线性方程组在中学数学中的应用

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线性方程组在中学数学中的应用

摘要

基于中学数学中的有些问题可以转化为线性方程组来解决，使得繁杂的问题变得简单。线性方程组是由几个变量之间组成的相互关系，在中学数学中大多都是两个未知量或三个未知量组成的齐次线性方程组，而求解线性方程组大多进行变形，用消元法进行，一般解都具有唯一性，只有少数部分的解不唯一。本文对线性方程组在中学数学代数和几何中的应用进行了研究。

分析：由等比数列的求和公式为：Sn?只需求出等比数列?an?的q与a1。

解：由已知得：

a1?1?qn?1?q得到limSn?n??a1，所以要求limSn的值，

n??1?q?a1?1?q?q2??18??2aq1?q?q????9?1?得到：q??（）1

121818??242111?q?q1??24a24得：limSn?1??16。

n??1?q1?12再代入（1）式得：a1?综上所述，已知数列各量之间的关系可以运用线性方程组求出。

例3（2023年XX省公务员·A类·54）已知一个数列为等差数列，有a2=21,a4=31，若an?516则这个数列的前n项的平均数为多少？

分析：要求数列前n项的平均数又已知an，故只需求出a1即可，而a1可由a2,a4得到，由于前n项和公式Sn?n?a1?an??平均数?n，。2?a2?a1?d?21

?a4?a1?3d?31解：由题意可知;?得：a1?16由Sn?n?a1?an??平均数?n2a1?an?16+516?==266得：平均数=22综上所述，已知数列的任意两项以及前n项，要求前n项的平均数，只需要根据他们之间的相互关系建立线性方程组，根据前n项和可求出平均数。

3.2不等式方面的应用

用“大于号（＞）〞、“小于号（＜）〞、“不等号（≠）〞、“大于等于（≥）〞或“小于等于（≤）〞

3

连接起来并具有大小关系的式子叫做不等式。把含有两个及其两个以上的未知量，且未知量的次数都为1的不等式联立起来的不等式称为不等式组。

711例4已知log33，证明：不等式ab?bc?ac＜成立。?a,log377?b,log21?c54分析：对于解决此题，可以直接把数值代入，利用均值不等式就可证明，这里主要介绍的是用线性方程组解决的方法。

711证：把log33?a,log377?b,log21?c

7?log33?a?ln7?aln3?aln11?0?3变形为：?log77?b?ln3?bln7?bln11?0

?111137log?c?ln?cln?cln?021???aln3+ln7?aln11?0?得到：?ln3?bln7?bln11?0

??cln3?cln7+ln11?0?上述方程是关于ln,ln,ln的一个齐次线性方程组，ln,ln,ln都不等于零，所以方程组有非零解，他们的系数行列式为零。

37113711?a1?a有：1?b?b?0，

?c?c1化简得：ab?bc?ac=1+abc

7112abc?2log33?log3?log77212ln7ln3ln11?3??，ln?ln11ln7?ln11ln3?ln7ln7?ln3?ln111＜2?2ln3?ln112ln7?ln112ln3?ln74故：ab?bc?ac＜1+15=44综上所述，由他们之间的关系，联立线性方程组，再结合均值不等式就可证明出。

例5已知要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

表2-2

类型第一张钢板其次种钢板

A规格21

4

B规格12

C规格13

现分别需要A,B,C三种规格的产品为15,18,27块，则要分别截这两种钢板多少张，可得所需A,B,C三种规格成品，使得所用钢板的张数最少？

解：设需截第一种钢板x张，其次种钢板y张，共需截这两张钢板z张，则

?2x?y?15?x?2y?18???x?3y?27?x?0???y?0

目标函数为：z?x?y

图3-1

得到图3-1的平面区域（阴影部分）为可行域。由图3-1可以看出，当直线z?x?y经过可行域上的点M时，截距z最小。解方程组：??x?3y?27，

2x?y?15?得???1839?为点M的坐标，，???55?1839?1839?，不是整数，所以点??5，5??不是最优解，经过可行域内的整数点，得到B（3,9）55??

