概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

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概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

概率论与数理统计作业4（2.1～2.3）

一、填空题

b

（其中k1,2,...）可以作为离散型随机变量的概率分布.

k(k1)

1

2.同时掷3枚质地均匀的硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为.

2-2

3.X~P(2)，则P(X2)0.5941-3e

1.常数b=时，

pk

二、选择题设随机变量

X

是离散型的，则可以成为

X

的分布律

0x2x3x4x51x1

(A)（是任意实数）(B)p

p1p0.10.30.30.20.2

e33ne33n

(C)P{Xn}(n1,2,)(D)P{Xn}(n0,1,2,...)

n!n!

三、计算题

1．一批零件中有9个合格品与3个废品。安装机器时从中任取1个。假使每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前

已取出的废品数的概率分布。

解：设X表示取得合格品以前已取出的废品数，

P3kP91

则X=0，1，2，3;P(Xk)k1

P12

.

2．解：设X表示射击次数，

则X=1，2，3;P(X

.

k)p1p

1k

3．20个产品中有4个次品，

（1）不放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布；（2）放回抽样，抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布。解：(1)不放回抽样，设X表示样品中次品数，

则X=0，1，2，3,4;X~H(6,4,20)

k4kC

4C16

P(Xk)6

C20

.

(1)放回抽样，设X表示样品中次品数，

则X=0，1，2，3,4;X~B(6,0.2)

k

0.20.8P(Xk)C6

k

6k

.

概率分布表如下

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

4.一批产品分一,二,三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机地抽取一个检验质量,设

X

表示抽出产品的级数，写出它的概率函数.解：X=1，2，3;

一、填空题

～2.7）

1.设随机变量

X的密度函数

0x1x

f(x)2x1x2，则PX1.5

0其它

0.875；P

X1.5

0.2.设随机变量

X

的密度函数为

1

k121x2fxx

其它0

则k2．

二、判断题

1

可否是连续随机变量X的分布函数，假使X的可能值充满区间：

1x2

（1）,；

1

01.解：不可以.因Flim

x1x2

（2）,0.

函数解：可以.

11

0;F0lim1.

x1x2x01x2

且F(x)在,0上单调非减，Flim

1,x0

故令Fx1x2可以是连续随机变量X的分布函数

x01

三、计算题1．已知随机变量1）确定常数

X

只能取-1，0，1，2四个值，相应概率依次为

c；

135737解：1,c.

2c4c8c16c162）计算P(X1|X0)；

PX1X0PX1解：PX1X0

PX0PX1PX1PX2

1357

，,,,

2c4c8c16c

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

1

=

825.

2c8c16c

3）求

X

的分布函数并做出其图像

0

x8

1371x0解：Fx20

0x1

37301x2371

x20

x11x12.设离散型随机变量X的分布函数为F(x)

0.40.71x3，求

X

的分布列。1

x3

解：

x1

3.随机变量X的概率密度为

fx当,

0当x1

求：（1）系数A；1

解：由

A-1

1x

2

12Aarcsinx101A

1

.

（2）随机变量X落在区间

12,1

2

内的概率；解：P1

1

1

2X12212211-11x

2201x23.（3）随机变量X的分布函数。解：当

x-1时，Fx0；

当1x1时，Fx

x1x

1

ftdt

0dt

1

t

12

21

arcsinx；

当

x1时，

Fxx1

1

x

ftdt1

0dt

1t

2

1

0dt1.

x1

Fx0,11

2

arcsinx,1x1

1x1.

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

4.（拉普拉斯分布）随机变量

X的概率密度为fxAe

x

,x,

2A1,A

1.2

求：（1）系数A；解：0xxxAedxedx01x

fxe,内的概率；x.（2）随机变量X落在区间

fxdx

Aedx

0,12

e1P0X111x

.edx

022e

X的分布函数。

x

（3）随机变量解：当

1t1

dtex;

22x01x11

当x0时，Fxftdttdttdt1ex;

2023x0时，Fx

ftdt

x

1x

x0;2e,

Fx01x

1e,x0.2

F(x)5.设连续型随机变量的分布函数为:X2Ax

1

1）求系数A;解：1

x00x1x1

F1F1-0A,A1.

