河北省某中学高考数学模拟试卷(文科)(5)-Word版含解析

2016年河北省衡水中学高考数学模拟试卷（文科）（5）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=3﹣2x}，则A∩B=（）A．{（，）} B．（，）C．{，} D．{（，），（﹣，﹣）}2．已知复数z=（i为虚数单位），则（）A．z的实部为 B．z的虚部为C． D．z的共轭复数为3．椭圆C：+=1（a＞0）的离心率是，则实数a为（）A． B． C．或 D．或4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B． C． D．25．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．已知sin（﹣+α）=，则cos2α=（）A．﹣ B． C．或﹣ D．7．已知函数f（x）=ln（ax+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，则不等式f（x）＞alna的解集是（）A．（a，+∞）B．（﹣∞，a）C．当a＞1时，解集是（a，+∞）；当0＜a＜1时，解集是（﹣∞，a）D．当a＞1时，解集是（﹣∞，a）；当0＜a＜1时，解集是（a，+∞）8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A． B． C．π D．9．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．3 B． C． D．210．将函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将其向左平移个单位后，所得的图象关于y轴对称，则ω的值可能是（）A． B． C．5 D．211．在等比数列{an}中，若a2a5=﹣，a2+a3+a4+a5=，则=（）A．1 B． C． D．12．定义：若函数y=f（x）对定义域内的任意x，都有f（m+x）=f（m﹣x）恒成立，则称函数y=f（x）的图象的直线x=m对称，若函数f（x）=cx3+ax2+bx+1关于直线x=对称，且a＞4（+1），则函数g（x）=ex+f（x）在下列区间内存在零点的是（）A．（﹣1，﹣） B．（﹣，0） C．（，1） D．（1，2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（k，6）与向量=（3，﹣4）垂直，若=（x，y），（x＞0，且||=，向量+，在向量方向上的投影为1，则向量的坐标为______．14．设变量x，y满足不等式组，则z=的取值范围是______．15．某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE=1米，则烟囱高AB=______米．16．已知函数f（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，函数g（x）=kx（k＞0），若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），则正数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=ln（n+1）﹣a．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=e（e为自然对数的底数），定义：bk=b1•b2•b3•…•bn，求bk．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AB，CB⊥A1ABB1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC；（2）若AC=5，BC=3，∠A1AB=60°，求三棱锥C﹣AA1B的体积．19．随机抽取某中学高三年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图，其中甲，乙两班各有一个数据被污损．（1）若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，求甲，乙两班污损处的数据；（2）在（1）的条件下，求甲，乙两班同学身高的平均值；（3）①若已知甲班同学身高的平均值大于乙班同学身高的平均值，求甲班污损处的数据的值；②在①的条件下，从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于170cm的同学，求身高为181cm的同学被抽中的概率．20．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点．（1）若=﹣11，求直线AB的方程；（2）求△ABF面积的最小值．21．已知函数f（x）=xcosx﹣sinx（x＞0）．（1）求函数f（x）在点（，f（））处的切线方程；（2）记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点，证明：不等式+++…+＜（n∈N*）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，已知圆上的四点A、B、C、D，CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点．（1）求证：∠CDA=∠EDB（2）若BC=CD=5，DE=7，求线段BE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（1）求圆心的极坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．

