微分方程习题及答案

微分方程习题§1基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解x2xyy2C,(x2y)y2xyt2oe7dtx1,yy(y)22..已知曲线族，求它相应的微分方程(其中C,C1,C2均为常数)(一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.)(xC)2y21(2)yC1sin2xC2cos2x.3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。(1)曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。(2)曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q,,PQ为y轴平分(3)曲线上的点Px,y处的切线与y轴交点为QPQ长度为2,且曲线过点(2,x0)。§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解y(2)sec2xtanydxsecytanxdy0;(3)dy3xyxy2；(4)(2xy2x)dx(2xy2y)dy0.2.求下列微分方程的特解3.求下列微分方程的通解(1)xyy(lny1)；(2)(x3y3)dx3xy2dy0.4.求下列微分方程的特解(2)(y23x2)dy2xydx0,yx05.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程y(x2(2)xyyy(lnxlny)yxyxy1)dxx(1xyx2y2)dy06.求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴所围城三角形面积等于常数a2.7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时(t0)速度为0,求物体速度v与时间t的函数关系.8.有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P(t)随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3一阶线性方程与贝努利方程1.求下列微分方程的通解(1)y(2)(x2sx(3)yInydx(xIny)dy0;yy2.求下列微分方程的特解(1)yytanxsecx,yx00；xx3.—曲线过原点，在(x,y)处切线斜率为4.设可导函数 (x)满足方程(x)cosx2°(t)sitdtx1，求(x).组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.6.求下列贝努利方程的通解y26yxyxydyXx21xy2§4可降阶的高阶方程(1)yyx;(2)y竽;⑶yy2y204y3yx12.求下列方程的特解yy2,yyy2,yxoyxo22xyex,yx00,yx00x的经过(0,1)且在与直线y上1相切的积分曲线24.证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线K5.枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为a,出板速度为b(ab),设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少§5高阶线性微分方程1.已知y1(x),y2(x)是二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，试证2.已知二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个特解y1x,y2x2,y3e3xy)0,y(0)3的特解.3.验证yix1,y2ex1是微分方程(x1)yxyy1的解，并求其通解•§6二阶常系数齐次线性微分方程求下列微分方程的通解yy2yo(2)y6y13yo；(3)y4y4yo；yo.求下列微分方程的特解y4y3y0,yxo6,y|xoy25y0,yxo2,yxo5y4y13y0,yxo2,yxo33.设单摆摆长为I，质量为m,开始时偏移一个小角度°，然后放开,开始自由摆动•在不计空气阻力条件下，求角位移随时间t变化的规.圆柱形浮筒直径为，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s,求浮筒质量.5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为im问需多少时间链条全部滑过桌面.§7二阶常系数非齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解(2)y5y4y32x；(3)y4yxcosx；(4)yysin2x；(5)yy2yx(ex4).(1)y3y2y5,y(0)6,y(0)2；ysin2x0,y()1,y()13.