2023年直线与圆最值(五篇)

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直线与圆最值篇一

在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系．

现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：

(1)利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端〞，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．

例1：已知：△abc内接于⊙o，⊙o的直径ae交bc于f点，点p在bc的延长线上，且∠cap=∠abc．

求证：pa是⊙o的切线．

证明：连接ec．

∵ae是⊙o的直径，∴∠ace=90°，∴∠e＋∠eac=90°．

∵∠e=∠b，又∠b=∠cap，∴∠e=∠cap，∴∠eac＋∠cap=∠eac＋∠e=90°，∴∠eap=90°，∴pa⊥oa，且过a点，则pa是⊙o的切线．

(2)利用切线的判定定理——在已知条件中，有“一条直线过圆上某一公共点(即为切点)，但没有半径〞，于是先连接圆心与这个公共点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直．

例2：以rt△abc的直角边bc为直径作⊙o交斜边ab于p，q为ac的中点．求证：pq必为⊙o的切线．

证明连接op，cp．

∵bc为直径，∴∠bpc=90°，即∠apc=90°．

又∵q为ac中点，∴qp=qc，∴∠1=∠2．

又op=oc，∴∠3=∠4．

又∠acb=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠acb＝90°，∴∠opq=90°．

∵p点在⊙o上，且p为半径op的端点，则qp为⊙o的切线．

说明：要证pq与半径垂直，即连接op．这是判别相切中添辅助线的常用方法．

(3)证明“d=r〞——在已知条件中“没有半径，也没有与圆有公共交点的直线〞，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线的长(d)等于圆的半径(r)．

例3：已知：在△abc中，ad⊥bc与d，且ad=bc，e、f为ab、ac的中点，o为ef2的中点。

求证：以ef为直径的圆与bc相切．

证明：作oh⊥bc于h，设ad与ef交于m，又ad⊥bc，∴oh∥md，则ohdm是矩形．

∴oh是⊙o的半径，则ef为直径的圆与bc相切.思考题：

1．ab是⊙o的直径，ac是弦，ac=cd，ef过点c，ef⊥bd于g．

求证：ef是⊙o的切线．

提醒：连接co，则oc是⊙o的半径，再证oc⊥ef．

2．db是圆的直径，点a在db的延长线上，ab=ob，∠cad=30°．求证：ac是⊙o的切线．

提醒：∵ac与⊙o没有公共点，∴作oe⊥ac于e，再证oe是⊙o的半径．

直线与圆最值篇二

直线与圆小测试

a组

1、已知过a1,a、ba,8两点的直线与直线2xy10平行，则a的值为（）

a.-10b.2c.5d.172、设直线xmyn0的倾角为，则它关于x轴对称的直线的倾角是（）ａ.b.

2c.d.

2

3、不管k为何值，直线(2k1)x(k2)y(k4)0恒过的一个定点是（）

a.(0,0)b.(2,3)c.(3,2)d.(-2,3)

（2，0）

4、已知直线l过点，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是

（）（2222）（22）a.b.c.（22）44（）d.11

885、过圆x2y24xmy0上一点p(1,1)的圆的切线方程为（）

a.2xy30b.2xy10c.x2y10d.x2y106、过点a(1,2)且与原点距离最大的直线方程是

7、圆(x1)2(y2)23的一条弦的中点为(,)，这条弦所在的直线方程为

8、圆的半径为3，圆心在y2x上且被y轴所截得的弦长为2的圆的方程为

b组

9、“a=b〞是“直线yx2与圆(xa)2(yb)22相切〞的a.充分不必要条件b.必要不充分条件（）c.充分必要条件d.既不充分又不必要条件123210、圆(x1)2(y2)28上与直线xy10的距离等于2的点共有（）

a．1个b．2个c．3个d．4个

11、已知圆c的圆心与点p(2,1)关于直线yx1对称，直线3x4y110与圆c相交于a、b两点，且ab6，则圆c的方程为．

c组

10.已知圆c:x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆c截得弦ab为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由

11.设数列{an}的前n项和sn=na+n（n－1）b，（n=1，2，„），a、b是常数且b≠0.（1）证明：{an}是等差数列.（2）证明：以（an，直线的方程.（3）设a=1，b=sn－1）为坐标的点pn（n=1，2，„）都落在同一条直线上，并写出此n1，c是以（r，r）为圆心，r为半径的圆（r＞0），求使得点p1、p2、p32

都落在圆c外时，r的取值范围.

