概率论与数理统计浙大四版习题答案第四章

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概率论与数理统计浙大四版教材习题解答

第四章

2.[二]某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，假使发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）

解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ

P=P（调整设备）=P(ξ1)=1－P(ξ≤1)=1－[P(ξ=0)+P(ξ=1)]1－0.7361=0.2639.

04

因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4,0.2639).P(X=0)=0.26390.7361

查二项分布表

40

=0.2936.

4

4

1322P(X=1)=0.26390.7361=0.4210,P(X=2)=0.26390.7361=0.2264.12

43

P(X=3)=0.26390.7361=0.0541,P(X=4)=3

40

0.26390.7361=0.0049.从而4

E(X)=np=40.2639=1.0556

3.[三]有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E(X)。

∵事件{X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）

∴

1331371

P(X1)33

4444644

2

2

3

∵事件“X=2〞=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒〞+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒〞+“三只球装入二号盒〞

∴

1221191

P(X2)33

4444464111171

P(X3)33

4444644

2

2

3

2

2

3

同理：

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11

P(X4)

464

E(X)1

37197125

234

6464646416

3

故

5.[五]设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为

1

x,0x1500

(1500)21

f(x)(x3000),1500x15002

(1500)

其他0

求E(X)解：E(X)

15000

xf(x)dx

x(1500)

2

xdx

30001500

x

(3000x)(1500)

2

dx

1(1500)

2

33

x1x30002

1500x23301500(1500)

1500(分)

6.[六]设随机变量X的分布为

求E(X)，E(3X+5)解：

E(X)=(－2)0.4+00.3+20.3=－0.2E(X2)=(－2)20.4+020.3+220.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+E(5)=8.4+5=13.4

2

XPk

－20.4

00.3

20.3

7.[七]设随机变量X的概率密度为

ex,x0

f(x)

0,x0

求（1）Y=2X

（2）Y=e－2x的数学期望。

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解：（1）E(y)

2xf(x)dx

2xe

x

dx

2xex2ex

2x

0

2

（2）E(Y)

ef(x)dx

e

2x

e

x

ex

13x1

e330

8.[八]设（X，Y）的分布律为

(1)求E(X)，E(Y)。(2)设Z=Y/X，求E(Z)。(3)设Z=(X－Y)2，求E(Z)。

解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为

E(X)=10.4+20.2+30.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)=(－1)0.3+00.4

+10.3=0.

（2）

E(Z)=(－1)0.2+(－0.5)0.1+(－1/3)0+00.4+1/30.1+0.50.1+10.1=(－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15.（3）

E(Z)=00.1+10.2+40.3+90.4+160=0.2+1.2+3.6=5

10.[十]一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）听从指数分布，概率密度为

11x

4,x0工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售

f(x)4e

0,x0

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一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

1

解：一台设备在一年内损坏的概率为P(X1)

4

14

14

10

e

14

x

dxe

x4

10

1e

14

故P(X1)1P(X1)1(1e则

)e

.设Y表示出售一台设备的净赢利

(300100)200,(X1)

Yf(X)

100,(X1).

1

4

故E(Y)(200)P(X1)100P(X1)200200e300e

14

100e

14

20033.64

11.[十一]某车间生产的圆盘直径在区间（a,b）听从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。

解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为

1,x(a,b)

f(x)ba

0,其它.

用Y表示圆盘的面积，则Y

12

πX,从而4

E(Y)

1π2

πxf(x)dx44

ba

(ba)1ππ222

xdx(aabb).ba4(ba)312

33

12.[十三]设随机变量X1，X2的概率密度分别为

2e2x,

f1(x)

0

x0x0

4e4x,x0

f2(x)

,x00

求（1）E(X1+X2)，E(2X1－3X22)；（2）又设X1，X2相互独立，求E(X1X2)解：（1）E(X1X2)E(X1)E(X2)

1

0

x2e

2x

dx

0

x4e

4x

dx

2x2x4x4x

exee=xe2424400

1

113

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（2）E(2X13X22)2E(X1)3E(X22)213

2

0

x4e

24x

dx

=13x2e4x

x4x14x35

ee1

28880

111

248

（3）E(X1X2)E(X1)E(X2)

13.[十四]将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X)

解：引进随机变量Xi

10

第i号盒装第i号球第i号盒装非i号球

i=1,2,n

n

则球盒对号的总配对数为XXi的分布列为

n

i1

Xi

E(Xi)

1n

i=1,2n

n

∴E(X)E(Xi)

i1

i1

E(Xi)n

1n

1i=1,2n

14.[十五]共有n把看上去样子一致的钥匙，其中只有一把能开启门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。