设连续函数f(x)满足f(x)ex,(tx)f(t)dt求f(x).4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比(比例系数为k)，求此物体之运动规律.5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子子12m若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.8m另一端离开钉6.大炮以仰角、初速V发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线§8欧拉方程及常系数线性微分方程组1.求下列微分方程的通解(1)x3yx2y2xy2yx3(2)yx2x2.求下列微分方程组的通解(1)dydtdt(2)x4y0xy0(1)ytan》;x2ydx(2x2yx)dy0;2(4)yyxsin2x.2.求连续函数(X),使得x0时有3•求以y(CiC2Xx2)e2x为通解的二阶微分方程.4.某个三阶常系数微分方程yaybycy0有两个解ex和xa,b,c.试求:5.设yp(x)yf(x)有一个解为-，对应齐次方程有一特解x2,x(1)p(x),f(x)的表达式；2的通解.6.已知可导函数f(x)满足关系式:f(x)1求f(x).7.已知曲线yy(x)上原点处的切线垂直于直线x2y10，且y(x)满足微分方程y2y微分方程习题答案§1基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解(1)x2xyy2C,(x2y)y2xy解：求导:2xyxy2yy0故所给出的隐函数是微分方程的解2t2x1,yy(y)2.解：隐函数方程两边对x求导匚eTy10方程两边再对x求导2_y_eyyyy]0指数函数非零，即有yy(y)22yC1sin2xCcos2x.故所给出的隐函数是微分方程的解2.已知曲线族，求它相应的微分方程(其中cc,C2均为常数)(一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.)(1)(xC)2y21；求导得:2(xc)2yy0解出xcyy代入原方程得y2y2y2求导得:y25cos2x2c2(sin2x)再求导得:y4c1sin2x4c2cos2x消去c1,c2得:y4y0t23.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。(1)曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。解：设曲线为y二y(x)则曲线上的点x,y处的切线斜率为y，由题意知所求方程为yx2Pxyx轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。解：曲线上的点x,y处法线方程：Yy丄Xx。y故法线x轴的交点为Q坐标应为yyx,0，又PQ为y轴平分，故12cyyxx0，便得曲线所满足的微分方程：yy2x0(3)曲线上的点Px,y处的切线与y轴交点为QPQ长度为2,且曲解：点Px,y处切线方程：Yyy(Xx)Q坐标为2yyyx2则得初值问题为:x1y2)yx204§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解(1)-.1x2y.1y2解:分离变量x2_dx_x2得arcsinyarcsinxc(2)sec2xtanydxsecytanxdy解:分离变量sec2xdxanxIntanxtanyGsec2ydyy驚常 In|tanxtany|tanxtanyC其中ctanxtanyeC1tanxtanyeC1xyxy；22dxx2y2ydy2y12y2ydy2y1y(y3)y(y3)y(y3)1dy3yIn1y3y33x23C12ln|y3Ciney人e223CiCe2其中C11e(2xy2x)dx(2xy2y)dy0.变量得 2x2x1In2y1InxCInIn2y1InxCIn2y11eCe12121yxeC1C其中CeC12.求下列微分方程的特解eydye2xdx1y2xeec22⑵xyyy2,yx1寸解：分离变量得x(-y1yxCiney」yln|x|C1e11y_1eC1xyCe1y3.求下列微分方程的通解(1)xynyx解：方程变形为齐次方程原方程变为xuInu x-dxdx即x Inx|C1nudInu Inu(InV1)则鱼duuInuInu故IndxdxxInu故两边积分⑴21x21xInueInuyIn—Cx其中CeC1x'八(x3y3)dx3xy2dy0解：方程变形为齐次方程xdxdu,故原方x-程变为第，分离变量得d12u3x两边积分xx2u32口厂In1InIn12u32u3x22u3eC1eexe2C12CC112u33x2eC1CCiIn12u3x22C2ieC1CeC14求下列微分方程的特解.uuyx解yxyx-u分离变量得uuduuxxX虫，故原方程变为xInuInxC1nxC1InuxyC12C12C1Cy其中eC1eeC1故特解为(y23x2)dy0，yx01x2》_y3x上则矽xdx故原方程变为2dx,两边积分2dx,两边积分x3u_duuuInxInCInxInC即InCx得1yCx即亠y1xee5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程(1)y(xy)2；解：令uxy则dxdx得dx1'原方程变为du1u2，分离变量并积arctanu故方程通解为arctan(xy)(2)yy(lnxIny)Inx得InInInxdInu岁，原方程变为字dxdxx分离变量并积eC1故方程通解elnxGeInueC1)(3)积分ududx得原方程变为1xC故方程通解为221—21—2Inxcdx解得:Inx得通解:2x2y2y(xy0解：则xdxydxdx1uu量并积分一3uu3u2x得-u2u1InuInxG，即2x2y32XXXXyC12xy其中Cc-2xy2yu121uxeC1e2x2y3C12xy其中Cxy2xyyxy)匸xy1)令xyu,代入上式2uu1u2udulny6.求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于a2.a2.y轴的直线和x轴yy解：曲线点P(x,y)的切线方程为:该曲线与x轴交点记为B,则B坐标为x上,0,y过点P(x,y)平行于y轴的直线和x轴交点记为A,则A坐标为x,0故三角形面积为2即有微分方程2x|ya2当y22a2也时用分离变量法解得y(Cx)2a2当y22a2业时用分离变量法解得y(Cx)2a2设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开落时(t0)速度为0,求物体速度v与时间t的函数关系.m巴,而F解：根据Fmadtmgkv(k为比例常数)便得V满足微分方程:mgkvdtmgkvdtt0及初始条件：vt0求解方程：由v0解得cmln(mg)tktv逊em).&有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P(t)随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常解：t以分为单位，因此,每分钟正常胰脏吸收40%fe色可得，门，加以初始5Inp2P(0)=,tc便可求出p(t)=04t及p(30)=然后与实测比较知，此人胰脏不正常.9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐解：设t时刻容器内含盐P(t),P(0)10，由于t时刻容器内液体为：100+t，因此t时刻容器内浓度为：Q(t)上虬.于是在t时刻盐的流失2Q(t)，从而有P(t)满足的方程为：dP(t)2t100初始化条件为：InPntIncInf0c00輕0輕§3一阶线性方程与贝努利方程1求下列微分方程的通解(1)y解：法一：常系数变易法：解齐次方程yy0xyxeC1(注：在常系数变易法InyInxInyInxCi齐次方程有解时求解齐次方程通解时写成显式解;。Cii。Cii代入非齐次方程有非齐次微分方程的通解法二(公式法)yexxxdxCx2exdxCInxxedxC解：2xy2x21x2y2xycosx0xyAx21[cosxxndx2Hx1dxC]1xynxC2cosxdxnxC2xxx21yinydx解:方程变形为解:方程变形为xdyeyinyeyinyC1C112inyiny即y即yy2(inyx)解x2dy2dyy2dyyH2in.xeyedyyinyiny、、12y,Inyyyyy1ydyC12y宀ylnyC22y12C(分部积分法ydylnydy2y24eysinx1y2dlnyy2yydyylny厅c)2usinx得uex[2(sinxexcosxex)C]即原方程通解为ey2(sinxcosx)Ce (sinxexdx用分部积分法积分)2.求下列微分方程的特解 )解yytanxsecx,yxo0;anxdxanxdx01decosx[secxecosxdxC]Incosx「Incosx■e[secxedxC]dxC代y(0)0c0特解：ycosx⑵yy沁,ylxo1xx解：yx[exdxInxrSinXInInxr特解:yc111xxCx解：由题意可得:y2xy0于是：yedx2xedxdxCex2xexdxCxexdxCxexxe(2xe2eC)x4.设可导函数(x)满足方程x(x)cosx20(t)sintdt解：问题为初值问题cosxxsinx2xsinx1x该微分方程为线性微分方程故xetanxdxsecxetan曲dxC2cosxsecxdxCcosxtanxC又0又RLHEsintV串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.解：由ERi及可得：问题为初值问题该微分方程为线性微分方程故e5t10sin5te5tdtCsintcos5tCe5t(分部积分法积sin5te5tdt)x6.