直线与圆最值篇三

苏教版直线与圆单元测试（a级）

一、填空题（共70分）

1、已知过两点a（4，y）,b(2,-3)的直线的倾斜角是135°，则y=_______。

2、过点（3,1），且斜率是4的直线方程为_______________。

3、原点到直线的距离为___________；

4、过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程________________.5、直线与的交点坐标是___________；

6、已知过点a(-2,m)和b（m，4）的直线与直线平行，则m的值为______________；

7、圆心为a（2，-3）,半径长为5的圆的方程为______________；

8、点（0,2）关于直线x+y=0的对称点是_________；

9、空间两点p（3，-2,5），q（6,0，-1）间的距离pq为________；

10、在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点的坐标为_______________；

11、以线段a（-4，-5），b（6，-1）为直径的圆的方程是______________；

12、设直线过点，其斜率为1，且与圆相切，则。

13、经过三点a（-1,5），b（5,5），c（6，-2）的圆的方程是____________________；

14、一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是。

二、解答题

15、已知半径为5的圆过点p（-4,3），且圆心在直线上，求这个圆的方程。

16、已知△abc的顶点坐标为a（-1,5），b（-2，-1），c（4,7），求bc边上的中线am的长和am所在直线的方程。

17、求过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程。

18、已知直线与，则当为何值时，直线：

(1)平行？（2）垂直？（3）相交?

19、求过点a（2,4）向圆所引的切线方程；并求出切线长。

20、已知圆c：，直线。

（1）求证：对直线与圆c总有两个不同的交点；

（2）若直线与圆c交于不同的两点a、b，且，求直线的方程。

直线与圆最值篇四

《直线与圆的位置关系》教案

教学目标：

根据学过的直线与圆的位置关系的知识，组织学生对编出的有关题目进行探讨.探讨中引导学生体会

（1）如何从解决过的问题中生发出新问题.（2）新问题的解决方案与原有旧方法之间的联系与区别.通过编解题的过程，使学生基本了解、把握有关直线与圆的位置关系的知识可解决的基本问题，并初步体验数学问题变化、发展的过程，摸索其解法.重点及难点：

从学生所编出的具体问题出发，适时适度地引导学生关注问题发展及解决的一般策略.教学过程

一、引入：

1、判断直线与圆的位置关系的基本方法：

（1）圆心到直线的距离

（2）判别式法

2、回想予留问题：

要求学生由学过知识编出有关直线与圆位置关系的新题目，并考虑下面问题：

（1）为何这样编题.（2）能否解决自编题目.（3）分析解题方法及步骤与已学过的基本方法、步骤的联系与区别.二、探讨过程：

教师引导学生要重视的几个基本问题：

1、位置关系判定方法与求曲线方程问题的结合.2、位置关系判定方法与函数或不等式的结合.3、将圆变为相关曲线.备选题

1、求过点p（-3，-2）且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相切的直线方程.备选题

2、已知p(x,y)为圆(x+2)2+y2=1上任意一点，求（1）（2）2x+3y=b的取值范围.备选题

3、实数k取何值时，直线l：y=kx+2k-1与曲线:y=两个公共点；没有公共点.三、小结：

1、问题变化、发展的一些常见方法，如：

（1）变常数为常数，改系数.（2）变曲线整体为部分.有一个公共点；=m的最大、最小值.（3）变定曲线为动曲线.2、理解与体会解决问题的一般策略，重视“新〞与“旧〞的联系与区别，并注意哪些可化归为“旧〞的方法去解决.自编题目：

下面是四中学生在课堂上自己编的题目，这些题目由学生自己亲自编的或是自学中从课外书上找来的题目，这些题目都与本节课内容有关.①已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，p（x0,y0）是圆外一点，求过p点的圆的两切线的夹角如何计算？

②p（x0,y0）是圆x2+(y-1)2=1上一点，求x0+y0+c≥0中c的范围.③圆过a点（4，1），且与y=x相切，求切线方程.④直线x+2y-3=0与x2+y2+x-2ay+a=0相交于a、b两点，且oa⊥ob，求圆方程？

⑤p是x2+y2=25上一点，a（5，5），b（2，4），求|ap|2+|bp|2最小值.⑥圆方程x2+y2=4，直线过点（-3，-1），且与圆相交分得弦长为3∶1，求直线方程.⑦圆方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦长为

2，求m.⑧圆o(x-a)2+(y-b)2=r2，p(x0,y0)圆一点，求过p点弦长最短的直线方程？

⑨求y=的最值.圆锥曲线的定义及其应用

[教学内容]

