有限元法在土力学中的应用

有限元法在土力学中的应用在很多岩土工程的实际问题中，例如档土墙、板桩、基础梁和板等工程，由于岩土的非均质、非线性的性状以及几何形状的任意性、不连续性等因素，在多数情况下不能获得解析解。最近二十多年来，随着电子计算机的迅速兴起，在岩土工程中，数值分析受到了极大的重视，各种数值方法在岩土工程中都得到了广泛地应用，而岩土工程中的各种复杂问题的解决又深化和丰富了数值分析的内容。目前．在岩土工程的数值分析中，用的最为普遍的是有限元法和差分法，其他方法如边界元法正在兴起。变分法与加权余量法既可以独立地作为数值方法运用于土工实际问题的求解，又可作为推导前几种数值方法的手段。当数值分析中的差分法首先盛行于工程科学时，土工中的渗流及固结问题在四十年代后期也开始采用差分法成功地解决了某些实际问题，如土坝渗流及浸润线的求法、土坝及地基的固结等。五十年代及六十年代初，弹性地基上的梁与板以及板桩也用差分法来求解。六十年代，土石坝的静力问题用有限元法来求解。由于有限元解法的灵活性，使差分法在土工中的应用暂时趋丁停滞。进入七十年代之后，土石坝及高楼(包括地基)成功地使用有限无法解决了抗震分析。七十午代后期及八十年代，边界元法异军突起。这方法特别适宜于半无限域课题，这些是土力学及地基工程学科经常遇到的边界情况。近十年来，地基的静力及动力问题，例如桩基及强夯(即动力固结)等，都使用边界元法得到了有效地解决。有限元法是一种十分有效的数值分析方法。它有几个突出的优点：(1)可以用于解非线性]问题，(2)易于处理非均质材料，各向异性材料，(3)能适应各种复杂的边界条件。岩土材料恰恰存在这几方面的问题，因此很适宜采用有限元法。有限元法刚刚发展起来，就引起了岩土力学界的浓厚兴趣。1966电美国克技夫(C1ough)和伍德沃德(Woodward)首先将有限无法应用于土力学，作了土坝的非线性分析。接着大批发土力学工作者从事这方面的研究取得巨大进展。在国内也是这样，1973年河海大学和南京水科院开始作有限元法用于岩土工程的研究，接着发表了我国最早的有关论文。目前国内大型土石坝的设计已普遍应用有限元法，其它岩土工程问题对有限无法的应用也得到了推广。有限元法应用于岩土工程，显示了强大的生命力。许多过去无法解决的问题用有限元法得到了很好的解决。举例来说，某大坝的围堰，高90m，一种设计方案是在70m深的水中抛石填砂，然后筑两道1米厚的混凝土防渗墙挡水，断面如图1所示。要通过计算分析回答：（1）两道防渗墙在86．5m高的水头作用下受力和变形情况如何？能否承受得了?（2）防渗墙采用低标号的沤凝上有利，还是高标号有利?（3）水中填土是否要部分压实加固?在什么部位压实有利?(4)两墙之间的水位控制多高为宜?这些问题是无法用通常的计算方法进行分析的。有限元法却能较好地加以解决。此外，按比奥别论解土体固结，在动力作用下解土体的变形与稳定，土体的流变，以及裂隙岩体的应力和变形等复杂问题，也都可以用有限元法。图1有限元法简介有限无法是将一个连续体结构，如图2所示土坝，离散成有限个单元体，如图3，这些单元体在结点处互相铰结，把荷载简化到结点上，计算在外荷裁作用下各结点的位移，进而计算各单元的应力和应变。用离散体的解答近似地代替原连续体解答。当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。图2图3第二节非线性分析方法项酒跃非线性问题有凭两种：一是材追料非线性，即先材料的应力盘－鹅应变关系是非炎线性的；一是致几何非线性，冲即存在大变形戚，应变与位移稿的关系不呈线崭性，应变不仅沙包含位移对坐蚁标的一阶导数互，还要包含高支阶导数。不管泳哪种非线性，泻推出的劲度矩祥阵都将随位移创而变。王这是位移的非晴线性方程穴组豆。直接解这样横的方程组是因定难的，因此将谋其他为一系列幻的线性问题，闪用近似的方法缩求解。本文以悦材料非线性为扔例介绍几种非故线性近似解法撒。一、迭代法你仓迎迭代法是将荷天裁一次施加于影结构，不断地浓修正劲度或调费整荷裁，娃来逐步接近真拒实解，而每次锐迭代作了一次傲线性有限元计饶算。迭代法又公可分为割线迭眉代，余量迭代紫，初应力迭代董等。现分述如节下：盘(减一阳)厅割线迭代评离散结构上作骗用有荷辽载兽{R坡}协，相应地产生武位移茶仍胆{环}笑，如。果材料导是线性的恼，逮{峰}酬随柿{R乏}妹成正比变化；烤如果材料是非软线性的鄙，敬{洽}视－箱{肃}耽关系如图缸4既(桂a麻)虏所示，那刺么凡{R篮}厦－讽{作}末关系也是非线冷性的，见图登4娇轿(轿b妈)扇。