由于

和C（4,8），是最优解。

综上所述，线性规划的问题要结合线性方程组进行求解。3.2三角恒等式方面的应用

例6已知sin??sin??1，cos??cos??0,求出cos?????。

分析：要解决此题，首先要找???与?和?的关系，题中解的是两角差的余弦，根据公式

cos??????cos?cos??sin?sin?就可以求出答案。重点是求出?和?的正弦和余弦，已知

sin??sin??1，cos??cos??0，就可以联立线性方程组求出?和?的正弦和余弦，代入公

式就可以求出。

?sin??sin??1解：由已知?

cos??cos??0?两式分别平方再相加得：2?2?sin?sin??cos?cos???1

5

化简得到：cos??????cos?cos??sin?sin???1。2综上所述，三角恒等式方面的问题，可以利用和角、差的问题，转化为线性方程组求解。3.3几何方面的应用

几何，即研究空间结构及性质的一门学科。与分析、代数等具有重要的地位，并且关系较为密切，是数学中最基本的研究内容之一。在中学数学中，我们主要学习的是平面几何，立体几何。

平面几何研究的是直线和二次曲线（即圆锥曲线，也就是椭圆、双曲线和抛物线），以及它们的几何结构和度量性质（包括长度、角度、面积）。平面几何采用的是公理化的方法。

立体几何是三维空间解析几何的研究范围，研究的是二次曲面的几何分类问题，二次曲面如球面，椭球面、锥面、双曲面。

例7已知两点为p1?8,?6?p2??2,0?，求满足条件的直线方程。

分析：已知两点要求直线方程，中学大多用两点式方程公式求解，运用两点式公式首先需要记住公式，最终还要化简。我们可以尝试用线性方程组的方法求解，两点式公式也是由线性方程组推导出来的。对于解决此题，我们首先设出直线方程的一般形式：ax?by?c?0，再列出线性方程组，根据线性方程组理论列出行列式化简就可得出。

解：设此直线方程为：ax?by?c?0

?ax?by?c?0?根据题意可得：?8a???6?b?c?0

??2a?c?0?这是一个关于a，b，c的齐次线性方程组，根据直线方程的a，b，c不同时为零，要使方程组有非零解，它的充分必要条件就是系数行列式为零。

xy1即：8?61?0，展开化简得：3x?5y?6?0

?201所以满足条件的直线方程为：3x?5y?6?0

综上所述，直接利用线性方程组与系数行列式的关系，展开行列式，得到直线方程。例8已知空间两直线l1与l2相交，直线l1过点p1??5,?1,?4?且与平面?：3x?y?4z?0平行，直线l2的方程为:

x?4y?2z?3??,求过直线l1的方程。132分析：对于此题，直线l1是可由p1??5,?1,?4?和它的方向向量v1来确定，直线l2也可由

?????p2??4,?2,?3?和它的方向向量v2?1,3,2?来确定，要求直线l1的方程，首先要找到p1p2,v1,v2的

6

相互关系，两直线l1与l2相交，可得p1p2,v1,v2?0。直线l1与平面?平行，联立线性方程组求解即可得出直线l1的方程

??。

解：设直线l1的方向向量为v1??X,Y,Z?。

根据题意可得：P1P2??1,?1,1?,v1??X,Y,Z?,v2??1,3,2?

1?11可知两直线l1与l2相交，即：XYZ?0,

132展开化简得：5X?Y?4Z?0

?5X?Y?4Z?0l直线1与平面?平行，即：?,

3X?Y?4Z?0?令Z为自由未知量，取Z=1。

?X?4?解得：?Y??16

?Z?1?所以直线l1的方程为：

x?5y?1z?4??。4?161综上所述，利用空间两直线的公式，列出行列式，结合线性方程组求出直线方程。3.5比例问题方面的应用

比例是各个部分在总体中的数量占总体数量的比重，反映的是总体的构成或结构。比例表示的是两个比相等的式子。判断两个比能否构成比例，就要看它们的比值是否相等。

例9已知实数xyz?0，满足条件

xyzx?y?z???，则x?y?z的值为多少？x?1y?2z?33分析：根据题意可以把k设为条件的比例值，把上述比例关系分别进行转化，再用含k的式子来表示x,y,z，要求x?y?z，事实上只需要求出k的值即可。

??????解：根据题意可得：???????x?kx?1y?ky?2，

z?kz?3x?y?z?k37

k?x??1?k?2k?通过化简整理得到：?y?

