第九章傅立叶变换与频域分析

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介绍了傅立叶变换以及频域分析

第九章傅立叶变换与频域分析傅立叶变换及其意义(第一节傅立叶变换及其意义(FourierTransform))快速傅立叶变换(Transform)其次节快速傅立叶变换(FastFourierTransform)傅立叶变换的性质(第三节傅立叶变换的性质(PropertiesoftheFourierTransform))第四节频域分析(FrequencyDomainanalysis)频域分析()频域分辩率和谱图表示(第五节频域分辩率和谱图表示(FrequencyResolutioninFrequencyDomain))幅值平方相干函数(第六节幅值平方相干函数(Magnitude-SquaredCoherentFunction))频域滤波(第七节频域滤波(FilteringinFrequencyDomain))

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第一节傅立叶变换及其意义(FourierTransform))9.1.1傅立叶变换的意义及各种变换对x(n)ejw0nx(n)Akejwkn∑k

y(n)

H(ejw)

H(ejw0)ejw0n

图9.1

y(n)

H(ejw)

AkH(ejwk)ejwkn∑k

假使一个LTI系统的输入可以表示为周期复指数的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式，并且输出线性组合中的加权系数与输入中对应的系数有关。2

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各种信号的傅立叶级数和傅立叶变换对：

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傅立叶变换的意义把一个无论多繁杂的输入信号分解成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能通过图9.1的关系表达成一致复指数信号的线性组合，并且在输出中的每一个频率的复指数函数上乘以系统在那个频率的频率响应值。一个域离散必然另外一个域周期，相反的，假使一个域连续必然另外一个域是非周期的。

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9.1.2离散傅立叶变换(DFT)X(k)=DFT[x(n)]=∑x(n)en=0N1j2πknN

,0≤k≤N1

jnk1N1x(n)=IDFT[X(k)]=∑X(k)eN,0≤n≤N1Nk=0

2π

离散傅立叶变换的导出有多种方法，比较便利，同时物理意义也比较明了，是从离散时间傅立叶变换(DTFT)和从离散傅立叶级数(DFS)入手。5

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试计算常用信号RN(n)和4πcos(n)R(n)的N点DFT。NN

解：

N,k=02π2πN1jknjkNX1(k)=∑RN(n)eN=1eN=Nδ(k),0≤k≤N1,,n=0j2πk=0,k=12LN11eNN12π2π2π

jkn4π1N1jNn(k2)1N1jNn(2+k)X2(k)=∑cos(n)eN=∑e+∑eN2n=02n=0n=0

N1N1jNn(2+kN)NX2(k)=δ(k2)+∑e=[δ(k2)+δ(k(N2))],0≤k≤N122n=02

2π

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WN=e周期性:nN

j

2πN

旋转因子具有以下性质：

W=WnN

n+rNN

共轭对称性:

W=(W)mNnN/r

n*N

可约性:

W=W

W=WmrN

mN

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其次节快速傅立叶变换(FastFourierTransform)Transform)FFT是对计算DFT的快速算法的总称，FFT算法好多，最经典的一种就是库利-图基算法，包括

基于时间抽选和频率抽选的以二为基底的FFT算法；由以二为基底发展了任意基数的FFT算法。

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设序列的长度N=2m,其中m为正整数，假使不满足该条件，可以通过补零方法来达到该条件。既然点长为偶数，就先把序列分成两组，偶数项为一组，奇数项为一组，分别用两个序列来表示：e(r)=x(2r)f(r)=x(2r+1)N1n=0

N0≤r≤12

(9-1)

则N点DFT运算也相应分为两组：nkX(k)=DFT(x(n))=∑x(n)WN=

∑n为偶数

nkx(n)WN+

∑n为奇数

x(n)WNnk

==

N/21

∑r=0r=0

x(2r)W

2rkN

+

N/21

∑r=0

x(2r+1)WNk(2r+1)f(r)WNk2r

N/21

∑

2ke(r)WNrk+WN

N/21

∑r=0

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根据的可约性，有X(k)=N/21

2rkWNrk=WN/2N/21kN

,上式变成：(9-2)

∑r=0

e(r)W

rkN/2

+W

∑r=0

kf(r)WNkr/2=E(k)+WNF(k)

其中E(k),F(k)分别为N/21rkE(k)=∑e(r)WN/2r=0N/21rkF(k)=∑f(r)WN/2r=0

e(r),f(r)的N/2点DFT:0≤k≤N/210≤k≤N/21

(9-3)

利用E(k),F(k)的隐含周期性可以得到X(k)另外一半值.从而得到N点DFT分解计算式：kX(k)=E(k)+WNF(k)0≤k≤N/21kX(k+N/2)=E(k)WNF(k)0≤k≤N/21

(9-4)

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将式(9-4)用信号流图表示，如图9-2,左边表示输入，右边表示输出，支路上的箭头表示乘法运算，乘的因子只对有相位变换而没有幅度变换，所以被称为旋转因子，由于此图像蝴蝶，故称为蝶形运算。一个蝶形运算只包括一次复数乘法、两次复数加法。E(k)X(k)

