人教A版高中数学必修五12应用举例测试(教师版)

1.2.解三角形应用举例（检测教师版）时间:40

分钟

总分：

60分班级：

姓名：一、选择题（共

6小题，每题

5分，共

30分）1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,A=30°,则其跨度AB的长为( )(A)12m(B)8m(C)3m(D)4m分析:由正弦定理得=,由题意得C=120°,B=30°,∴AB===4(m).应选D.答案:D2.如图

,为了丈量

A、B

两点间的距离

,在地面上选择适合的点

C,测得

AC=100m,BC=120m,∠ACB=60°,那么

A、B的距离为

(

)(A)20m(B)20m(C)500m(D)60m分析:由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos60=100°2+1202-2×100×120=12400,×∴AB=20(m),应选B.答案:B3.如下图,已知两座灯塔A和B与大海察看站C的距离都等于akm,灯塔A在察看站C的北偏东20°,灯塔B在察看站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )(A)akm(B)akm(C)akm(D)2akm22222a.应选B.分析:由题意得∠ACB=120°,AB=a+a-2acos120=3a°,∴AB=答案:B4．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸的长度(单位：m)是( )A．5B．10C．102D．103分析如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在△ABC中，AB＝10m，∠C＝30°，BCABABsin∠BAC10×2∠BAC＝75°－30°＝45°.由正弦定理得2sin∠BAC＝sinC.即BC＝sinC＝1＝22(m)．答案C5.在静水中划船的速度是每分钟40m,水流的速度是每分钟20m,假如船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线抵达对岸,那么船行进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )(A)15°(B)30°(C)45°(D)60°分析:如图,∵sin∠CAB==,∴∠CAB=30°,应选B.答案:B6.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟抵达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,则货轮的速度为( )(A)20(+)海里/时(B)20(-)海里/时(C)20(+)海里/时(D)20(-)海里/时分析:由题意得∠SNM=105°,∠NSM=30°,∴=,MN==,货轮速度v===20(-).应选B.答案:B二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7.张帅在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端至点C处测得顶端A的仰角为2θ继.续行进10m至

A的仰角为θ,沿BE方向行进30mD点,测得顶端A的仰角为4θ,则θ等于.分析:画出表示图,在△ABE中,AC=BC=30m,CD=DA=10m,∴cos∠ACD=cos2θ==?θ=15°.答案:15°8.如图,丈量河对岸的塔高AB时,能够选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=.分析:由题意可知在△BCD中,∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,则∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°.由正弦定理可得BC===15.又在

Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan∠ACB=15

×

=15

(米).答案:15米三、解答题（共

2小题，每题

10分，共

20分）9.甲船在

A处察看到乙船在它的北偏东

60°方向的

B处,两船相距

a海里,乙船正向北行驶

,若甲船速度是乙船速度的

倍,问甲船应取什么方向行进才能在最短时间内追上乙船

?此时乙船行驶了多少海里

?解:设甲船沿直线行驶与乙船同时到C点,则A、B、C组成△ABC,如图.设乙船速度为v,则甲船速度为v,设抵达C处用时为t.由题意,BC=vt,AC=vt,∠ABC=120°.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120,∴°3v2t2=a2+v2t2+avt.2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-(舍去)或vt=a.∴BC=a,在△ABC中AB=BC=a,∴∠BAC=∠ACB=30°,60°-30°=30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船,此时乙船行驶了a海里.10.如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,丈量船于水面A处测得B、D两点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B、D两点的仰角分别为60°,60°,AC=0.1km,尝试究图中哪两点间距离与BD相等,并求BD(计算结果精准到0.01km,≈1.414,≈2.449)解:在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,∴CD=AC,又∵∠BCD=180°-60°-60°=60°