求下列贝努利方程的通解(1)y-x2y65y故原方程变为线性微分方程x55dxdx2C]exxdx5「x5X[Cx5贝努利方程的通解为y5yCx5y4cosxytanx原方程变形为y字tanxycosx,故原方程变为线性微分方程竺故zesxedxCeeCcos3x3sec2xdxcosx(3tanxC)贝努利方程的通解为yC)ydxxx2lny0dy解：方程变形为壮2xdy故原方程变为线性微分方程生ny故zeydyyeyydyC1yInydyCyy1Inyy2dyInyCy贝努利方程的通解为1Cy11xy2解：方程变形为x故原方程变为线性微分方程故1dxze2故1dxze21xe22112dx1y12dx贝努利方程的通解为1y2yx2x1§4可降阶的高阶方程yyx解：令2p，则予豐，原方程变为线性微分方程空pxdxedxC1xxexeeC1xxexC1xC2xy解:令鱼朋，原方程变为可分离变量的微分方程dxx21px1x21故y1Cx21dx，即C1yx33C2yy2y解:令dx分方程咙则与2p20ydx原方程变为可分离变量的微若p0，分离变量积分生刃，得pGy2，即dpGy2yxGxC24y3y1解:令dx则写乎，原方程变为可分离变量的微分离变量积分Pdpy3dy2C1Cy2C1,变形得史1分离变量积分y2dydx2一Gy21dGy22jGy1即C1y21GxC222.求下列方程的特解1yy2y0°，ydpdyP亚，原方程变为可分离变量的微dy1y1yxoxoxop0,分离变量积分dPdy得pCiey,x04得CPdyeyeydydx得eyxC2，由yx00得dxx0C12故特解y2xyex,yx20,yx00x22eeedxC1e22X小1Ce1Xx0o,yx2x0得C£,2故特解为x的经过(0,1)且在与直线y;1相切的积分曲线.y''x42xy1e解：由题意，原方程可化为：x12yx1CCxx022.112y-x221X3yxC2线性函数;K可取正或负)用y作自变量，令Py得：从而、212\(KyC1)2.1(KyC1)2再积分:C21，1212.22K5.枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为a,出板速度为b(ab),设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少解：由方程mdtv(0)a可得再从v—s(0)m，ktmaem0得到k根据v(to)可得§5高阶线性微分方程31.已知yi(x),y2(x)是二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，试证yi(x)y2(x)是yp(x)yq(x)y0y2代入方程的左边yyxyiqxyiyy)0故(y1y2)是yp(x)yq(x)yf(x)的解3.已知二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个特解yix,y2x2,y3e3x满足y(0)0,y(0)3的特解.解：yiy2xx2;y2y3x2e3x是齐次微分方程的解，y2y3xe2yy得C?0,G2，即特解为y3x2x23•验证yix1,y2ex1是微分方程(x1)yxyy1的解，并求其通解•y2ex,y2易观察得yyyxex是齐次微分方程的一个解，y2y3yx也是齐次微分方程的一个解§6二阶常系数齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解(1)yy2yo；通解yGe2xc2ex2)(r1)0,解得r12y6y13y0解:特征方程r26r130,r2i通解ye3x(c1cos2xc2sin2x)y4y4y0解：特征方程r24r40,(r2)20,r1通解y(GC2X)e2x2r22y⑷2yy0.：特征方程为r42r210，即r2120得ri20即特征方程为有二重共轭复根ri故方程通解为y12CCx1234CCx34C2.求下列微分方程的特解C44y3y0,x04r3x6(rc2eG242特解y4ex (1)y解:r2通解y代y(0)C1CC3C12yx02(2)y25y0,yx02,yx05解:r2250,ri5i上5i通解yc1cos5xc2sin5x代y(0)2,y(0)5解出c1cy2cos5xsin5x(3)y4y13y0,yx02,yx03解:r24r13r2 2通解ye2xc1cos3xc2sin3xG2,C213m摆动•在不计空气阻力条件下，求角位移随时间t变化的规律•解：在如图：t中垂直于摆的分量为：22此为造成运动之力.而此时线加速度a为泾，故有m^从而方程为：春半初始条件：解得通解为：(t)cicosgxC2sin.gx特解为:4.圆柱形浮筒直径为，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水为2s，求浮筒质量.x解：建立如图所示的坐标系,取圆筒在平衡时(此时重力与浮力相等)筒上一点为坐标原点，设筒在上下振动时该点位移为x(t)，则有mx(t)F(x).其中F(t)为由于筒离开平衡位置后产生的浮力：R2x1000g.由此可得振动方程:2该方程的通解为V16m 解出gkg.5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m问需多少时间链条全部滑过桌面.