线性方程组的应用

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线性方程组的应用线性方程组在现实中的应用

线性方程组在现实生活中的应用十分广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。为了更好的运用这种理论，必需在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.

一、线性方程组的表示

1.依照线性方程组的形式表示有三种1）一般形式的表示

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a2nxn?b2?...??ax?ax?...?ax?bn22nnnn?n11

2）向量形式：

x1?1?x2?2?...?xn?n??

3）矩阵形式的表示：

AX??,A???1,?2,...,?n?X??x1,x2,...,xn?T

?0特别地，当?AX???0时，AX??称为齐次线性方程组，而当?时，

称为非齐次线性方程组

2.依照次数分类又可分为两类1）齐次线性方程组2）非齐次线性方程组二、线性方程组的应用1.在经济平衡中的应用

假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成，每个行业的产出在各个行业中的分派见表1-1，每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。以其次列为例，能源行业的总产出的分派如下：80%分派到五金化工行业，10%分派到机械行业，余下的供本行业使用。由于考虑了所有的产出，所以每一列的小数加起来必需等于1。把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格（即货币价值）分别用p1,p2,p3表示。

试求出访得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格。

表1-2经济系统的平衡产出分派

五金化工能源0.20.30.5

0.80.10.1

机械0.40.40.2

购买者

五金化工能源机械

解：从表1-2可以看出，沿列表示每个行业的产出分派到何处，沿行表示每个行业所需的投入。例如，第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产

出，由于三个行业的总产出价格分别是p行业必需分别向三个行业支付0.2p的总支出为0.2p111,p2,p3，因此五金化工

,0.8p2,0.4p3元。五金化工行业

为了使五金化工行业的收入p1等于?0.8p2?0.4p3。

它的支出，因此希望

p1?0.2p1?0.8p2?0.4p3。

采用类似的方法处理表1-2中第2、3行，同上式一起构成齐次线性方程组

?p1?0.2p1?0.8p2?0.4p3??p2?0.3p1?0.1p2?0.4p3??p3?0.5p1?0.1p2?0.2p3?p1??1.417?该方程组的通解为?p2??p3?0.917????1.000????p3?

，此即经济系统的平衡价格向量，

每个p的非负取值都确定一个平衡价格的取值。例如，我们取p33为1.000亿元，则p1?1.417亿元，p2?0.917亿元。即假使五金化

工行业产出价格为1.417亿元，则能源行业产出价格为0.917亿元，机械行业的产出价格为1.000亿元，那么每个行业的收入和支出相等。

2.在物理电路中的应用

设各节点的电流如下图，则由基尔霍夫第一定律（简记为KCL）即电路中任一节点处各支路电流之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在任一瞬时恒为零（寻常把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流定律），有

对于节点A：i1?i4?i6?0;对于节点B：i2?i4?i5?0;对于节点C：i3?i6?i5?0;对于节点D：i1?i3?i2?0.于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解

?i4?i6?0,?i1?i2?i4?i5?0,??i3?i5?i6?0,???0.?i1?i2?i3?i1?i?2解之，得其解为?i3??i4?i5??i6??1??0??1????????110?????????0??1???1?其中:k,k,k?R

123??k1???k2???k3?????1??0??0???0??1??0????????001???????由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的3个任意常数应满足以下条件：

k1?0,k2?k3??k1.

假使k1??1,k2?3,k3?2,则：i1?1,i2?2,i3?1,i4?1,i5?3,i6?2.

3.在减肥食谱中的应用

下表是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。

营养每100克食物所含营养（g）脱脂牛奶大豆面粉51347乳清13741.1减肥所要求的每日营养量33453蛋白质碳水化合物脂肪36520假使用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面确凿地实现这个营养要求？

以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位，大豆面粉x2个单位，乳清

x3个单位，则由所给条件得

?36x1?51x2?13x3?33,??52x1?34x2?74x3?45,?7x2?1.1x3?3.?解上方程组得，解为

x1?0.2772,x2?0.3919,x3?0.2332.

即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。三、应用总结

线性方程组的理论应用已经渗透到数学发展的大