2）P(0.3X0.7);

22

解：P0.3X0.7F0.7-F0.30.7-0.30.4.3)概率密度函数f(x).

解：fxFx

.

0其他2

6．设X~U(0,6),求方程x2Xx5X40有实根的概率解：X~U0,6

2x,0x1

1

,0x6

概率密度为fx6.

其他0

2

方程x2Xx5X40有实根

4X245X44X25X44X4X10X4或X1.

4131

即求PX4或X11P1X41-1.1662

7.某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度

100

x100

f(x)x2,某一个电子设备内配有3个这

其它0

150

样的电子管,求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解：每个电子管使用150小时需要更换的概率为

1001

PX150,2100

x

3

3个电子管使用150小时都不需要更换的概率为

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

8012P30C3.

3327

概率论与数理统计作业8（3.1～3.3）

一、填空题1.

03

1/32/3

2(1x)0x1

2.设X的密度函数为f(x)，则

其它0

E(X)E(X2)1/6．

X202

X3.随机变量的分布率为，则E(X)-0.2，

P0.40.30.3

E(3X25)

4.已知随机变量

X,Y独立同分布

XP

01

，则

PXY1

54,EXY.99

X

的分布列为P（

Xm）＝

1

，m＝2,4,,18,20,，则10

E(X)

5.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为发生故障的仪器数，则E二、计算题1.连续型随机变量值。解：由

X

p1，其次台仪器发生故障的概率为p2．令X

表示测试中

p1p2kxa

f(x)

0

0x1(k,a0)其它

又知

X

的概率密度为

E(X)0.75，求k和a的

fxdxkxadx1,得

1

k

1,

a1

10

又

E(X)0.75，则有xfxdxxkxadx0.75,得

k

0.75,

a2

故由上两式解得k=3,a=2.

2.对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。假使发现次品，则马上中止检查而认为这批产品不合格；假使连续检查5个产品，都是合格品，则也中止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p，求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则:P(Xm)pqm1(m1,2,3,4)；

P(X5)pq4q5q4(pq1)

∴X的概率分布表如下：

XP(Xm)

1p

2pq

3pq2

4pq3

5q4

234234

EXp2pq3pq4pq5q510p10p5pp3．设二维随机变量X,Y的联合密度函数为

212

xyx2y1

fx，y4

其它0

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

1）求E2）求

X，EY及EXY；

的边缘密度函数；

X与Y

121212

解：1）EXxxydyx3x7dx0;2184

1117217

EYyfx,ydxdydx2yx2ydyx2x8dx;

1x1449

1117212

EXYxyfx,ydxdydx2xyxydyx3x9dx0;

1x144

121212

2）当x1时，fXxfx,ydy2x2ydyxx6;

x48

当x1时，fXx0.

xfx,ydxdy1dxx

11

212

xx6,

fXx8

f0,y当0y1时，

x1;x1.

Y

fx,ydx

y

当

y1或y0时，fYy0.

2127

xydxy2;y42

5

概率论与数理统计作业9（3.4～3.7）

一、填空题

1

X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上听从均匀分布，X2听从e()，X3听从参数为=3的

2

泊松分布，记YX12X23X3，则D(Y)46

1.设随机变量

1

X,Y相互独立，又X~P2,Y~B8,则EX2Y，DX2Y

4

1

3.随机变量X~B(10,0.6),Y~P(0.6),相关系数R(X,Y),Cov(X,Y)4

2.随机变量4、若

8．

X~B(n,p)，且E(X)12，D(X)8，则n，p

1

.3

二、选择题

1.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X

Y)DXDY是X和Y的A）不相关的充分条件，但不是必要条件；B）独立的必要条件，但不是充分条件；C）不相关的必要条件，但不是充分条件；D）独立的充分必要条件2.设

X~P()，且E(X1)X21，则=A

A）1，B）2，C）3，D）03.设

1

X1,X2,X3相互独立同听从参数3的泊松分布，令Y(X1X2X3)，则

3

2

E(Y)C

A）1.B）9.C）10.D）6.