F(k)

kWN

X(k+N/2)1

图9-2蝶形流图

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第三节傅立叶变换的性质(PropertiesoftheFourierTransform)Transform)设序列和都是N点长，它们对应的N点DFT分别为X(k)和Y(k),来探讨傅立叶变换的一些性质。1.线性DFTax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k),0≤k≤N1[

a,b为任意常数。假使两个序列的长度不同则短的序列补零使得两个序列长度一致即可。12

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2.时间翻转特性时间翻转特性DFT[x(Nn)]=X(Nk)DFT证明：[x(Nn)]=∑x(Nn)WNnk=∑x(m)WN(Nm)k=∑x(m)WNm(Nk)n=0m=1m=1N1NN

这里需要补充x(N)=

x(0)因而有DFT[x(Nn)]=X(Nk)

3.序列的循环移位序列的循环移位序列的循环移位在第六章详细介绍过，这里简单给出循环移位的定义：f(n)=x((n+m))NRN(n)

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上式表示的含义为，先将序列x(n)以N为周期进行周期~性延拓，得到x(n),然后再进行移位，得x到~(n+m)=x((n+m))N,最终取主值序列，得到f(n)仍然是一个N点长的序列。N1n=0

循环移位后的DFT为:

F(k)=DFT[f(n)]=∑x((n+m))NWNnkRN(n)=WNmkX(k)

~nk=RN(k)∑~(n+m)WN=RN(k)DFS[~(n+m)]=RN(k)WNmkX(k)=WNmkX(k)xxn=0

N1

F(k)=WNmkX(k)

因此，序列循环移位后的DFT为：

F(k)=WNmkX(k)

即序列的循环移位相当于频域的相移。即序列的循环移位相当于频域的相移。根据时域和频域的对偶性质，则频域的循环移位对应时域的调制：域的对偶性质，则频域的循环移位对应时域的调制：14

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mnWNx(n)=IDFT[X((k+m))NRN(k)]

4.循环卷积循环卷积第六章介绍了循环卷积的计算，这里考虑时域循环卷积F(k)=X(k)Y(k)结果和频域的关系。设N1则有:f(n)=∑x(m)y((nm))NRN(n)(9-5)m=0寻常把式(9-5)称为循环卷积，它的结果依旧是N点长的序列,循环卷积交换序列的先后次序得到的结果都一致。时域和频域的对偶关系，可以得到频域循环卷积对应时域相乘：1DFT[x(n)y(n)]=N

∑X(l)Y((kl))l=0

N1

N

RN(k)

时域循环卷积对应于DFT的相乘，注意不要和线性卷积混淆，两个序列线性卷积对应于DTFT的相乘：15

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DFT[x(n)y(n)]=DFT[f(n)]=X(k)Y(k)DTFT[x(n)y(n)]=DTFT[e(n)]=X(ejw)Y(ejw)式中表示循环卷积运算符，式中表示线性卷积运算符。循环卷积和线性卷积存在一定关系，由第六章知道，循环卷积是N点循环卷积结果，(n)序列长度为N,线性卷积e(n)序列长f度为2N-1。假设序列f1(n)是x(n),y(n)两个序列的L点循环卷积，LN,就需要对x(n),y(n)补零，然后以L为周期进行周期延拓,则它们的L点循环卷积为：~(n)yL1

L

=

k=∞L1+∞

∑

+∞

y(n

+

kL

)

f1(n)=∑~(m)L~(nm)LRL(n)=∑x(m)∑y(n+kLm)RL(n)xym=0m=0k=∞

=

k=∞m=0

∑∑x(m)y(n+kLm)R

+∞

L1

L

(n)=

k=∞

∑e(n+kL)R

+∞

L

(n)

(9-6)16

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式(9-6)表示循环卷积是线性卷积以L为周期进行周期延拓，然后取L点主值的结果。明显，假使L≥2N1线性卷积就等于循环卷积结果，假使L2N1,则循环卷积是线性卷积以L为周期延拓的混叠。

设有两序列分别为x(n)=[1,1],1,y(n)=[2,3,4,5]22

求它们的线性卷积和5点循环卷积。5解：线性卷积e(n)=∑x(m)y(nm)=∑y(nm),直接计算得

到6点序列值：

m=0

m=0

e(0)=2e(1)=5e(2)=9e(3)=12e(4)=9e(5)=5

e(n)=[2,5,9,12,9,5]

循环卷积f(n)=如表9.2所示。

m=0

∑x(m)y((nm))

4

5

R5(n)

,用表格法来计算，17

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表9.2表格法求循环卷积n1

x(m)

1

1

0

0

f(n

)7

0

2

0

5

4

3

1

3

2

0

5

4

5

2

4

3

2

0

5

9

3

5

4

3

2

0

12

4

0

5

4

3

2

9

f(n)=[7,5,9,12,9]

我们利用上述结果来验证式(9-6)是否正确.对线性卷+∞积结果e(n)以5为周期进行周期延拓,则有f(n)=∑e(n+5k)R(n)1k=∞5

f1(0)=e(0)+e(5)=7

f1(1)=e(1)=5f1(4)=e(4)=918

f1(2)=e(2)=9

f1(3)=e(3)=12

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结果和5点循环卷积一致，比较这两个卷积结果，发现只有两点(n=0,n=5)发生了重叠，其它点结果都一致。5.共轭对称性共轭对称性我们知道任意一个信号可以表示成它的奇对称部分和偶对称部分之和，那里的对称是关于坐标原点或者纵坐标的对称性。DFT中的复序列x(n)和频域X(k)都是在0到N-1的范围内，因而它的对称是在主值范围内的对称，称为周期共轭对称x(n)和周期共轭反对称x(n),它们的对称关系如下：e

o

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xe(n)=xe(N