2016年河北省衡水中学高考数学模拟试卷（文科）（5）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=3﹣2x}，则A∩B=（）A．{（，）} B．（，）C．{，} D．{（，），（﹣，﹣）}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=3﹣2x}，∴A∩B={（x，y）|}={（x，y）|y=3﹣2x}={（，）}，故选：A．2．已知复数z=（i为虚数单位），则（）A．z的实部为 B．z的虚部为C． D．z的共轭复数为【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数z，对四个选项进行判断即可．【解答】解：复数z===﹣i（i为虚数单位），所以z的实部为，A错误；z的虚部为﹣，B错误；|z|==，C错误；z的共轭复数为+i，D正确．故选：D．3．椭圆C：+=1（a＞0）的离心率是，则实数a为（）A． B． C．或 D．或【考点】椭圆的简单性质．【分析】对椭圆的焦点分类讨论，利用离心率的计算公式即可得出．【解答】解：当椭圆C焦点在x轴上时，e==（a＞0），解得a=．当椭圆C焦点在y轴上时，e==（a＞0），解得a=．综上可得：a=，或a=．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B． C． D．2【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件S∈Q，退出循环，即可得到S的值．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=2，执行循环体，n=3，M=，S=log2，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=4，M=，S=log2+log2，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=5，M=，S=log2+log2+log2由于：S=（log24﹣log23）+（log25﹣log24）+（log26﹣log25）=log26﹣log23=1，故此时满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为1．故选：A．5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．6．已知sin（﹣+α）=，则cos2α=（）A．﹣ B． C．或﹣ D．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：∵sin（﹣+α）=sin（α﹣）=﹣cosα=，∴cosα=﹣，则cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故选：A．7．已知函数f（x）=ln（ax+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，则不等式f（x）＞alna的解集是（）A．（a，+∞）B．（﹣∞，a）C．当a＞1时，解集是（a，+∞）；当0＜a＜1时，解集是（﹣∞，a）D．当a＞1时，解集是（﹣∞，a）；当0＜a＜1时，解集是（a，+∞）【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数的性质可得：f（0）=0，解得b=0．可得f（x）=xlna．则不等式f（x）＞alna，即为：（x﹣a）lna＞0．对a分类讨论即可得出．【解答】解：函数f（x）=ln（ax+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，∴f（0）=ln（1+b）=0，解得b=0．∴f（x）=xlna．则不等式f（x）＞alna，即为：（x﹣a）lna＞0．∴不等式转化为，或，故选：C．8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A． B． C．π D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的，利用体积公式即可得出结论．【解答】解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的．∵球的半径R=1，∴V==π故选：C．9．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．3 B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出一个虚轴端点为B（0，b）以及双曲线的一条渐近线，根据点到直线的距离公式，建立方程关系，进行求解即可．【解答】解：设双曲线的一个虚轴端点为B（0，b），双曲线的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，则点B到bx﹣ay=0的距离d===，即c=2a，∴双曲线C的离心率为e==2，故选：D10．将函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将其向左平移个单位后，所得的图象关于y轴对称，则ω的值可能是（）A． B． C．5 D．2【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦的图象的对称性，求得ω=6k+2，结合所给的选项，可得结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin（ωx+）的图象；再将其向左平移个单位后，可得y=sin[ω（x+）+]=sin（ωx+ω•+）的图象，根据所得的图象关于y轴对称，则ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=6k+2，结合所给的选项，故选：D．11．在等比数列{an}中，若a2a5=﹣，a2+a3+a4+a5=，则=（）A．1 B． C． D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列{an}的性质及其a2a5=﹣=a3a4，a2+a3+a4+a5=，可得=+，代入即可得出．【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a2a5=﹣=a3a4，a2+a3+a4+a5=，∴=+==﹣．故选：C．12．