人教A版（2019）高中数学必修第二册6.1平面向量的概念同步训练及答案

.1平面向量的概念一、单选题1．下列命题中正确的是（

）A．温度是向量 B．速度、加速度是向量C．单位向量相等 D．若，则和相等2．如图，向量，则向量可以表示为（

）A． B． C． D．3．P是所在平面上一点，满足，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形4．已知空间四边形ABCD中，，，，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则（

）．A． B．C． D．5．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③（为实数），则必为零；④为实数，若，则与共线；⑤向量的大小与方向有关．其中正确的命题的个数为（

）A． B． C． D．6．如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．7．已知向量，且与方向相同，则的取值范围是（

）A．（1，+∞） B．（-1，1）C．（-1，+∞） D．（-∞，1）8．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．9．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（

）A．与 B．与C．与 D．10．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式：①；②﹔③；④.其中正确的是（

）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③二、填空题11．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是________．12．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有______个元素．13．已知为内一点，且满足，则为的________心．14．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.15．如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________.三、解答题16．已知向量．(1)若向量与垂直，求实数k的值；(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．17．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.(1)试用向量表示；(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.18．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；(2)求的模．19．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量，使；(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？参考答案：1．B【分析】根据向量的定义判断．【详解】温度只有大小，没有方向，不是矢量，A错误；速度有大小和方向，应该是向量，加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值．由于速度是矢量，速度的变化既可能有大小上的变化，同时也可能有方向上的变化，因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量，即是一个矢量．时间的变化，只有大小，是一个标量．因此加速度是一个矢量，也就是向量，B正确；向量既有大小也有方向，单位向量都是长度为1的向量，但方向可能不同，C错误；已知，但与的方向不一定相同，则与不一定相等，D错误．故选：B．2．C【分析】根据向量的线性运算法则结合图形可得的表达式.【详解】根据向量运算法则可得，又，所以，故选：C.3．B【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.【详解】由，可得，即，，等式两边平方，化简得，，因此，是直角三角形.故选：B.4．B【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果．【详解】如图，连接，则，故选：B．5．A【分析】根据向量、平行向量的定义、向量数乘运算依次判断各个选项即可.【详解】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误；对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以比较大小，②正确；对于③，当时，可以为任意实数，③错误；对于④，当时，，此时可以不共线，④错误；对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误.故选：A.6．B【分析】根据向量的相关概念及等腰梯形的定义即可求解.【详解】解：由题意，四边形是等腰梯形得，且，，所以选项A错误，选项B正确，又向量不能比较大小，所以选项C，D错误，故选：B7．C【分析】与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求.【详解】因为与同向，所以可设则有，又因为，，所以所以的取值范围是(-1，+∞)，故选：C.8．C【分析】根据向量共线判断三点共线即可．【详解】解：，又与过同一点B，∴A、B、D三点共线．故选：C．9．D【分析】由可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断.【详解】因为，则四边形是平行四边形，结合题图，，A错误；，B错误；与方向不相同，C错误；，D正确.故选：D10．B【分析】根据向量的定义、向量的模、平行向量的定义判断．【详解】对于①，的大小不能确定；对于②，两个非零向量的方向不确定；对于④，向量的模是一个非负实数，只有③正确．故选：B．11．,【分析】根据相等向量的定义确定即可.【详解】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以，,因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，.故答案为：，.12．12【分析】根据题中关于集合的定义，应用枚举法，列出符合条件的元素个数即可.【详解】由已知得，，且不重合，可得向量集合为（不含相等向量）：以为起点：，以为起点：，以为起点：，以为起点：，以为起点：综上所述，集合T有12个元素.故答案为：1213．重【分析】如图，取的中点，利用向量的加减法运算得到与共线，进一步得到三点共线，且，结合重心的性质可判断为的重心．【详解】如图，取的中点由．得，又，故，则与共线，又，有公共点，故三点共线，且，因此可得为的重心．故答案为：重.14．【分析】根据题设可得圆O的半径为1，结合已知条件及含的直角三角形的性质即可求.【详解】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示：在中，，，所以.故答案为：15．##【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.【详解】因为，分别为线段，的中点，所以,,,所以,所以，解得，所以，所以的值为.故答案为：.16．(1)(2)【分析】（1）利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；（2）利用向量的线性运算与向量平行的坐标表示即可得解；【详解】（1）因为，所以，又与垂直，所以，即，解得，所以.（2）因为，，因为，又与向量平行，所以，即，解得，所以.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解；（2）设，由及三点共线联立即可求解.【详解】（1）因为三点共线，所以存在实数使得，又因为三点共线，所以存在实数使得，根据向量相等可得，解得，所以.（2）设，由（1）可得①，②，又三点共线，所以③，由①②可得，，代入③式可得，即不论点在线段上如何移动，为定值.【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当为直线外一点时，三点共线的应用，属于基础知识的应用.18．(1)作图见解析(2)【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，又因为D点在B点的正北方，所以，又，所以，即D、C两点在坐标系中的坐标为，；即可作出、、如下图所示.（2）如图，作出向量，由题意可知