圆锥曲线的定义及其应用。

[教学目标]

通过本课的教学，让学生较深刻地了解三种圆锥的定义是对圆锥曲线本质的刻画，它决定了曲线的形状和几何性质，因此在圆锥曲线的应用中，定义本身就是最重要的性质。

1．利用圆锥曲线的定义，确定点与圆锥曲线位置关系的表达式，表达用二元不等式表示平面区域的研究方法。

2．根据圆锥曲线定义建立焦半径的表达式求解有关问题，培养寻求联系定义的能力。

3．探讨使用圆锥曲线定义，用几何法作出过圆锥曲线上一点的切线，激发学生摸索的兴趣。

4．把握用定义判断圆锥曲线类型及求解与圆锥曲线相关的动点轨迹，提高学生分析、识别曲线，解决问题的综合能力。

[教学重点]

寻觅所解问题与圆锥曲线定义的联系。

[教学过程]

一、回想圆锥曲线定义，确定点、直线（切线）与曲线的位置关系。

1．由定义确定的圆锥曲线标准方程。

2．点与圆锥曲线的位置关系。

3．过圆锥曲线上一点作切线的几何画法。

二、圆锥曲线定义在焦半径、焦点弦等问题中的应用。

例1．设椭圆+=1(ab0)，f1、f2是其左、右焦点，p(x0,y0)是椭圆上任意一点。

（1）写出|pf1|、|pf2|的表达式，求|pf1|、|pf1|·|pf2|的最大最小值及对应的p点位置。

（2）过f1作不与x轴重合的直线l，判断椭圆上是否存在两个不同的点关于l对称。

（3）p1(x1,y1)、p2(x2,y2)、p3(x3,y3)是椭圆上三点，且x1,x2,x3成等差，求证|pf1|、|pf2|、|pf3|成等差。

（4）若∠f1pf2=2，求证：δpf1f2的面积s=btg

（5）当a=2,b=最小值。

时，定点a（1，1），求|pf1|+|pa|的最大最小值及|pa|+2|pf2|的2例2．已知双曲线-=1，f1、f2是其左、右焦点。

（1）设p(x0,y0)是双曲线上一点，求|pf1|、|pf2|的表达式。

（2）设p(x0,y0)在双曲线右支上，求证以|pf1|为直径的圆必与实轴为直径的圆内切。

（3）当b=1时，椭圆求δqf1f2的面积。

+y=1恰与双曲线有共同的焦点，q是两曲线的一个公共点，2例3．已知ab是过抛物线y=2px(p0)焦点的弦，a(x1,y1),b(x2,y2)、f为焦点，求证：

（1）以|ab|为直径的圆必与抛物线的准线相切。

（2）|ab|=x1+x2+p

（3）若弦cd长4p,则cd弦中点到y轴的最小距离为

2（4）+为定值。

（5）当p=2时，|af|+|bf|=|af|·|bf|

三、利用定义判断曲线类型，确定动点轨迹。

例4．判断方程=1表示的曲线类型。

例5．以点f（1，0）和直线x=-1为对应的焦点和准线的椭圆，它的一个短轴端点为b，点p是bf的中点，求动点p的轨迹方程。

备用题：双曲线实轴平行x轴，离心率e=，它的左分支经过圆x+y+4x-10y+20=0的2

2圆心m，双曲线左焦点在此圆上，求双曲线右顶点的轨迹方程。

直线与圆最值篇五

教学目标：1．使学生理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。

2．把握直线与圆的位置关系的性质与判定并能够灵活运用来解决实际问题。

3．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力及分类和化归的能力。

重点难点：

1．重点：直线与圆的三种位置关系的概念。

2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。

教学过程：

一．复习引入

1．提问：复习点和圆的三种位置关系。

（目的：让学生将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系进行类比，以便更好的把握直线和圆的位置关系）

2．由日出升起过程中的三个特别位置引入直线与圆的位置关系问题。

（目的：让学生感知直线和圆的位置关系，并培养学生把实际问题抽象成数学模型的能力）

二．定义、性质和判定

1．结合关于日出的三幅图形，通过学生探讨，给出直线与圆的三种位置关系的定义。

（1）线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。

（2）直线和圆有唯一的公点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。唯一的公共点叫做切点。

（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

2．直线和圆三种位置关系的性质和判定：

假使⊙o半径为r，圆心o到直线l的距离为d，那么：

（1）线l与⊙o相交d＜r

（2）直线l与⊙o相切d=r

（3）直线l与⊙o相离d＞r

三．例题