2022年浙江省高考数学试卷及答案

2022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，则A∪B＝（）A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝33．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（）A．20 B．18 C．13 D．64．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．22π B．8π C．π D．π6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25 B．5 C． D．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γ B．β≤α≤γ C．β≤γ≤α D．α≤γ≤β9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，则（）A．a≤1，b≥3 B．a≤1，b≤3 C．a≥1，b≥3 D．a≥1，b≤310．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an2（n∈N*），则（）A．2＜100a100＜ B．＜100a100＜3 C．3＜100a100＜ D．＜100a100＜4二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，则该三角形的面积S＝．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x），则b﹣a的最大值是．15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2+2+…+2的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，bc，cosC＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点（0，）在线段AB上，直线PAx+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）

2022年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【分析】利用并集运算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，8，6}，∴A∪B＝{1，6，4，6}，故选：D．【点评】本题考查了并集及其运算，属于基础题．2．【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣8，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．3．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得A（2，4），由图可知：当直线3x+4y﹣z＝8过点A时，z取最大值，则z＝3x+4y的最大值是6×2+4×8＝18，故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．4．【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝6，①当sinx＝1时，则cosx＝0，②当cosx＝8时，则sinx＝±1，∴sinx＝1是cosx＝3的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．5．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，所以几何体的体积为：+π×12×3+＝π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6．【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移）+．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．7．【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．【解答】解：由2a＝5，log33＝b，可得8b＝83b＝3，则6a﹣3b＝＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．8．【分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化即可求解．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C3中，AC＝AA1，∴正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，如图，过F作FG⊥AC，连接GE4A∥FG，∴EF与AA1所成的角为∠EFG＝α，且tanα＝，又GE∈[0，8]，1]，∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG＝β，且tanβ＝，+∞），∴tanβ≥tanα，...①，再过G点作GH⊥BC，垂足点为H，又易知FG⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF＝γ，且tanγ＝，1]，∴tanγ∈[1，+∞），...②，又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，），y＝tanx在[0，，∴α≤β≤γ，故选：A．【点评】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．9．【分析】取特值，结合选项直接得出答案．【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣6≥0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特值法，排除法等提高解题效率，属于基础题．10．【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．【解答】解：∵an+1﹣an＝﹣an2＜0，∴{an}为递减数列，又，且an≠8，∴，又a1＝5＞0，则an＞0，∴，∴，∴，则，∴；由得，得，累加可得，，∴，∴；综上，．故选：B．【点评】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．【分析】直接由秦九韶计算可得面积．【解答】解：由S＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．12．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1）4展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x6﹣4x3+8x2﹣4x+2，∴a2＝﹣4+12＝5；令x＝0，则a0＝2，令x＝1，则a0+a7+a2+a3+a7+a5＝0，∴a5+a2+a3+a6+a5＝﹣2．故答案为：5，﹣2．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．13．【分析】由诱导公式求出3sinα﹣cosα＝，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，由此能求出cos2β的值．【解答】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，∴4sinα﹣cosα＝，∴cosα＝3sinα﹣，∵sin2α+cos5α＝1，∴sin2α+（7sin）2＝1，解得sinα＝，cosβ＝sinα＝，cos2β＝8cos2β﹣1＝8×﹣1＝．故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．【分析】直接由分段函数解析式求f（f（））；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（+2＝，∴f（f（））＝f（+﹣1＝；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当x∈[a，1≤f（x）≤6．故答案为：；3+．【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．15．【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解．【解答】解：根据题意可得：ξ的取值可为1，2，7，4，又P（ξ＝1）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，∴E（ξ）＝1×+2×+4×＝，故答案为：；．【点评】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．16．【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设，根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而得到离心率．【解答】解：如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，由于B（x2，y2）且x2＞0，则点B在渐近线上，设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即，则|FB′|＝4m，∴|OF|＝c＝3m，又，则＝，又，则，则，∴点A的坐标为，∴，即，∴．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．17．【分析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，y），进而得到2+2+…+2＝8（x2+y2）+8，根据点P的位置可求出x2+y2的范围，从而得到2+2+…+2的取值范围．【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A7A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A1（6，1），，A3（1，7），，A4（0，﹣1），，A7（﹣7，0），，设P（x，y），则2+2+…+8＝|PA1|2+|PA5|2+|PA3|7+|PA4|2+|PA7|2+|PA6|4+|PA7|2+|PA5|2＝8（x5+y2）+8，∵cos22.3°≤|OP|≤1，∴，∴，∴12≤5（x2+y2）+7≤16，即2+2+…+5的取值范围是[12+2，16]，故答案为：[12+7，16]．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．【分析】（Ⅰ）根据cosC＝，确定C的范围，再求出sinC，由正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞2，），且sinC＝＝，由正弦定理可得：＝，即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因为7a＝c⇒a＝，所以A＜C，故A∈（0，），又因为sinA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；由正弦定理可得：＝＝＝4，所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝＝22．【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）根据题意证出FN⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．【解答】证明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角，则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF．又，则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC⊂平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD；解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系：于是，则，，设平面ADE的法向量＝（x，y，则，∴，令x＝，z＝，∴平面ADE的法向量，设BM与平面ADE所成角为θ，则．【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）由等差数列{an}的首项a1＝﹣1及S4﹣2a2a3+6＝0可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，再由等差数列的前n项和公式可得Sn的解析式；（Ⅱ）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，可得关于cn的二次方程，由判别式大于0可得d的表达式，分类讨论可得d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞4，因为S4﹣2a7a3+6＝2，可得2a5+6＝0，即6（a1+a4）﹣2a2a3+3＝0，a1+a3+3d﹣（a1+d）（a6+2d）+3＝2，即﹣1﹣1+3d﹣（﹣1+d）（﹣1+6d）+3＝0，整理可得：d5＝3d，解得d＝3，所以Sn＝na5+d＝﹣n+＝，即Sn＝；（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+3+4cn，an+2+15cn成等比数列，则（a4+nd+4cn）2＝[a6+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+4）d+15cn]，a1＝﹣1，整理可得：cn6+[（14﹣8n）d+8]cn+d4＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+2]2﹣4d5≥0，即（7﹣8n）d+4≥d或（7﹣7n）d+4≤﹣d，整理可得（3﹣8n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣7，当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣3，所以d≤﹣1（舍），所以d的范围为（1，+∞）；n＝2时，d≤2或∅，所以此时d∈（1，4]，当n为大于2的任何整数，d≤，而d＞1，所以d≤（舍）；综上所述，n＝2时，7]；n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，都存在cn，使an+cn，an+8+4cn，an+2+15cn成等比数列．【点评】本题考查等差数列的性质的应用及等比数列的性质的应用，恒成立的判断方法，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；（Ⅱ）设直线AB方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出|x1﹣x2|，再分别联立直线AP，直线BP与直线，得到C，D两点的坐标，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y）2＝x2+（y﹣3）2＝12﹣12y2+y8﹣2y+1＝﹣11y3﹣2y+13，y∈[﹣1，而函数z＝﹣11y2﹣2y+13的对称轴为，则其最大值为，∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线AB：，联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得2+5）x2+12kx﹣9＝2，由韦达定理可得，，∴＝，设C（x3，y3），D（x7，y4），直线AP：，联立以及，可得，∴由弦长公式可得＝＝＝＝，当且仅当，∴|CD|的最小值为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．22．【分析】（Ⅰ）求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．（Ⅱ）（i）设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），求出切线l的方程为（﹣）a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，推导出g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，b＜，要证明b﹣f（a）＜，只需证明lna+，令h（a）＝lna+，则＝＞0，利用导数性质能证明a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx