再谈向量教学与解题-湖南教育出版社

向量教学存在的问题及对策张景中彭翕成武汉华中师范大学教育信息技术工程研究中心430079向量进入高中数学教材已经好几年了。在上海这样的教改前沿地区，甚至在初中都开始学习向量了，一些老师的教学调查表明，初中生是完全能够接受基本的向量知识的，见文[1-3]。新事物的出现，人们总会对其品头论足一番。对于向量法，这几年各大期刊上的文章不可谓不多也，有些杂志期期都有向量法的文章，讨论甚为热烈。笔者也写了一些小文章，见文[4-9]。中学向量的内容本来不多，经过这么多老师（包括大学教授）的讨论，按道理来说，对向量的教学和解题应该早已弄清楚了才对。但笔者看了最近一些杂志上的文章，发现存在的问题不少，觉得有必要进一步对向量法的特点作一些介绍，同时也算是对笔者以前的几篇文章作一个小结。1.向量特点分析向量法解题的基本法则不多，只有4点：法则1，是向量相加的“首尾相连法则”，即。这个法则可以推广到多个向量,用来写出许多向量等式;法则2，是向量数乘的意义和运算律,特别是可以用数乘一个向量来表示和它平行或共线的向量;法则3,是向量内积(数量积)的意义和运算律,特别是相互垂直的向量内积为0;法则4,是平面向量基本定理：如果，是平面上两个不共线的向量，则对于平面上任一向量，存在唯一的一对实数，，使得。初等几何解题要用许多公理和定理,而向量法仅仅用这几条,这从根本上体现了向量法平易简捷的特色。这4条基本法则也展示了向量法的本质特点。下面进行详细分析。对于向量回路，笔者认为是向量法区别于其他解题方法的本质特点。中的等号，可理解成“结果等效”。这与1+2=3中的“数量相等”有一定的区别，但并不难理解和接受。甲和乙都从A地出发去B地，甲是直接去A地，而乙却先是到C地办事再去B地，最终两人都到了B地，可谓殊途同归。下面这段对话常常出现在军事题材的影片中：“你们现在什么位置？报告长官，我们现在在A山头，离B山头还有30公里，但是过河的桥已经被敌人炸了，我们过不去！我不管你们怎么过去，明天下午4点之前必须攻下B山头。不要说会流多少血，我对血没有印象；不要说死多少人，我不在乎，我只要结果。”从A到B，有多条路可供选择；很多时候，我们更关心结果，而非过程。两点之间，直线最短，人尽皆知，但若两点之间根本无路可走，怎么办？搭桥也许需要花费较多的时间，我们选择另辟蹊径——绕！看似走弯路，实则是捷径！很多文章都写道“向量是联系几何和代数的天然桥梁”，但为何天然？却语焉不详。回顾三角形的定义：“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形”，我们认为所谓天然就表现在向量和三角形都存在首尾相接的闭合回路，而三角形是最基本、最重要的几何图形，构成了几何学的基础；平面几何如此，立体几何亦如此。关于向量数乘。如图1，若，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”容易判定四边形ABCD是平行四边形。如果要从平行四边形的基本定义“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”出发，则还需作一些说明。由得，则，，所以即。而若，即，则，。这说明向量数乘与三角形相似有着紧密联系。当然，共线的情形也不可遗漏。图1图2关于平面向量基本定理。如图2，若，，则。这既可看作是向量的加法，又可看作是三角形全等中SAS定理的说明：由，，推出，。先证明了，只有线段相等，AC与DF才能重合为一条边，两个三角形才有拼成平行四边形的可能。从另一角度看图2，若，，，则可根据“有一条对应边相等的相似三角形全等”判定，，。这实质上就是平面向量基本定理。将两三角形拼在一起后，如图3，过C作AB的平行线，过A作BC的平行线，两线交于点D，构成平行四边形。图3在文[9]中，笔者详细论述了：平行四边形与和平面向量基本定理有着天然的联系，平面向量基本定理则是平行四边形法则的扩展与延伸。即若把看作是决定方向，把看作是决定大小的话，平面向量基本定理其实质就是平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等。图5图62.3将向量法等同于坐标法求证三角形三条中线交于一点是比较基础的题目。