关系为：U=U1+U2故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。成对应相量的相加减运算。

Ui1i2=i3

I1I2=I3

例

u1(t)=62cos(314t+30)Vu2(t)=42cos(314t+60o)V

U1=6∠30o