解：坐标系如图，原点于链尾点P，链条滑过的方向为x轴的正方向建立坐标系，于是x(0)0,x(0)0,于是通解为:得:§7二阶常系数非齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解 (1)y3y2y3xe%；解：特征方程为r23r20,特征根为r2,a1,故对应齐次方程通解为yGe2xC?e本题中1是特征方程的单根，故可设原方程有特解代入原方程有xAxBxAxB3x得A5,B32故原方程通解为yGe2xC2exxex(-x3)2(2)y5y4y32x；解：特征方程为r25r40，特征根为口1上4，故对应齐次方程通解为yC1exC2e4x本题中0不是特征方程的根，故可设原方程有特解y*AxB代入原方程有AxB025(AxB)4(AxB)32x得A得28故原方程通解为yxx2Ce21x28y54yxcosx；y故程复故程复有方特解：特征方程为r24r0r1r24,x故对应齐次方程通解为yCiC?x构造复方程yxeix复方程中i不是特征方程的根，故可设复方程有特解代入复方程得xB2xBx4i4i1762i)eixx289故复方程特解的实部程的一个特解,i11xcosx)(cosxisinx)4xsinx2.sinx289为原方故1yC1原x2Ce2方1程的4.xsinx通2(4)yysin2x；解：原方程即为yy1-222故对应齐次方程通解为yGex显然yy-有特解y11对yy2cos2x构造复方程y4y1e2ix2设复方程有特解y2aiai1a-2得a亦，即复方程有特解y2所以原方程有特解y故原方程有通解yy丄cos2x-4).解：特征方程为2上12故对应齐次方程通解为对yy2yxex1，cx3Ce3c?e1是1特征方程的单根,可设1有特解y-ix(AxB)exx2Ce21解得yx(6x4)ex对yy2y4x2,0是2特征方程的单根，可设2有特解解得y2x(x1)故yx』x-)exx(x1)是原方程的一个特解69故原方程通解为yC1C2exc3e2xx(」x4)exx(x1)692.求下列微分方程的特解5,y(0)6,y(0)2；解:特征方程齐次的通解yr23rx设y*A代入方程确定C代初始条件解出C120(2Ce2322r1)(r0;r112通解2yyxGec?ex3x2e5e52(2)yysin2x0,y()1,y()1解法一：原方程即为yysin2x特征方程为故对应齐次方程通解为yC1cosxC2sinx构造复方程yee复方程中2i不是特征方程的根，故可设复方程有特解y*Aeix代入复方程得2A2i20A2i1A1故复方程有特解y*尹1cos2x扣®故复方程特解的虚部知2x为原方程的一个特解,故原方程的通解为1yGcosxC2sinx-sin2x311y()1,y()1得特解ycosx2.设连续函数f(x)满足exo(tx)f(t)dt求f(x).解：由题意有fexf(x)f(0)1,f(0)1程为r210，特征根为r1i,r2i故对应齐次方程通解为yC1cosxC2sinx1不是特征方程的根，故可设原方程有特解xAe解得故原方程的通解为fxGcosxCsinx21得本题解为fx1cosx21.sinx2xtftdtx0xftdtf(x)xx00tftdtxftdtfx00x0fxf(t)dtxf(x0fxxXfXf(x)x0f(t)dtf(x)e04.一质量为m的质点由静止开始沉入水中,下沉时水的反作用力与速度成正比(比例系数为k)，求此物体之运动规律.解：取坐标系如图:设t时刻该质点离水平面为dx特征方程r20解得设y*At,代入方程得初始条件：x(0)0,x(0)2特解为y罟_e下C0确定出C1mk一；齐次的通解ytmgt窖,C窖2Ci2Ce25.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子子12m若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.8m,另一端离开钉解：考查链条的末端(在8米处)记为P,坐标系如图：在t时刻P坐标为x(t)，于是在t时刻P坐标为x(t)(202x)g(是链条线密度)整个链条的质量为：d2dx20r(202x)g，d^x-xg,(有特解x10)西l£t求出通解xGe10C2e1010然后由x(t)0解出全部滑落的时间t6.大炮以仰角、初速V发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线0解解：取坐标系如图设弹道曲线为y;(/)，t时刻受力为: 即mx(t)0,my(t)mg，有y(x(0)0x(0)v0cosy(0)0x(0)v0sin分别可以解得:0x(t)Vcost02yt1gt2Vosin§8欧拉方程及常系数线性微分方程组1.求下列微分方程的通解(1)x3yx2y2xy2yx3解：令xet,tInxydy-dtdy-,即xyDy，同理推出dtdxdtxx3yD(D1)(D2)y,x2yD(D1)y代入原式D(D1)(D2)yD(D1)y2Dy2ye3t整理得(D34D25D2)ye3t特征方程r34r25r20,即(r1)2(r2)0,r1r21,r321设y*Ae3t代入解得A(2)通解yGe2t原方程的解为yyxyxxy41t3te3ct)ee32C1nx)x13x解:两边同乘x2:x2y令xet原方程化为即(D22D1)y2etxyy2x[D(D1)D特征方程r22r1rr1设y*At2et求出y*,y*代入方程解得A1通解yGc