定义：若函数y=f（x）对定义域内的任意x，都有f（m+x）=f（m﹣x）恒成立，则称函数y=f（x）的图象的直线x=m对称，若函数f（x）=cx3+ax2+bx+1关于直线x=对称，且a＞4（+1），则函数g（x）=ex+f（x）在下列区间内存在零点的是（）A．（﹣1，﹣） B．（﹣，0） C．（，1） D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理；函数的图象．【分析】函数f（x）=cx3+ax2+bx+1关于直线x=对称，可得c=0．由已知可得=0，b=﹣a≠0．可得g（x）=ex+ax2﹣ax+1．利用函数零点判定定理即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=cx3+ax2+bx+1关于直线x=对称，则c=0，否则函数f（x）具有单调性与两个极值点，不满足题意．∴f′（x）=2ax+b，∴=a+b=0．∴b=﹣a≠0．∴g（x）=ex+f（x）=ex+ax2﹣ax+1．g（1）=e+1＞0，∵a＞4（+1），∴g=+1﹣a＜a﹣a=0．∴gg（1）＜0，因此函数g（x）=ex+f（x）在下列区间内存在零点的是区间．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（k，6）与向量=（3，﹣4）垂直，若=（x，y），（x＞0，且||=，向量+，在向量方向上的投影为1，则向量的坐标为（7，4）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】跟姐姐向量垂直的关系转化为向量数量积求出k=8，根据向量投影的定义建立方程结合向量模长的公式建立方程组进行求解即可．【解答】解：∵向量=（k，6）与向量=（3，﹣4）垂直，∴•=3k﹣4×6=0，即k=8，即=（8，6），+=（8+x，6+y），则向量+，在向量方向上的投影为==1，即3x﹣4y=5，即y=∵||=，∴=，即x2+y2=65，②将y=代入x2+y2=65得x2+（）2=65整理得5x2﹣6x﹣203=0，得x=7或x=﹣（舍），此时y=4，即向量的坐标为（7，4），故答案为：（7，4）14．设变量x，y满足不等式组，则z=的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．【解答】解：变量x，y满足不等式组，表示的可行域如图：，可得A（1，3），，可得B（，）．z=的几何意义是可行域内的点到直线x﹣y﹣4=0的距离，由图形可知：A到直线的距离最大，B到直线的距离最小．最大值为：=3，最小值为：=．故答案为：．15．某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE=1米，则烟囱高AB=1+20米．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据三角形的内角和求出∠CBD，再根据正弦定理求得BC，即可求得AB．【解答】解：∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，在△CBD中，根据正弦定理得BC==20，∴AB=1+tan30°•CB=1+20（米），故答案为：1+20．16．已知函数f（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，函数g（x）=kx（k＞0），若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），则正数k的取值范围是[，）．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据函数的奇偶性先求出函数在一个周期内的[﹣1，1]的解析式，作出函数f（x）的图象，根据不等式的解集关系，确定直线斜率k的范围即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，∴f（x）=x2，x∈[﹣1，1]，∵定义在R上的函数f（x）的周期是2，作出函数f（x）的图象，∵不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），∴函数直线y=kx在[0，1]，[1，3]内相交，且在当x≥5时，不等式无解，当直线经过点A（3，1）时，y=x，此时不等式的解集不满足，当直线经过点B（5，1）时，y=x，此时不等式的解集满足条件，则若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），则k满足≤k＜，即正数k的取值范围是[，）．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=ln（n+1）﹣a．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=e（e为自然对数的底数），定义：bk=b1•b2•b3•…•bn，求bk．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）对a分类讨论，利用递推关系即可得出．（2）对a分类讨论，利用“累乘求积”即可得出【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=ln2﹣a；当n≥2且n∈N*时，，当a=0时，a1=ln2，适合此等式，当a≠0时，a1=ln2﹣a≠ln2，不适合此等式，∴当a=0时，；当a≠0时，．（2）当a=0时，，∴bk=b1•b2•b3•…•bn=×…×=n+1．当a≠0时，，∴bk=b1•b2•b3•…•bn=××…×=．综上，bk=．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AB，CB⊥A1ABB1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC；（2）若AC=5，BC=3，∠A1AB=60°，求三棱锥C﹣AA1B的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明结合菱形的性质进行证明即可．（2）求出三棱锥的底面积以及三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可．【解答】证明：（1）在侧面A1ABB1中，∵A1A=AB，∴四边形AABB是菱形，∴AB1⊥A1B∵CB⊥平面A1ABB1．AB1⊂平面A1ABB1，∴AB1⊥CB，∵AB⊥∩CB=B，∴AB1⊥平面A1CB．解：（2）∵CB⊥平面A1ABB1．AB⊂平面A1ABB1．∴CB⊥AB，在Rt△ABC中，AC=5，BC=3，由勾股定理，得AB=4，又在菱形A1ABB1中，∠A1AB=60°，则△A1AB为正三角形，则．19．随机抽取某中学高三年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图，其中甲，乙两班各有一个数据被污损．（1）若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，求甲，乙两班污损处的数据；（2）在（1）的条件下，求甲，乙两班同学身高的平均值；（3）①若已知甲班同学身高的平均值大于乙班同学身高的平均值，求甲班污损处的数据的值；②在①的条件下，从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于170cm的同学，求身高为181cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，能求出甲，乙两班污损处的数据．（2）由（1）能求出甲班同学身高的平均值和乙班同学身高的平均值．（3）①设甲，乙班污损处的数据分别为x，y（0≤x≤9，0≤y≤9，x，y∈N），由题意求出．由此能求出甲班污损处的数据的值．②设“身高为181cm的同学被抽中”为事件A，利用列举法能求出身高为181cm的同学被抽中的概率．【解答】解：（1）因为已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，所以甲班污损处是9．因为乙班同学身高的中位数为172，所以乙班污损处是4．（2）由（1）得甲班同学身高的平均值为：，乙班同学身高的平均值为：．（3）①设甲，乙班污损处的数据分别为x，y（0≤x≤9，0≤y≤9，x，y∈N），则甲班同学身高的平均值为，乙班同学身高的平均值为，由题意，．解得x＞y+8．又0≤x≤9，0≤y≤9，x，y∈N，则ymin=0，得x＞8，∴x=9，此时y=0．故甲班污损处的数据的值为9．②设“身高为181cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高高于170cm的同学有：{176，178}，{176，179}，{176，181}，{178，179}，{178，181}，{179，181}共6个基本事件，而事件A含有{176，181}，{178，181}，{179，181}共3个基本事件，所以身高为181cm的同学被抽中的概率．20．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点．（1）若=﹣11，求直线AB的方程；（2）求△ABF面积的最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）不妨设点A在x轴上方，分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别直线和抛物线的位置关系即可求出，（2）分别求出直线的斜率存在和不存在，两种情况的三角形的面积，比较即可得到答案．【解答】解：（1）不妨设点A在x轴上方，①当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时将x=2代入抛物线C：y2=4x中，得y2=8，解得，所以点A，B的坐标分别为，又焦点F的坐标为（1，0），则，所以，不满足，故舍去；②当直线AB的斜率存在时，设斜率为k显然k≠0，故直线AB方程为y=k（x﹣2）．设点A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），联立，消去y，得k2x2﹣（4k2+4）x+4k2=0，且△=32k2+16＞0，则由韦达定理，得，所以=，又焦点F的坐标为（1，0），所以=．由题意，，解得k=±1，所以直线AB方程为y=x﹣2或y=﹣x+2，即x﹣y﹣2=0或x+y﹣2=0．（2）①当直线AB的斜率不存在时，由（1）得，点A，B的坐标分别为，所以△ABF的面积为；②当直线AB的斜率存在时，设斜率为k显然k≠0，由（1）得，，所以△ABF的面积为=．综上所述，△ABF面积的最小值为．21．已知函数f（x）=xcosx﹣sinx（x＞0）．（1）求函数f（x）在点（，f（））处的切线方程；（2）记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点，证明：不等式+++…+＜（n∈N*）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求函数f（x）在点（，f（））处的切线方程；（2）由f'（x）=﹣xsinx=0，x＞0，得，所以当n≥2且n∈N*时，．利用放缩法，即可证明结论．【解答】（1）解：f'（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，则切线的斜率为，又，故函数f（x）在点处的切线方程为，即．（2）证明：由f'（x）=﹣xsinx=0，x＞0，得，所以当n≥2且n∈N*时，．所以当n≥2时，n∈N*时，=．又当n=1时，．综上，．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，已知圆上的四点A、B、C、D，CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点．（1）求证：∠CDA=∠EDB（2）若BC=CD=5，DE=7，求线段BE的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）利用CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点，得出角相等，即可证明：∠CDA=∠