（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。解：（1）

E(X)1

11112nn12nnnn

n2

（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。

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设Xi

i第i次试开能开门0第i次试开不能开门

i=1,2n

n

则试开到能开门所须试开次数为X

i1

Xi

∵

E(Xi)=i

1

n

i=1,2n

nn

∴E(X)

i1

E(Xi)

i1

i12nn1

nnnn2

15.（1）设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：X*

验证E(X*)=0，D(X*)=1

（2）已知随机变量X的概率密度。

1|1x|,

f(x)

,0

0x2其它,XE(X)D(X)

求X*的概率密度。解：（1）E(X*)E[

XE(X)D(X)

]

1D(X)

[E(X)E(X)]0

XE(X

22

D(X*)=E[X*－E(X)*]]=E(X*)=E

D(X))

2

=（2）E(X)

2

112

E[XE(X)]D(X)1D(X)DX

20

x[1|1x|]dx

20

2

10

x[1(1x)]dx

21

x[1(1x)]dx1

E(X)

x[1|1x|]dx

10

x[1(1x)]dx

2

21

7

x[1(1x)]dx

6

2

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D(X)E(X)[E(X)]

22

71166

X*

XE(X)

DX

X11

6

FX*(y)P(X*y)P(

X116

y)P(X

16

1

y1)

6

y1

f(x)dx

01

y_1

6[1|1x|]dx

01

当

16

y10,即y6时1616

y12,即

6y

6时

当0当2

y1,即6y时

11

y1)|{1|1(

gX*(y)66

0

6y6

y为其他值

16.[十六]设X为随机变量，C是常数，证明D(X)E{(X－C)2}，对于C≠E(X)，（由于D(X)=E{[X－E(X)]2}，上式说明E{(X－C)2}当C=E(X)时取到最小值。）

证明：∵D(X)－E(X－C)2=D(X2)－[E(X)]2－[E(X2)－2CE(X2)+C2=－{[E(X)]－2CE(X)+C}=－[E(X)－C]20，

∴当E(X)≠C时D(X)E(X－C)2

1xe,x017.设随机变量X听从指数分布，其概率密度为f(x)θ其中θ0是常

0,x0

2

2

2

数，求E(X)，D(X)。

解：

E(X)

0

1θxedxθ

x

0

xd(e

xθ

)xe

xθ

0

0

e

xθ

dx0(θe

xθ

)

0

θ

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又E(X2)

1θ

0

xe

2

xθ

令tdx

xθ

θ

2

0

te

2t

dt2θ

2

D(X)=E(X2)－E2(X)=2θ2－θ2=θ2

21．设X1,X2,,Xn是相互独立的随机变量且有E(Xi)μ,D(Xi)σ2,i=1,2,,n.

1

记X

n

X

i

，S

2

1

n

(X

i

X).（1）验证E(X)μ,D(X)

2

σ

2

.（2）验证

n

i1

n1

i1

n

n

S

2

1n1X22

inX

.（3）验证E(S2)

i1

n

n

n

证明：（1）E(X)E(

1

n

X1

i)

i)

i1

n

E(X1

i1

n

μμ

i1

(利用数学期望的性质2，3)

n

n

2

D(X)D(

1,,Xn相互独立

1n

n

XX1i)

X

2

i

)

1

i1

n

2

D(i1

n

2

i1

n

(利用方差的性质2，3)

n

n

（2）首先证(X2

iX)

X

2i

nX

2

i1

i1

nn

n

n

(X

2

i

X)

(X

2i

2X2

iXX)

X

2i

2

XiXnX

2

i1

i1i1i1

n

n

X2

2

2

2

i2nXXnX

XinX.

i1i1

n

n

于是S

2

122

n1X

i

nX

2

1

i1

n1

(X

i

X)

i1

n

n

（3）E(S2

)E[

1

2

n1

(X122

iX)]n1E(

XinX)

i1

i1

n

1

n1

E(X

2i

)nE(X

2

)

i1

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n

122

(D(X)E(X)n(D(X)E(X))ii

n1i1

1

[nσ

n1

2

nμ

2

n(

σ

2

n

μ)]σ

22

23．[二十五]设随机变量X和Y的联合分布为：

验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。证：∵

P[X=1Y=1]=

18

P[X=1]=

33P[Y=1]=88

P[X=1Y=1]≠P[X=1]P[Y=1]

∴X，Y不是独立的又

E(X)=－+0

3

838

23

+1=08828

3

=08

E(Y)=－COV(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}=E(XY)－EXEY=(－1)(－1)

1111+(－+1(－+1=08888

∴X，Y是不相关的

27．已知三个随机变量X，Y，Z中，E(X)=E(Y)=1,E(Z)=－1，D(X)=D(Y)=D(Z)=1,ρXY=0ρXZ=

11

，ρYZ=－。设W=X+Y+Z求E(W)，D(W)。22

解：E(W)=E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)=1+1－1=1D(W)=D(X+Y+Z)=E{[(X+Y+Z)－E(X+Y+Z)]2}=E{[X－E(X)]+[Y－E(Y)]+Z－E(Z)}2

