理论力学动能定理

理论力学动能定理第1页，共86页，2023年，2月20日，星期一第12章动能定理

动能是物体因为运动而具有的机械能，它是作功的一种能力。动能定理描述质点系动能的变化与力作功之间的关系。求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。矢量形式标量形式动力学普遍定理动量定理动量矩定理动能定理第2页，共86页，2023年，2月20日，星期一力的功动能定理及其应用质点与质点系的动能动力学普遍定理的综合应用第12章动能定理

功率、功率方程、机械效率第3页，共86页，2023年，2月20日，星期一力的功力的功定义变力Fi的元功

需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。W仅仅是Fi•dri的一种记号。M2M1常力对直线运动质点所作的功：

第4页，共86页，2023年，2月20日，星期一力的功力的功定义变力Fi的元功

M2M1力

Fi在其作用点的轨迹上从

M1点到

M2点所作的功：

第5页，共86页，2023年，2月20日，星期一重力的功

对于质点：

对于质点系:

力的功几种常见力的功

其中：z1、z2分别是质点在初位置和末位置的z

坐标其中：zC1、

zC2分别是质点系质心在初位置和末位置的z

坐标重力的功与路径无关。第6页，共86页，2023年，2月20日，星期一弹性力的功

其中，1、2是弹簧初始位置和最终位置的变形量。力的功几种常见力的功

弹性力的功与路径无关。第7页，共86页，2023年，2月20日，星期一

定轴转动刚体上作用力的功刚体以角速度ω绕定轴z转动，其上A点作用有力F

，则则力F的元功为——力F

对轴z的矩

于是，力在刚体上由1转到2时所作的功为力的功作用在刚体上力与力偶的功

第8页，共86页，2023年，2月20日，星期一

定轴转动刚体上外力偶的功

若力偶矩矢量为M

，则力偶所作之功为其中Mz为力偶矩矢M

在z轴上的投影，即力偶对转轴z的矩。力的功作用在刚体上力的功、力偶的功

第9页，共86页，2023年，2月20日，星期一

质点系的内力总是成对出现的，且等值、反向、共线。因此，质点系的内力对质点系的动量和动量矩没有影响。力的功内力作功的情形

事实上，在许多情形下，物体的运动是由内力作功而引起的。当然也有的内力确实不作功。*

人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功。

*所有的发动机从整体考虑，其内力都作功。*

机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功。*有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功。那么，质点系的内力对质点系作不作功呢？第10页，共86页，2023年，2月20日，星期一

刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作功之和恒等于零。

*刚体的内力不作功

力的功不作功的力*理想约束约束反力不做功

光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。

柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。第11页，共86页，2023年，2月20日，星期一*纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功OC*FFN约束力不做功的约束称为理想约束