1?k?3k?z??1?k?把x,y,z的值代入x?y?z?3k,得到：

6k?3k1?k即k2?k?0，解得k?0（与题意不合）,或k??1。得到x?y?z??3。

例10设xyz?0，

y?zz?xx?y

?a,?b,?c,求证：a?b?c?abc?0

。

y?zz?xx?y证明：根据题意可知：y?z?a?y?z?,z?x?b?z?x?,x?y?c?x?y?。

??a?1?y??a?1?z?0?即：??b?1?x??b?1?z?0

??c?1?x??c?1?y?0?由于xyz?0，所以上述方程是关于x,y,z的齐次线性方程组，它有非零解，系数行列式为零。

0即：b?1a?1a?10b?1?0

c?1c?10行列式展开整理得：a?b?c?abc?0。例11若满足

q?rr?pp?q???k，且p?q?r?0,求k的值。pqr解：由已知得：q?r?pk,r?p?qk,p?q?rk

??kp?q?r?0?即：?p?kq?r?0，

?p?q?kr?0?上述方程是关于p,q,r的一个齐次线性方程组，由于p,q,r都在分母上，所以它们不同时为零，所以方程组有非零解，系数行列式为零。

?k11即：1?k1?0

8

11?k

展开整理得：?k?1?k2?k?2?0,即?k?1??k?2??0

2??得k??1或k?2。例12设a,b,c为正实数，求

3a?c6a?5b?4c3c

??的最小值。

3a?3b?2c3a?2b?c3a?2b?2c?x?3a?3b?2c?3a?c?3y?2xx?y?b+c???解：令?y?3a?2b?c，则：?，所以：?6a?5b?4c?z?x

?z?y?c?z?3a?2b?2c?c?z?y??从而得：

3a?c6a?5b?4c3c??

3a?3b?2c3a?2b?c3a?2b?2c?3y?2xz?y3?z?y???xyz3yxz3y???xyyz??5???5?23?23??17?43???当且仅当：????即

3yx??xy?x?3y，即：?时取等号。

z3y??z?3y?yz3a?c6a?5b?4c3c??取最小值，最小值为??17?43。

3a?3b?2c3a?2b?c3a?2b?2c综合上述的例子，可将比例问题转化为线性方程组问题，用线性方程组进行求解，便得出所求结果。

3.6方程有关方面的应用

在中学数学中，方程是含有未知数的等式。方程的定义不止一个，还有函数定义法，关系定义等，含未知数的等式也不一定就是方程，像0x=0这样的等式就不是方程，方程表示的是两个数学式（譬如两个数、量、运算、函数）之间有相等关系的等式，在这两者之间用等号连接，使等式成立的未知数的值叫做方程的“解〞或“根〞。

例13甲从距A地5m处出发，以50m/h的速度前进，同时，乙从距A地15m处与甲同向出发，以30m/h的速度前进，甲乙能否相遇？相遇时他们出发了多少小时？

解：设甲，乙在距A点y处相遇，相遇时间为x，对于甲y关于x的关系为：y?50x?5，对于乙y关于x的关系为：y?30x?15

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联立可得??y?50x?5，

?y?30x?15?x?0.5解得：?

y?30?甲，乙能相遇，相遇时出发了0.5h。

综上所述，将实际问题转化为数学问题，再转化为方程问题，建立线性方程组，用线性方程组求解。

例14把一堆书分给几名同学，若每人分得3本，则还剩余4本；若每名同学分5本，那么前面的同学每人都分得5本，只有最终一名分到1本，求这堆书有几本？共有几名同学?

分析：设学生有x名，根据题中“每人分得3本，则还剩余4本〞就可以用含x的代数式表示出这堆书，再依据“前面的同学每人都分得5本，只有最终一名分到1本〞列出不等式，进行求解，就可以求出有多少本书，多少名同学。

解：设有x名同学，y本书。根据题意可得：??y?3x?4，

y?5(x?1)?1?解得：??x?4

?y?16综上所述，剩余定理结合线性方程组进行求解。3.7实际问题

在生活中，有些问题线性方程组与实际问题的联系较为紧凑，用线性方程组来解决比较简便。例15若购买45件甲商品和18件乙商品要用990元，购买86件甲商品和32件B乙商品要用1880元，甲商品和乙商品打了一致的折扣后，买250件甲商品和300件乙商品用了5200元，打折后比打折前少花多少钱？

分析：根据题目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程组，再求解。得到甲商品和乙商品的原价，求出原价购买250件甲商品和300件乙商品与打折购买的差即解此题。

解：设甲商品的原价为x元，乙商品原价为y元。根据题意得：??45x?18y?990，

86x?32y?1880?解得：??x?20，

?y?5打折后与打折前的差为：?250?20?300?5??5200?1300故打折后比打折前少花1300元钱

综上所述，商品打折问题是生活中常遇到的问题，将其转化为线性方程组问题，会使问题简单

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易求解。

例16（2023年山东省公务员·54）某剧场A、B两间影视厅分别坐有观众43人和37人。假使将B厅的人往A厅调动，当A厅满座后，B厅内剩下的人数占B厅容量的

1。假使将A厅内剩下的2人往B厅调动，当B厅满座后，A厅内剩下的人数占A厅容量的

1。问B厅能容纳多少人？3分析：无论A厅和B厅的观众如何移动，观众的总人数都是固定不变的。解：设A厅能容纳x人，B=厅能容纳y人。

1?x?y?43?37??2根据题意得：??1x?y?43?37??3解得y=64

故B厅能容纳64人。

综上所述，实际生活中的问题也可以联立线性方程组进行求解。3.8其他方面的应用

线性方程组不仅在数列、不等式、方程、比例、几何、实际问题这六方面有应用，在其他方面也有广泛的应用。

例17已知x,y都是正整数，满足条件xy?x?y?42,xy?xy?360，求出x2?y2的值。分析：看到此类的题目常规方法是根据条件联立方程解出x,y的值，再代入x2?y2就可以得出。这种解法相对来说比较麻烦，若把xy,x?y分别看为一个整体为u,v，构造线性方程组进行求解，要简便一些。

解：把xy,x?y分别设为u,v。

则：xy?x?y?42可转化为u?v?42,xy?xy?360可转化为uv?360,

2222?u?v?42?u?30得到：?解得：?

uv?360v?12??2222根据平方差公式可得：x?y??x?y??2xy?u?v?756。

2例18已知函数

f?x??mx2?nx,x??1,3?,试确定m,n的关系式。

分析：要确定m,n的关系式，根据已知条件可从定义域入手，为了计算的便利，在取值过程中一般选择计算简便的值。

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?f?1??m?n?解：根据题意可得：?f?2??4m?2n,○1

?f?3??9m?3n??m?n?f?1??0?把方程组○1变形为：?4m?2n?f?2??0，○2

?9m?3n?f?3??0?此时，方程组○2可以看成是一个关于m,n,f(x)的一个齐次线性方程组，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：系数行列式为零。

11f?1?即：42f?2??0

93f?3?展开化简得：3f?1??3f?2??f?3??0○3

把○1式f?1?,f?2?,f?3?的值代入○3式得：3m?3n?12m?6n?9m?3n?24m?12n?0即：m??1n21n。2故m,n的关系式为：m??综合上述例子，处理多个变量函数的最值问题、求解函数表达式的问题，对于中学生是一个困难的问题，利用线性方程组，用特别的技巧进行处理。

4.终止语

在中学数学学习中，结合数学对应