=E{[X－E(X)]2+[Y－E(Y)]2+[Z－E(Z)]2+2[X－E(X)][Y－E(Y)]

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+2[Y－E(Y)][Z－E(Z)]+2[Z－E(Z)][X－E(X)]}

=D(X)+D(Y)+D(Z)+2COV(X,Y)+2COV(Y,Z)+2COV(Z,X)=D(X)+D(Y)+D(Z)+2D(X)D(Y)ρ+2D(Z)D(X)ρ

1

ZX

XY

2D(Y)D(Z)ρ

XZ

1021(

1)2

21()3

2

26.[二十八]设随机变量（X1，X2）具有概率密度。

f(x,y)

1

(xy)，0≤x≤2,8

0≤y≤2

X1X2

求解：

E(X1)，E(X2)，COV（X1，X2），ρ

E(X2)E(X2)

D(X1X2)

2023

dxdx

2023

xy

17

(xy)dy

8617

(xy)dy

86

COV(X1X2)E{(X1

77

)(X2)}66

20

dx(x

2

76

)(y

2

76

)

18

(xy)dy

2

136

D(X1)E(X)[E(X1)]

2

1

2

20

dx

1117

x(xy)dy

8636

2

D(X2)E(X)[E(X2)]

2

2

2

20

dx

20

1117

y(xy)dy

8366

2

2

XY

COV(X1,X2)DX

1

1

DX

2

136

111136

D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)+2COV(X1,X2)=

111115

2()3636369

28.[二十九]设X～N（μ，σ2），Y～N（μ，σ2），且X，Y相互独立。试求Z1=αX+βY和Z2=αX－βY的相关系数（其中,是不为零的常数）.

解：由于X，Y相互独立

Cov(Z1,Z2)=E(Z1,Z2)－E(Z1)E(Z2)=E(αX+βY)(αX－βY)－(αEX+βEY)(αEX－βEY)

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=α2EX2－βEY2－α2(EX)2+β(EY)2=α2DX－β2DY=(α2－β2)σ2

DZ1=α2DX+β2DY=(α2+β2)σ2,DZ2=α2DX+β2DY=(α2+β2)σ2,

(利用数学期望的性质23)

故ρ

Z1Z2

Cov(Z1,Z2)DZ

1

(α(α

22

β)β)

2

2

DZ

2

2

29．[二十三]卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）听从N（50,2.5）问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.

解：已知X～N（50,2.52）不妨设最多可装A袋水泥才使总重量超过2000的概率不大于0.05.则由期望和方差的性质得Y=AX～N（50A,2.52A）.故由题意得

P{Y≥2000}≤0.05P{Y2000)0.95即

200050A200050A

0.95查表得1.65解得A≥39.

2.5A2.5A

30.[三十二]已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p.

解：由题意知μ=7300,σ=700，则由契比雪夫不等式

P{5200X9400}P{|X7300|2100}1

7002100

22

1

18

0.888999

31.[三十三]对于两个随机变量V,W若E(V2)E(W2)存在,证明[E(VW)]2≤E(V2)E(W2)这一不等式称为柯西施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式.

证明：由|VW|

1

(V2

2

W)和关于矩的结论，知当E(V),E(W)存在时E(VW)，

222

E(V),E(W),D(V),D(W),都存在.当E(V2),E(W2)至少有一个为零时，不妨设E(V2)=0，

由D(V)=E(V2)－[E(V)]2≤E(V2)=0知D(V)=0，此时[E(V)]2=E(V2)=0即E(V)=0。再由方差的性质知P(V=0)=1.又(VW0)(V0)故有P(VW=0)=1.于是

22

E(VW)=0，不等式成立.当E(V)0，E(W)0时，对t0

有E(W－tV)=E(V)t－2E(VW)t+E(W)≥0.(*)

(*)式是t的二次三项式且恒非负，所以有=[－2E(VW)]2－4E(V2)E(W2)≤0故Cauchy-Schwarz不等式成立。

[二十一（]1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5－i,i=1,2,3,4。设Y=2X1－X2+3X3－

2222

1

X4，求E(Y)，D(Y)。2

（2）设随机变量X，Y相互独立，且X～N（720，30），Y～N（640，25），求Z1=2X+Y，

22

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Z2=X－Y的分布，并求P{XY},P{X+Y1400}

解：（1）利用数学期望的性质2，3有E(Y)=2E(X1)－E(X2)+3E(X3)－利用数学方差的性质2，3有

D(Y)=2D(X