C*

为瞬时速度中心，在这一瞬时C*点的速度为零。作用在C*点的摩擦力F所作元功为vO理想约束的约束反力不做功

力的功不作功的力第12页，共86页，2023年，2月20日，星期一质点系的动能与刚体的动能质点系的动能

刚体的动能

第12章动能定理

第13页，共86页，2023年，2月20日，星期一质点系的动能与刚体的动能质点系的动能

物理学中对质点的动能的定义为

质点系的动能为质点系内各质点动能之和。

动能是度量质点系整体运动的另一物理量。动能是正标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关。

第14页，共86页，2023年，2月20日，星期一

设重物A、B的质量为mA=mB=m，三角块D的质量为m0

，置于光滑地面上。圆轮C和绳的质量忽略不计。系统初始静止。解：重物A、B的运动可以看成质点的运动，三角块D做平动，也可以看成质点的运动。

开始运动后，系统的动能为

其中

质点系的动能与刚体的动能质点系的动能——例题1

求：当物块A以相对速度下落时系统的动能。

第15页，共86页，2023年，2月20日，星期一或者写成质点系的动能与刚体的动能质点系的动能——例题1

？第16页，共86页，2023年，2月20日，星期一质点系的动能与刚体的动能质点系的动能——例题1

注意到,系统水平方向上动量守恒，故有第17页，共86页，2023年，2月20日，星期一

通过本例可以看出，确定系统动能时，注意以下几点是很重要的：系统动能中所用的速度必须是绝对速度。需要综合应用动量定理、动量矩定理与动能定理。

正确应用运动学知识，确定各部分的速度。质点系的动能与刚体的动能质点系的动能——例题1

第18页，共86页，2023年，2月20日，星期一●平移刚体的动能

刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能

上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于质心时的动能。

质点系的动能与刚体的动能刚体的动能

第19页，共86页，2023年，2月20日，星期一刚体以角速度绕定轴

z转动时，其上－点的速度为：

因此，定轴转动刚体的动能为

质点系的动能与刚体的动能刚体的动能

●定轴转动刚体的动能

其中

为刚体对定轴z的转动惯量。

第20页，共86页，2023年，2月20日，星期一

平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与相对质心转动动能的和。质点系的动能与刚体的动能刚体的动能

●平面运动刚体的动能

设P为平面运动刚体某瞬时的速度瞬心，

则刚体的动能为：第21页，共86页，2023年，2月20日，星期一质点系的动能与刚体的动能刚体的动能

思考题：均质圆盘质量为m，在平面上做纯滚动，轮心速度为vo，求圆盘的动能？OvO问：若质量m集中在轮缘上，轮在平面上做纯滚动，轮心速度为vo，求轮的动能？第22页，共86页，2023年，2月20日，星期一

坦克或拖拉机履带单位长度质量为ρ，轮的半径为r，轮轴之间的距离为d，履带前进的速度为v0。求：全部履带的总动能。dC2C1rv0

质点系的动能与刚体的动能——例题2

第23页，共86页，2023年，2月20日，星期一解：把履带看成一质点系在C1C2上建立平动坐标系C1x´y´，则牵连运动为水平平移，牵连速度为v0。

相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为ω＝v0/r,履带上各点的相对速度均为v0。dC2C1rx´y´v0

质点系的动能与刚体的动能——例题2

第24页，共86页，2023年，2月20日，星期一

因此，全部履带的总动能为：解：质点系的动能等于系统跟随质心平移的动能与相对于质心平移系运动的动能之和。dC2C1rx´y´v0

质点系的动能与刚体的动能——例题2

第25页，共86页，2023年，2月20日，星期一动能定理及其应用质点系的动能定理

动能定理应用举例

第12章动能定理

第26页，共86页，2023年，2月20日，星期一质点的动能定理的微分形式：质点的动能定理的积分形式：

动能定理及其应用质点系的动能定理

第27页，共86页，2023年，2月20日，星期一质点系的动能定理的微分形式：动能定理及其应用质点系的动能定理

所有可以作功的力——既包括外力，也包括内力；既包括主动力，也包括约束力。在理想约束系统中，只包括主动力(外力和内力)。质点系的动能定理的积分形式：第28页，共86页，2023年，2月20日，星期一均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量的绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度。2．系统运动时，物块C的加速度。

动能定理及其应用动能定理应用举例——例题3

第29页，共86页，2023年，2月20日，星期一解：以整个系统为研究对象。

1．运动分析，确定各部分的速度、角速度，写出系统的动能

注意到轮A作平面运动；轮B作定轴转动；物块C作平移。于是，系统的动能：根据运动学分析，得到动能定理及其应用动能定理应用举例——例题3

第30页，共86页，2023年，2月20日，星期一解：2.确定所有力的功：

3．应用动能定理的积分形式：

由此解出物块C的重力作正功，轮A的重力作负功，约束反力不作功。于是，所有力的总功为动能定理及其应用动能定理应用举例——例题3

第31页，共86页，2023年，2月20日，星期一解：4．确定物块C的加速度：

将下降高度h视为变量，其对时间的一阶导数即为物块C的速度因为物块C作直线平移，故有

于是，物块C的加速度为

动能定理及其应用动能定理应用举例——例题3

第32页，共86页，2023年，2月20日，星期一根据动能定理的微分形式力的功率由下式计算作用在转动刚体上力的功率为

功率方程、机械效率第12章动能定理

可以得到其中P为功率，上式称为功率方程：质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。第33页，共86页，2023年，2月20日，星期一工程上,机器的功率分别有：输入功率、输出功率、损耗功率。其中：输出功率是对外作功的有用功率；损耗功率是摩擦、热能损耗等不可避免的无用功率。功率方程、机械效率第12章动能定理

这样，对机器而言，功率表达式可以改写为：第34页，共86页，2023年，2月20日，星期一

任何机器在工作时都需要从外界输入功率，同时也不可避免的要消耗一些功率，消耗越少则机器性能越好。工程上，定义机械效率为

这是衡量机器性能的指标之一。若机器有多级（假设为n级）传动，机械效率为输输其中功率方程、机械效率第12章动能定理

第35页，共86页，2023年，2月20日，星期一均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用轻绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。现在圆盘A的质心处加一不计质量的弹簧，弹簧刚度系数为k

求：系统的等效质量、等效刚度与系统的固有频率。

动能定理及其应用动能定理应用举例——例题4

第36页，共86页，2023年，2月20日，星期一以整个系统为研究对象，作功的力A、B轮的重力和弹簧的弹性力。以物块C的位移x为广义坐标，静平衡位置取为坐标原点系统的动能表达式为动能定理及其应用动能定理应用举例——例题4解：这是一个单自由度振动的刚体系统，现研究怎样将其简化为弹簧－质量模型。

第37页，共86页，2023年，2月20日，星期一则动能表达式可以写为

作用在系统上的外力所作之功为

由于系统初始于静平衡状态，对轮A、轮B

和物块C

分别列出静平衡方程，整理后，有

动能定理及其应用动能定理应用举例——例题4其中δst为弹簧在系统静平衡时的伸长第38页，共86页，2023年，2月20日，星期一根据质点系动能定理，有

动能定理及其应用动能定理应用举例——例题4两边对时间求导第39页，共86页，2023年，2月20日，星期一化成标准方程,于是，刚体系统便简化为一弹簧——质量系统。其振动方程为据此，系统的固有频率为

动能定理及其应用动能定理应用举例——例题4即系统的等效质量为3m，等效刚度就是弹簧的刚度k第40页，共86页，2023年，2月20日，星期一根据功率方程，有动能定理及其应用动能定理应用举例——例题4利用功率方程求解

作用于质点系各力的功率之和为已求得第41页，共86页，2023年，2月20日，星期一

势能、机械能守恒定律第12章动能定理

有势力和势能

机械能守恒定律

第42页，共86页，2023年，2月20日，星期一●有势力

如果作用在物体上的力所作之功仅与力作用点的起始位置和最终位置有关，而与其作用点所经过的路径无关（path-independent），这种力称为有势力或保守力(conservativeforce)。

