第4节 连续型随机变量及其概率密度(续2)

本文格式为Word版，下载可任意编辑——第4节连续型随机变量及其概率密度(续2)

很经典的教学ppt

连续型随机变量及其概率密度(续4连续型随机变量及其概率密度续2)三、几种重要的连续型随机变量的分布四、小结思考题

很经典的教学ppt

三、几种重要的连续型随机变量的分布(三)正态分布f(x)=1e2πσ(x)22σ2

(∞x+∞)

为常数,且则称X听从参数为其中,σ为常数且σ0,则称听从参数为,σ正态分布.的正态分布记为X~N(,σ2).

F(x)=

12πσ

∫

x

∞

e

(t)22σ2

dt

很经典的教学ppt

特别地,当特别地当=0,σ=1时,

(x)=

1e2π

x22

(∞x+∞)

则称X听从标准正态分布,记为X~N(0,1).则称听从标准正态分布记为听从标准正态分布

Φ(x)=(x)

12π

∫

x

∞

e

t22

dtΦ(x)10.5Φ(0)=0.5

o

x

o

x

很经典的教学ppt

给定的z≥0问题：若随机变量问题：若随机变量X~N(0,1),给定的P{X≤z}=Φ(z)=12π

∫

z

∞

e

t22

dt

?

查表!查表

例如,设例如设X~N(0,1),则Φ(1.54)=0.9382.则若X~N(0,1),则Φ(–z)=1–Φ(z)则Φ(z)=∫(x)dxΦ(z)=∫(x)dx∞∞

z

z

=∫(x)dx=1∫(x)dxz∞

+∞

z

(x)

=1Φ(z)∴Φ(–z)=1–Φ(z)

-z

oz

x

很经典的教学ppt

引理若随机变量X~N(,σ),则X(1)Z=~N(0,1);将X标准化标准化σx).(2)F(x)=Φ(σ证明(2)F(x)=P{X≤x}2

=P{=Φ(

Xx

σ

≤

x

σ

}

∴F(x)=Φ(

x

σ

).

σ

)

很经典的教学ppt

设随机变量X~N(3,4)例5设随机变量(1)求P{|X|2};)(2)决定使得)决定c,使得P{Xc}=P{X≤c}.解∵X~N(3,4),∴=3,σ=2(1)P{|X|2}=1–P{|X|≤2})

23X323}≤≤=1–P{–2≤X≤2}=1P{222=1[Φ(0.5)Φ(2.5)]=1{[1Φ(0.5)][1Φ(2.5)]}

=Φ(0.5)Φ(2.5)+1=0.69150.9938+1=0.6977.

很经典的教学ppt

(2)P{Xc}=1–P{X≤c}=1–F(c)=P{X≤c})=F(c)c3c3)=0.5=0∴F(c)=0.5即Φ(22

∴c=3.

则称c为中位数注若P{Xc}=P{X≤c},则称为中位数则称为中位数.

很经典的教学ppt

某公共建筑物设计时,假定使用者的身例6某公共建筑物设计时假定使用者的身单位:米材X(单位米)~N(1.75,0.052),问该建筑物的门单位问该建筑物的门至少要多高才能使出入门时,需要低头的人不至少要多高才能使出入门时需要低头的人不超过0.5%.超过解设门高为P{Xh}≤0.5%=0.005设门高为h,F(h)≥0.995即P{X≤h}≥0.995

h1.75h1.75≥2.58)≥0.995,查表得Φ(0.050.05

h≥1.88(米).

很经典的教学ppt

定义2定义设0α1,若数zα满足P{Xzα}=α=∫(x)dx+∞

则称zα为标准正态分布的上α分位点分位点.例如,当例如当α=0.05,z0.05=?P{Xz0.05}=0.05?∴Φ(z0.05)=P{X≤z0.05}=0.95

zα

1.64

+1.65查表可得z0.05=2=1.645注Φ(1.645)=0.95

(x)

αozα

x

很经典的教学ppt

几个常用的zα值

α

0.0010.005

0.01

0.025

0.05

0.10

zα3.090

2.5762.3271.9601.6451.282

很经典的教学ppt

三、小结1.连续型随机变量及其概率密度定义连续型随机变量及其概率密度定义F(x)=∫f(t)dt(f(t)≥0)∞x

2