第一章 矢量分析(lsf)

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电磁场与电磁波

第1章矢量分析

第一章矢量分析

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

本章内容本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。

矢量代数常用正交坐标系标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度

拉普拉斯运算亥姆霍兹定理

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

1.1矢量代数1.1.1标量和矢量

标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等)矢量：既有大小，又有方向的物理量(作用力，电场强度、磁场强度矢量的代数表示

EHBDe矢量可表示为：AeAA其中AA为模值，表征矢量的大小；eA为单位矢量，表征矢量的方向；

F

AA

A

矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示

矢量的几何表示

说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如D。教材上的矢量符号即采用印刷体。

电磁场与电磁波

第1章矢量分析z

矢量用坐标分量表示

Az

AexAxeyAyezAzAxAcosAyAcosAzAcosx

AxO

AAyy

AA(excoseycosezcos)eAexcoseycosezcos

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

1.1.2矢量的运算AexAxeyAyezAz矢量的加法和减法

BexBxeyByezBz

ABex(AxBx)ey(AyBy)ez(AzBz)说明：

1、矢量的加法符合交换律和结合律：

ABBA

(AB)CA(BC)

2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：

B

AB

A

BB

AB

A

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

矢量的乘法

矢量与标量相乘

kAexkAxeykAyezkAzeAkA标量与矢量相乘改变矢量大小，方向由k的正负定。

矢量的标积(点积)

ABABcosABAxBxAyByAzBz说明：1、矢量的点积符合交换律和分派律：

B

AB

A

0

ABBA

A(BC)ABAC

2、两个矢量的点积为标量

电磁场与电磁波

第1章矢量分析AB

矢量的矢积(叉积)

exABenABsinABAxBx

eyAyBy

ezAzBz

B

ABsin

ex(AyBzAzBy)ey(AzBxAxBz)ez(AxByAyBx)说明：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分派律：

A

ABBA

A(BC)ABAC

2、两个矢量的叉积为矢量3、矢量运算恒等式

A(BC)B(CA)C(AB)A(BC)B(AC)C(AB)

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

1.2三种常用的正交坐标系三维空间任意一点的位置可通过三条相互正

交线的交点

来确定。三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为

正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。

电磁场与电磁波

第1章矢量分析zzz0(平面)

1.2.1直角坐标系坐标变量

x,y,zo

ez

坐标单位矢量ex,ey,ez位置矢量线元矢量

ex

P

ey点P(x0,y0,z0)

yyy0(平面)

rexxeyyezzdlexdxeydyezdz

x

xx0(平面)直角坐标系

z

dSzezdxdy

面元矢量

dSxexdlydlzexdydz

dz

dSyeydxdz

dSyeydlxdlzeydxdzdSzezdlxdlyezdxdyox

dxdydSxexdydz

y

体积元

dVdxdydz

直角坐标系的长度元、面积元、体积元

《电磁场与电磁波理论》

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

在直角坐标系中矢量的表示

例如：

《电磁场与电磁波理论》

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

位置矢量与距离矢量

场点坐标场点矢径

源点坐标源点矢径

《电磁场与电磁波理论》

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

位置矢量与距离矢量位置矢量——由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。

距离矢量——由源点出发引向场点的矢量称为距离矢量。

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

1.2.2圆柱坐标系坐标变量,,z

坐标单位矢量e,e,ez位置矢量线元矢量

reezzdrededezdzdSedldlzeddzdSedldlzeddzdSzezdldlezdd圆柱坐标系

面元矢量

体积元

dVdddz圆柱坐标系中的线元、面元和体积元

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：

AeAeAezAz

BeBeBezBz

加减：ABe(AB)e(AB)ez(AzBz)标积：AB(eAeAezAz)(eBeBezBz)

ABABAzBz

e矢积：ABA

eAB

ezAze(ABzAzB)e(AzBABz)Bzez(ABAB)

B

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

1.2.3球面坐标系坐标变量

r,,

坐标单位矢量位置矢量线元矢量面元矢量

er,e,ererrdrerdrerdersind球坐标系

dSrerdldler

r2sindddSedlrdlezrsindrddSedlrdlerdrd

体积元

dVr2sindrdd球坐标系中的线元、面元和体积元

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

说明：球面坐标系下矢量运算：

AerAreAeA

BerBreBeB

加减：ABer(ArBr)e(AB)e(AB)标积：AB(erAreAeA)(erBreBeB)

ArBrABAB

er矢积：ABAr

eAB

eAB

Br

er(ABAB)e(ABrArB)e(ArBABr)

电磁场与电磁波

第1章矢量分析ez001ezcossin0yeeyφ

1.2.4坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标系

eezer

e

cossin0sincos0ex

ex

sincos0e

ey

eex

圆柱坐标与球坐标系

e

o

φ

单位圆

x直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系

ee

001ey

z

ezθθ

ere

直角坐标与球坐标系

ersincosecoscos

e

sin

ezsinsincoscossinsincos0

θ

单位圆

er

o

柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系

《电磁场与电磁波理论》电磁场与电磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

几点说明：广义坐标系广义柱坐标系————(方向单位矢量)(方向单位矢量)

不同坐标系中的长度元、面积元和体积元。线积分或、面积分或和体积分。

不随位置坐标而改变。随着位置坐标的改变而改变。

三种常用的正交坐标系的相互转换(坐标的转换和方向矢量的转换)。1-18

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。

2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷

产生电场分布。

《电磁场与电磁波理论》电磁场与电磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

物理量的分类

物理量与位置有关的量(场量)标量场(只有大小)矢量场(大小+方向)

与位置无关的量时间、长度、重量……

温度、湿度、电位……

速度、电场、磁场……

标量场矢量场1-20

电磁场与电磁波

第1章矢量分析

1.3标量场的梯度标量场和矢量场确定空间区域

上的每一点都有确定物理量与之对应，