势能、机械能守恒定律

重力、弹性力等都具有这一特征，因而都是有势力。第43页，共86页，2023年，2月20日，星期一●势能（potentialenergy）

承受有势力作用的质点系，其势能的表达式为

其中M

0

为零势能位置，

M为所要考察的任意位置。

势能是质点系从某位置运动到任选的零势能位置时，有势力所作的功。

势能、机械能守恒定律第44页，共86页，2023年，2月20日，星期一

由于零势位置（零势点）可以任选，所以，对于同一个所考察的位置的势能，将因零势位置（零势点）的不同而有不同的数值。

为了使分析和计算过程简便，对零势能位置（零势点）要加以适当的选择。●势能

势能、机械能守恒定律例如对常见的弹簧－质量系统，往往以其静平衡位置为零势能位置，这样可以使势能的表达式更简明。

第45页，共86页，2023年，2月20日，星期一●有势力的功与势能的关系

根据势能的定义，可得到有势力的功和势能的关系

有势力所作的功等于质点系在运动过程起始位置与最终位置的势能差。

势能、机械能守恒定律第46页，共86页，2023年，2月20日，星期一●机械能守恒定律

质点系在某瞬时动能和势能的代数和称为机械能。

当作用在系统上的力均为有势力时，其机械能保持不变。这就是机械能守恒定律(theoremofconservationofmechanicalenergy)。

势能、机械能守恒定律第47页，共86页，2023年，2月20日，星期一其中W´12为非保守力的功。例如若系统上除了保守力外还有摩擦力，

W´12

就是摩擦力的功。

事实上，在很多情形下，质点系会受到非保守力的作用，这时的系统称为非保守系统。在保守系统动能定理中加上一附加项，就可以得到机械能之间的相互关系

●机械能守恒定律

势能、机械能守恒定律第48页，共86页，2023年，2月20日，星期一动力学普遍定理的综合应用第12章动能定理

矢量形式标量形式动力学普遍定理动量定理动量矩定理动能定理第49页，共86页，2023年，2月20日，星期一动力学普遍定理的综合应用

动量定理

给出了质点系动量的变化与外力主矢之间的关系，可以用于求解质心运动或某些外力。

动量矩定理

描述了质点系动量矩的变化与外力主矩之间的关系，可以用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动量和外力。

动能定理

建立了作功的力与质点系动能变化之间的关系，可用于复杂的质点系、刚体系求运动。

应用动量定理和动量矩定理的优点是不必考虑系统的内力。应用动能定理的好处是理想约束力所作之功为零，因而不必考虑。第50页，共86页，2023年，2月20日，星期一

在很多情形下，需要综合应用这三个定理，才能问题的解答。正确分析问题的性质，灵活应用这些定理，往往会达到事半功倍的作用。

另外，这三个定理都存在不同形式的守恒形式，也要给予特别的重视。

动力学普遍定理的综合应用第51页，共86页，2023年，2月20日，星期一例题5

均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：1．轮A、轮B之间的绳子拉力和B处的约束力；2．轮A与地面的接触点处的摩擦力。

动力学普遍定理的综合应用第52页，共86页，2023年，2月20日，星期一而故有取轮B和物块C组成的质点系为研究对象，分析受力，对点B应用动量矩定理，有解：

1．确定绳子拉力本例的条件与例题2相同。在例题2中已经求得例题5

动力学普遍定理的综合应用第53页，共86页，2023年，2月20日，星期一解得例题5

动力学普遍定理的综合应用第54页，共86页，2023年，2月20日，星期一

解：

2．确定B处的约束力对图示系统应用质心运动定理，有由此解得B处的约束力例题5

动力学普遍定理的综合应用第55页，共86页，2023年，2月20日，星期一解：

3．确定A轮与斜面之间的摩擦力

取轮A为研究对象，分析受力，应用相对质心的动量矩定理，得到注意到

于是，得到摩擦力例题5

动力学普遍定理的综合应用第56页，共86页，2023年，2月20日，星期一本例小结：

本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。还可以发现，每种问题的解法都并不是唯一的。这说明，对于具体问题，必须进行具体分析，没有统一的方法可循。

例题5

动力学普遍定理的综合应用第57页，共86页，2023年，2月20日，星期一均质细长杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。杆受微小干扰而倒下。求：杆刚刚到达地面时的角速度和地面的约束力。

例题6

动力学普遍定理的综合应用第58页，共86页，2023年，2月20日，星期一解：杆在水平方向不受外力，且由静止倒下，则在倒下过程中其质心将铅直下落。由运动学知，P为杆的瞬心。例题6

动力学普遍定理的综合应用v

CCA杆刚到达地面时，A点成为杆的瞬心，杆的的动能为：

第59页，共86页，2023年，2月20日，星期一例题6

动力学普遍定理的综合应用v

CCA杆在滑倒过程中，只有重力作功。由动能定理，有第60页，共86页，2023年，2月20日，星期一例题6

动力学普遍定理的综合应用AFNmga

CC杆刚到达地面时，受力及加速度分析如图。其中

其中

由运动学知

由刚体平面运动微分方程，得第61页，共86页，2023年，2月20日，星期一例题6

动力学普遍定理的综合应用AFNmga

CC其中

由运动学知

将加速度矢量式向铅垂方向投影，得

联立以上诸式，可以解得

第62页，共86页，2023年，2月20日，星期一

均质杆长为l，质量为m1，B端靠在光滑墙上，A端用铰链与均质圆盘的质心相连。圆盘的质量为m2，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示θ=45°时由静止开始纯滚动。试求:

A点在初瞬时的加速度。

例题7

动力学普遍定理的综合应用第63页，共86页，2023年，2月20日，星期一解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象。题中只有保守力作功，故机械能守恒，用机械能守恒定律求解。

注意到杆和圆盘质心到速度瞬心的距离恒定，则构件对瞬心的转动惯量为常数。因此系统的动能为例题7

动力学普遍定理的综合应用第64页，共86页，2023年，2月20日，星期一因此系统的动能为设轮心A的速度为vA，则有取经过轮心A的水平线为零势位置，系统的势能为

零势点m2gm1g例题7

动力学普遍定理的综合应用第65页，共86页，2023年，2月20日，星期一根据机械能守恒定律，有

将上式对时间求一次导数零势点m1gm2g例题7

动力学普遍定理的综合应用第66页，共86页，2023年，2月20日，星期一于是，点A在初瞬时的加速度为注意到初瞬时例题7

动力学普遍定理的综合应用第67页，共86页，2023年，2月20日，星期一解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象。用动能定理求解。

系统的动能为例题7

动力学普遍定理的综合应用设轮心A的速度为vA，则有代入系统的动能表达式，得第68页，共86页，2023年，2月20日，星期一m2gm1g例题7动力学普遍定理的综合应用只有杆的重力对系统作功根据动能定理上式对时间求导注意到初瞬时可解得第69页，共86页，2023年，2月20日，星期一解：以杆和圆轮组成的系统为研究对象。用功率方程求解。

系统的动能为例题7

动力学普遍定理的综合应用设轮心A的速度为vA，则有代入系统的动能表达式，得第70页，共86页，2023年，2月20日，星期一m2gm1g例题7

动力学普遍定理的综合应用只有杆的重力对系统作功，其功率为根据功率方程等式左边对时间求导注意到初瞬时可解得D第71页，共86页，2023年，2月20日，星期一关于汽车驱动问题的结论

发动机给出的主动力偶克服阻力和阻力偶作功使汽车的动能增加；

与汽车行驶方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力与空气的阻力使汽车的动量增加。结论与讨论1、关于动量和动能第72页，共86页，2023年，2月20日，星期一关于汽车驱动问题的结论

如果路面很滑，摩擦力很小，发动机功率再大汽车也只能打滑，而不能向前行驶；结论与讨论1、关于动量和动能反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而发动机不能发出足够大的功率，汽车同样不能向前行驶。第73页，共86页，2023年，2月20日，星期一

在动量、动量矩、动能定理的应用中，运动学方程起着非常重要的作用。很多情形下，动力学关系非常容易得到，但运动学关系却很复杂。参看下例。

结论与讨论3、运动学方程的重要性

第74页，共86页，2023年，2月20日，星期一

均质杆AB重W，A、B处均为光滑面约束，杆从铅垂位置无初速下滑。求:

图示位置时A、B二处的约束力。

分析：为了确定约束力，可以采用质心运动定理。

W结论与讨论3、运动学方程的重要性

关键是质心加速度如何确定？

第75页，共86页，2023年，2月20日，星期一

可以写出杆AB质心的坐标公式，然后求导数，表达出质心的加速度

结论与讨论3、运动学方程的重要性

方法1：第76页，共86页，2023年，2月20日，星期一方法2：杆端A和B的加速度方向已知，分别取其为基点，可得加速度一旦确定，其余问题便迎刃而解。以A为基点以B为基点结论与讨论3、运动学方程的重要性

注意到方向铅垂向下，方向水平向右，将上式分别向x、y方向投影问题是角速度、角加速度如何确定？

第77页，共86页，2023年，2月20日，星期一

由于约束力FNA、FNB的作用线均通过杆的速度瞬心，所以，可以采用相对瞬心的动量矩定理，很容易确定杆的角加速度α。将ϕ

看成变量，对α积分可求得角速度ω。

C*结论与讨论3、运动学方程的重要性

也可以由动能定理，很容易地求得角速度ω，进而可以求出杆的角加速度α。第78页，共86页，2023年，2月20日，星期一确定速度和角速度的方法点的运动学分析方法——选择合适的描述点的运动坐标系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时间求一次导数，即得点的速度。点的复合运动分析方法——正确选择动点和动系，确定牵连速度、相对速度和绝对速度。刚体平面运动分析方法——建立在速度合成定理基础上的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法。结论与讨论3、运动学方程的重要性

第79页，共86页，20