图军中旅{彩}型和以{魂}尤的坐标是抽象类的广义的，包妙含了应力各分然量与应变各分源量之间的关系端。哥其导“轿斜即率劝”静可以抽象地理远解底为买[D播]男；翅{R塑}训和状{预}照的坐标也是抽庄象的，唤其驻“虏斜诵率值”危为劲度矩雁阵造[K怎]谱。惜{扁}蝶和志{依}丘关系是在试验牧基础上由本构枣关系模型给定踩的，图4愈虾(丝二绣)灯余量迭代法赌余量迭代法是利先将总荷载施侍加于结构作一蝇次有限元计算康，解得的应变拒在非线性关系疾上所对应的应饿力，一般地与侮外荷栽是不平堆衡的。则从总牌荷载中扣除计队算应力所平衡棵了的那部分荷眯载，仅将剩余插荷裁施加于结未构，作迭代计两算。图5节虽如图喂5防所示，第一次絮试算后运得干{亲}爸，气{虾}宅。相应的弹性巾应力边为秋{捷}霉。猴在非线性关系保上所对应的应架力为治{渡}瞧。觉{脆}盐是与载外纱荷燕{R}自相平衡的，但耻{膀}居与绢{R}桨便不能平衡，完由各单元的应皂力牛{R化}含作母用下式求单元乒结点力是各结点自将刃相邻单元在该倒点的结点力叠售加起来就形成敌{R}酸。应力解努答堪{食}粘是艰与盒{R}呼平衡的。尚驱有荐{森R}恨={R茧}极－剥{R}疫未被平衡。在景第二次试算中桐将余叼荷折{搜R}绝作为外荷施加渔于结构，解出潮位移和应力增肚量，又使港得评{伪R}旅中一部分荷载取得到平衡如此请迭代，使余荷枝逐渐减小，应汉力解答与实际傻外荷相平衡，症解答趋向于真讨实解。学揭(益三数)谣初应力迭代法堆若单元存在初扮始应皮力脏{垮}项，应力应变关惹系可写为炉在有限元法里珍，相应的单元陡结点力为素对每个结点建珍立平衡方程或封上式表明，如买果存在初应力斑，则形成有限他元方程时，仅碍在荷载项里增挠加了一项。根闷据这一点，我井们可以把非线扯性的应力应变娃关系看成车如炊图忙6尖所销示击[D]{舌}多为弹性应力饼，龄{址}鲁为塑性变形的施存在而产生的现应力松弛量。乎保持弹性矩颗阵雹[D陪]牧不变，假揪定链{杰}就随变形发展而仓变化来反映应饿力应变的非线泰性关系。这种鸦应力的松他，修相当负值的初延应力．因此上畜式将为图6杰与初应力法相坏应的还有初应与变法。应力应姻变关系写成轰如图帜7年所示觉，州{喇}狼是总应变巧。牺{追}欠是初应变，实涂际上就是塑性兼应变。用改变在初应变的方法应来实现应力应晶变的非线性。图7搭初应变法代似吹乎比初应力法驱更快地逼近非屈线性的应力应献变关系。然而矩当应力水平较绩高时，应力应卷变曲线平缓，码较小的应力变霜化就会对应很权大的应变改变捕，使初应变计糠算误差过大。察因此初应变法捎在土体中用得屋较少。隐上面所讲各种污迭代法是对一竞般非线性材料绕而言的，至于新用到土体，实围际上存在着困暂难：土体很难补给出一个全量被的应力应变模插型，因为土体志的变形，不仅击决定于应力状擦态，还与加荷骂路径有关，某户种应力状态并然不能唯一地确翼定应变。三轴近试验给出了一错组全量的应力固应变关客系曲线，但它某是沿某种特定伯的路径加荷的铲，不一定适用斯于其他加街路雾径。再说土样谅变形属于轴对箭称问题，而有站限元法所要解石的土坝、地基柜等通常届予平伟面变形问题。掩同样的应力状驱态在这两种变状形条件下必然行对应不同的应常变。因此把试锣验血线，或者肢从试验曲线整衔理出来的应力旦全量马吸变全级量的关系式，友用来作为迭代车收敛的依据，金是不确当的。二．增量法华增量法是将全萝荷载分为若干龙级增量逐级施节加，对于每一走级增量，假定默材料性质不变屈作有限元计算朵，解得位移，垄应变和应力的油增量。累加起蚕来就是所求解辣答。各级荷载辅之间．材料性希质变化，弹性痛模量变化，以牧反映非线性的贝应力应变关系信。这种方法实竿际上是用分段闻直线来逼近曲藏线。增量法又赴分如下几种：魂（一）择基本增量法盲各级荷载下的盒材料性质是由锁刚度矩阵鼓来体现的。无霞论弹性矩阵还研是弹塑性矩阵撑，都决定于应滤力状态。基本辛增量法是根据晌初始应力来确展定刚度矩阵半。如图摧8以所示，图8钳（二）中点增队量法颈秃砍基本增量法由迁于用初始应力恐求辅，每级荷裁都制有一定的误差香，累计起来应隶力应变解答如汉图繁8喉(a瞧)花中副N腐’辱点所示，与曲奏线上弱的涨N疗点有相当的距骤离。事实上，李对于某一级荷弄荷载应力从初醋始状态变化到象终了状态，弹相性常数也是变址化的，设想用货该级荷载下的弱平均应力所对疲应助句进行计算，将若会使结果有所边改善。这就是豪中点增量法。奥为了求平均应娱力，要作一次竖试算。按基本艘增量法先算一凤次，得出的应帆力与初始应力逝平地就得该级颤荷裁的平均应苍力粘(撤中点应姨力光)栋，再求象，重新算一次还。隶如谎图魔