4.将一枚硬币重复掷（A）。

n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于

A）1B）0C）1/2D）15．设随机变量D(X)A）a

2，D(Y)2，而且X与Y不相关，令UaXY，VXbY，且U与V

也不相关，则有（C）

b0；B）ab0；C）ab0；D）ab0．

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

6．若

X,Y表示二维随机变量X,Y的相关系数，则“X,Y1〞是“存在常数a、b（b0）使得

PYabX1〞的（C）

A）必要条件，但非充分条件；B）充分条件，但非必要条件；

C）充分必要条件；D）既非充分条件，也非必要条件．三、计算题

1、一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个，假使取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的方差.

解：设X表示取得合格品以前已取出的废品数，

P3kP91

则X=0，1，2，3;P(Xk)k1

P12

.

EX0.3,EX2

2

,DXEX2EX0.319.221100

|x|1f(x)，求D(X)

0|x|1

2、设随机变量

X

的概率密度为

1）EX

1

1

1

x

2

1

x

1

2

2

0;

2

EXx

1

2

1x

2

20

1

x2

1x

2

,

令xsint,dxcostdt

1cos2t1

DXEXsintdt.

22

3.二维随机变量（X,Y）在区域R：0x1,0yx上听从均匀分布，求：（1）数学期望EX

2

2

2

2

及EY；（2）

方差DX及DY；（3）协方差cov(X,Y)及相关系数R(X,Y)。

解：由题设得

fx，y

2,0x1,0yx

其它

1

x

0

，则

2;

0031x1

EYyfx,ydxdy2dxydy;

0031x122

EXxfx,ydxdy2dxx2dy;

0021x1

EY2y2fx,ydxdy2dxy2dy;

006

1122

DXEX2EX;DYEY2EY.

1818

1x1

EXYxyfx,ydxdy2dxxydy.

004EX

xfx,ydxdy2dxxdy

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

covX,YEXYEXEY

covX,Y1

RX,Y.

DXDY2

4.设(X,Y)的联合概率分布如下表所示,计算

1;36

与的相关系数,并判断

与是否独立?

解：

,

p1,1

pX1pY1,X,Y不独立。864

EX0,EY0,

333333,EY2,88488433DX,DY.

44

1111

EXY0.

8888EX2RX,Y

5.(

covX,Y0.

DXDY

X，Y)只取以下数组中的值：(0,0),(1,1),(1,

11115),(2,0)且相应的概率依次为，

，，，

6312123

求X与Y的相关系数,并判断X与Y是否独立?

解：由题设得

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2

,

513,EY,12362537

EX2,EY2,

12108275275DX,DY.

1441296

1113

EXY,

33636EX

13513

covX,Y221

RX,Y0.804.

275DXDY35275

123635

p1,00pX1pY0,X,Y不独立。

144

6.两个随机变量(X，Y),已知D(X)25，D(Y)36，R(X,Y)0.4，计算D(XY)与D(XY).

解：

DXYDXDY2covX,YDXDY2RX,YDXDY253620.45685;

DXYDXDY2covX,YDXDY2RX,YDXDY253620.45637.

75y2,0y1;fy2Yy1或y0.0,

概率统计作业10（3.8～4.2）

1.随机变量

X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P

XEX2

解：

PXEX2

21.42

2.利用切比雪夫不等式估计随机变量与数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率.

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

解：

PXEX3

DX1

0.1111.

929

3.为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验，利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率.

解：设事件A在每次试验中发生的概率为p，在这10000次试验中发生了X次,则EX=np=10000p=10000p,DX=10000p(1-p),

因此，所求事件的概率为XDXP10000p0.01PX10000p100PXEX10011002

21p1p2

310.75.4、填空题p

1pp

1）设

X~N3,42

2）随机变量3）

X,Y听从一致分布N,2，则EaXbYaXbYa2b222

4

EX2

1

X~N20,2PXa

2

，则

2

25．

2

，若，则

a20

．

．

4）设随机变量

X~N(2,2)，且P(2X4)0.3，则P(X0)0.2．

5）已知连续随机变量

X

的概率密度函数为

f(x)

x22x1

，则

X

的数学期望为，

X

的方差为5.设随机变量

（1）（4）

pX2.2;（2）p1.6X5.8;（3）pX3.5;

，查表求:X听从正态分布N（1，22）

pX4.56.