向量法解题的资料中，此题出现频率也是很高的，鄂教版教材（文[13]）的证明颇具代表性。例4：如图6，已知N、D、M分别是AB、BC、CA的中点，求证AD、BM、CN交于一点。证明：在BM上取点，使得；再在平面上任取点O，则；再在CN上取点，使得；在AD上取点，；可得，，所以，即，，重合，所以三中线交于一点。这一证明用到了重心分中线2：1的性质，否则证明还要长一些。其思想和坐标法本质上一样，在表达形式上比坐标法稍微简便，表现在一个点用一个字母表示，比用横、纵坐标表示更方便。一些中学老师认为，既然向量法和坐标法没有本质区别，为什么既要学坐标法还要学向量法，这不是增加学生负担么？笔者相信，这些老师看了下面这种证法之后，就会发现向量法与坐标法的不同之处了。另证：如图6，设中线BM，CN交于点P，连接AP，则，根据平面向量基本定理得，；即A，P，D三点共线，且点P分三中线的线段比都为2：1。笔者在此无意否定坐标法，也不是说向量法就一定比坐标法更先进。而是认为：既然教材引入了向量法，所谓用人用其长处，那我们就要把向量的特点充分发挥出来，而不是穿新鞋走老路。2.4向量法不如综合几何证法？接下来的例5在综合几何中，本是一道极常见的的题目，根本不值得一提。随便找一个学过三角形相似的初中生都能轻轻松松做出来。就是这样一道题，却在高中的向量教学中，掀起了波澜。人教A版，北师大版，苏教版等多个版本的高中数学教材都选用了此题，或作例题或为习题。例5：如图7，在平行四边形ABCD中E，F分别为AD，CD中点，连接BE，BF交AC于点R，T，求证R，T分别为AC三等分点。图7证明：第一步，建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化成向量问题：设，，，，则。第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：由于与共线，所以，我们设，，又因为，与共线，所以我们设。因为，所以。因此，即。由于向量，不共线，要使上式为0，必须。解得。所以，。第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：。以上证明都抄自人教A版文[14]的第124页，未作改动。初中生都能容易很容易解答的题目（易证，从而），到了高中反而越来越复杂了。教科书直接影响了教师的思维，一位老师专门对此题作了探究，总结的5种解法，都较繁琐，见文[15]。这样的向量法证明给不少老师带来了疑惑，他们在教学中不知道如何向学生解释课标中所谓的“向量法的先进性”！能否利用向量法非常简单地证明此题呢？证法是有的。另证：由题意得，即。根据平面向量基本定理得，点T为AC三等分点。同理点R为AC三等分点。从这可看出，不是向量法本身有问题，而是没有正确使用向量法来解题。向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这也是将向量引入中学教材的一个重要原因。但现在一些资料过于注重其代数形式，忽视了几何形式，以致运用向量法解题时，与代数中的解应用题方法（设未知数，列方程）基本相同，将几何问题转化为方程组求解，其中还包括大量运算，较为繁琐。一些资料将向量解题总结为“三部曲”：1．向量表示（把几何问题中的点、直线、平面等元素用向量表示）；2．向量运算（针对几何问题，进行向量运算）；3．回归几何（对向量运算结果作出几何意义上的解释）。这一总结是一个大的指导方针，从理论上来说，是没有问题的。在实际操作的时候，我们无需死守套路，完全可以根据几何意义列出等式，计算与图形融为一体；关键之处就在于领会向量几何，其运算不仅仅是数的运算，还包括图形的运算，这是向量法解题的特点。3.向量教学要体现向量法优势考虑到有教材初中就开始学习向量了。下面我们用向量法来证明初中的一些基本的平面几何定理和性质。文[16]给出了勾股定理的向量法证明，源自1985年法国国民教育部数学教育委员会马蒂内访华讲演。证明：（预备知识：由一个角的两边的任何一点向另一边作投影，其压缩的比值相同。）如图8，已知BD是斜边AC上的高。在中，，，则。在中，，，则。由于，因此，于是。图8图9文[16]认为此证法“将线段投影，三角的余弦，以及未来的向量分解和数量积等知识都拧在一起，并用来证明勾股定理，在思想上更简约、更紧密了”。对于“多知识点融合”这一观点，笔者是赞同的。但勾股定理作为平面几何的基石，不能够出现得太晚，这也是以前的教材使用相似三角形证明勾股定理，而现在改用面积法证明的原因。我们先来看看中国古代数学名著《九章算术》中关于勾股定理的一个几何题：今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪（通斜）东北与乙会。问甲乙行各几何？如图9，假设二人的初始位置为A，后来会合位置为B，中间存在关系：，即。将等式两边进行平方得到余弦定理，再运用直角这一条件，即得勾股定理：。其证明思路是极其自然的。既然是三角形，必然存在闭合回路；而结论牵涉到线段平方，所以将等式两边平方，得到的本是一般三角形所具有的余弦定理的性质，再加上直角这一条件，可得勾股定理。证明过程将已知条件都用了一遍，且只用了一遍，没有作任何辅助图形，应该是比较简单的了。这是不是暗示古代数学家已经不自觉地在使用回路呢？文[17]认为：“勾股定理的出现，显示了人类已经能够“初步地掌握方向的变化”。两千六百多年的人已经知道，如果从起点开始向东走四步，再向北走三步，则最后到达的地方离原出发点为五步之遥。也就是说人们已经会变化方向，而不再是单线地在前进。”勾股定理的证法虽说有400多种，但无需添加辅助线的证法恐怕不多。而对于勾股定理的逆定理，证法就没那么多了。对勾股定理逆定理的经典证明，是在原三角形外，另外构造一个两直角边与原三角形相等的的直角三角形，然后通过三角形全等，说明原三角形是直角三角形。一些老师认为此构造法学生难以想到，于是纷纷进行再创造，譬如文[18]。但如果采用向量法，其证明是显然的。下面是三角形中几个基本性质，用向量法很容易证明。例6：如图9，△ABC中，，，求证，，。（直角三角形中射影定理）图9图10证明：；，所以。同理；。例7：如图10，△ABC中，，，求证（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。证明：，所以。例8：如图11，设直线与△ABC的边AB成角，问△ABC的各角与边及之间有何关系？解：设是上的一个单位向量。因为，故，即，化简得。当时，，此即一般三角形中的射影定理；当时，，此即正弦定理。图11图12向量法有关的数形结合问题也很有意思。在实数运算中，我们容易构建图形说明。在向量运算中，如何构造图形说明呢？如图12，以△ABC三边的三边为边长向外作三个正方形，三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，根据可得这6个矩形两两相等，即，，，则。正如张奠宙和袁震东两位先生在文[16]中的小结所说，“向量和几何的融合，已是不可阻挡的潮流”。向量解题引入教材，也是必然，这也是好事：一方面能够使很多的知识贯穿起来，成为系列；另一方面也有利于学生进一步学习高等数学。但从目前的情况来看，如何编写向量法的教材，如何进行向量法的教学和解题，还很值得研究。对此有兴趣的读者，可以发邮件给笔者（zjz101@），大家共同讨论。本文重在说明向量的特点，以示与综合几何法、坐标法的区别；所举例题都是常见习题，比较简单。在今后的文章中，我们会利用向量解一些难题，甚至是奥赛题；而且不局限于平面几何。参考文献[1]慕怡佶.初中向量知识教学初步探讨.科学教育.2008.2[2]时俊.初中平面向量教学实践的策略研究.上海中学数学.2008.12[3]杨卓远.初中平面向量分解教学的探索.上海中学数学.2008.12[4]彭翕成.谈谈向量法解一类平面几何题的繁简比较.数学教学.2008.1[5]张景中,彭翕成.论向量法解几何问题的基本思路.数学通报.2008.2[6]张景中,彭翕成.论向量法解几何问题的基本思路（续）.数学通报.2008.3[7]彭翕成.向量解题应该重视回路.数学教学.2008.6[8]彭翕成.关联正方形问题的向量解法.中学数学.2008.7[9]彭翕成.平面向量基本定理与平行四边形问题.数学教学.20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