解：

5.8-1-1.6-1

2p-1.6X5.8-2.4--1.3

22

2.4-11.30.8950；

3.5-1-3.5-1

3pX3.5-1.25--2.25

22

1.25-12.250.8822；

2.2-11pX2.2；0.60.7257

2

4pX

4.56-1-4.56-1

4.561-pX4.561--

22

1-1.78--2.782-1.78-2.780.0402.

x202

3200

6.设测量两地的距离时带有随机误差

X

，其概率密度为

f(x)

，

x．求

1）测量误差的绝对值不超过30的概率；

2）连续独立测量3次，至少有一次误差的绝对值不超过30的概率．

解：1）由题设

X~N20,402

30-20-30-20

pX30-0.25--1.25

4040

0.25-11.250.4931；

2）设Y表示连续独立测量3次，“误差的绝对值不超过30〞所发生的次数，

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

则Y～B（3，0.4931），所求为

pY11pY0110.493110.506930.8698.

3

概率论与数理统计作业13（6.1～6.2）

一、填空题

1.若X是离散型随机变量，分布律是P{X

（是待估计参数），则似然函数Pxi;，Xx}P(x;)，

i1

n

n

是连续型随机变量，概率密度是

f(x;)，则似然函数是fxi;。

i1

2.若

若未知参数的估计量是，若ED1D2

,称

1,2是未知参数的两个无偏估计量，是的无偏估计量。设

,则称

1较2有效。

3.对任意分布的总体，样本均值计量。4.设总体

X

是

2的无偏估总体均值的无偏估计量。样本方差S2是总体方差

的一个样本，则

X~P()，其中0是未知参数，X1,,Xn是X

PXxp1p

的矩估计量为X，极大似

然估计为X。

二、计算题

1.设总体听从几何分布:数

x1

p的矩法估计量和极大似然估计。

解先求矩法估计量：

,x1,2,3.假使取得样本观测值为x1,x2,,xn,求参

EX

111

,令EXX,即X,解得p的矩估计量为p.ppX

再求极大似然估计

构造似然函数:

Lpp1p

i1

n

xi1

xin

p1pi1

n

n

n

lnLpnlnpxniln1p

i1

nxnidlnLpni10

令

dpp1p

解得p的极大似然估计值为

p

n

x

i1

n

i

1

.x

2.设总体

X

的概率密度为

(1)x,0x1

f(x;)，其中1是未知参数，X1,,Xn是来自X

0其它

（2）求的极大似然估计。的矩估计量；

11

解EXxf(x;)dxx1xdx,

0

2

1

令EXX,即X,

2的容量为n的简单随机样本，（1）求

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

解得

的矩估计量为

2X1

.

1X

对于总体

X

的样本值x1,x2,,xn,似然函数为

n

L()

i1

1n(x1x2xn),0xi1(i1,2,,n),

f(xi;)

0,其他.

当0

xi1(i1,2,,n)时,L()0,取对数得

lnL()nln1lnxi,

i1

n

对

求导数，得

n

d[lnL()]n

lnxi，

d1i1

令

n

d[lnL()]n

lnxi0,

d1i1

解得

1

n

lnx

i1

n

，

i

于是

的最大似然估计值为1

n

lnx

i1

n

．

i

3.X的概率分布为

X0123

P2

21212

，其中

(0)是未知参数，利用总体X的如下

1

2

样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求解：EX

的矩估计值和最大似然估计值。

31303123

2,

8

2(1)223(12)34,xX,即3-4X2,

14

n

令EX

解得

.的矩估计值为

对于给定的样本值,似然函数为

Lpxi;46112

2

i1

4

lnLln46ln2ln14ln12，dlnL628628242

,

d112112

令

dlnL0,

d

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解得

12

7.

12

又1

71

，不合题意.

122

故

的最大似然估计值为

7.

12

2e2(x),x

f(x,)

0,x

，其中

5.设某种元件的使用寿命X的概率密度为

0是未知参数，X1,,Xn

是来自总体X的简单随机样本，（1）求总体X的分布函数F(x)；（2）求量，探讨它是否具有无偏性。解：(1)当

x时，Fx0；

当x时，

；（3）用做的估计的最大似然估计量

Fx

F(

x

ftdt0dt2e2tdt1e2x.

x

x)

x

1e2(x),x,

f(t)dt

x.0,

n

(2)对于给定的样本值,似然函数为

n

n

Lfxi;2e2xi2ne

i1

i1

2

xi

i1

2ne

2

xin

i1

n

n

n

lnLnln2-2xin2n2xinln2

i1i1

故lnL

dlnL2n0,

d

是的增函数，当取得最大值时，lnL最大。

而

minx1,x2,xn,故的最大似然估计量minX1,X2,Xn.(3)先求

的分布函数。

xPminX,X,,XxFxP12n

=1=1

PminX1,X2,,XnxPX1x,X2x,,Xnx

=1

1Fxn

1e2nx,x,

=

x.0,

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概率密度为

fx

dFxdx

2ne2nx,x,

x.0,

由于

2nx)Exfxdx2nxedx

=

1

2n

，

所以

作为的估计量不具有无偏性.

概率论与数理统计作业14（6.3～7.1）

一、填空题1、设总体

X~N,2,1,，n是的样本，则当2已知时，求

的置信区间所使用的统计量为

听从N0,1分布；当2未知时，求

的置信区间所使用的统计量

听从

t分布．

2、设总体

X~N,2,1,，n是来自的一个样本，则当已知时，求2的置信区间所使用的统计量为

==

1

2

1

X

i1n

n

i

X

2

；

听从2n分布．则当

未知时，求

2的置信区间所使用的统计量为

2

X

i1

i

2

；

听从2n1分布．

3、设由来自总体间是

X~N,2

容量为9的简单随机样本，得样本均值=5，则未知参数的置信度为0.95的置信区

ss

,即50.77s，Xtn1，Xtn1X0.77sn2n2

．

二、计算题

1、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（毫米）如下：

14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8.

设滚珠直径听从正态分布，求直径的均值对应于置信概率0.95的置信区间.假使：（1）已知标准差为0.15毫米；（2）未知标准差.解：（1）因

已知，取u

X

~N0,1,

n

10.95,0.05,

u，Xu。的置信水平为0.95的置信区间为Xn2n2

又X14.911,0.15,n9,uu0.025t0.0251.96,

的置信水平为0.95的置信区间为14.813,15.009.

X

（2）因未知，取t~tn1,

故

2

S

n

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

10.95,0.05,

sstn1，Xtn1的置信水平为0.95的置信区间为X.

nn22

又X14.911,s0.203,n9,tn1t0.02582.31,

的置信水平为0.95的置信区间为14.75,15.07.2.进行30次独立测试，测得零件加工时间的样本均值5.5秒，样本标准差s=1.7秒.设零件加工时间是听从正态分布的，

故

求零件加工时间的均值及标准差对应于置信概率0.95的置信区间.

2

X

~tn1,

n

10.95,0.05,

sstn1，Xtn1的置信水平为0.95的置信区间为X.

nn22

又X5.5,s1.7,n30,tn1t0.025292.04,

解：因

未知，取t

故因

的置信水平为0.95的置信区间为4.867,6.133.未知，取

2

2

10.95,0.05,

n1S2

2

~2n1,

n1S2n1S2

,.的置信水平为0.95的置信区间为22

n112n1

2

又

X5.5,s1.7,n30,2n120.0252945.7,21n120.9752916,

故

的置信水平为0.95的置信区间为1.354,2.289.

2

2

2.从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命（以小时计）为10501100

112012501280，设灯泡寿命听从正态分布，求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.

X

~t4,

n

10.95,0.05,

Pttn11Pttn110.95,又tn1t0.0542.13,由ttn1,解得

s

tn11064.98.的置信水平为0.95的单侧置信下限为Xn

2

4、设总体X~N,，已知0，要使总体均值对应于置信度为1的置信区间长度不大于L，问应

解：因

未知，取t

抽取多大容量的样本？解：因

0已知，的置信水平为1-的置信区间为X

0

n

u，X

2

0

u。

n2

由题意置信区间长度不大于L，即

20

uL，n2

概率论与数理统计作业(山东建筑大学作业纸)

2

n

40L2

2

u.2

概率论与数理统计作业15（7.2～7.5）

1．已知在正常生产状况下某种汽车零件的重量听从正态分布