初中数学 文档：利用平行四边形性质巧解生活难题

利用平行四边形的性质巧解生活难题平行四边形是特殊的四边形，在实际生活中着广泛的应用，对于生活中的一些实际问题，同学们可以巧借平行四边形的相关性质加以解决。下面撷取几个生活实例说明如下.一、比较线路长短图1图1是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，BC=DA，BC∥DF，FD【分析】本题是一道设计比较新颖的实际问题,要比较两条线段的长短,首先要从实际问题构建数学模型。实际上线路1,可用线段BD、DA、AE的和来表示；线路2可用线段BC、CF、FE的和来表示，本题就可以通过比较BD+DA+AE和BC+CF+FE的大小即可.图1解：两条线路相等.理由：因为DE垂直平分AF，所以DF=DA，FE=AE.又BC∥DF，FD图2二、扩大池塘的面积图2如图2，一口呈四边形的池塘，在它的四周A、B、C、D处各有一棵桃树，如果想把池塘扩大一倍，而保住四棵桃数不动，并要求扩建的池塘为平行四边形的形状，请你判断这一想法能否实现？【分析】由于四棵桃树分别在四边形的顶点，所以要想把池塘改成平行四边形，切面积扩大一倍，则四棵桃树应在平行四边形的边上，且每条边上都有一棵桃树.为此只要过四边形的顶点A、C两点作对角线BD的平行线，过顶点B、D作对角线AC的平行线即可.解：如图1，分别过点A、C作BD的平行线，过点B、D作AC的平行线，四条线分别相交于点E、F、G、H。由作图可知四边形AEBO、BFCO、CGDO、DHAO均为平行四边形，且△ABO、△BOC、△COD、△DOA的面积分别为平行四边形AEBO、BFCO、CGDO、DHAO面积的一半，所以平行四边形EFGH为四边形ABCD面积的一半.三、计算影子的面积图4图3如图3，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现了一个明亮的四边形，小刚用量角器量出了一条对角线与一边垂直，，用直尺量出了四边形的四条边分别是30cm，50cm，30cm，50cm图4图3【分析】根据小明测量的数据可知这个四边形的对边相等，由此可确定该四边形为平行四边形，可画出如图所示的图形，根据已知可得AB⊥AC，AB=30cm，BC=50cm，根据勾股定理可以计算出△ABC的面积和△ACD的面积，所以计算四边形ABCD的面积.解：如图4，根据已知条件可四边形ABCD是平行四边形，所以AB在Rt△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，所以AC2=502-302=402，所以AC=40，所以△ABC的面积为×40×30=600（cm2）.同样△ACD的面积为600cm2，所以四边形ABCD的面积为1200cm2.四、等分地块的面积图6图5ABCDPOE图6图5ABCDPOEFABCDP【分析】我们说只要满足所分的两块地面积相等，且都与水井相邻就可以。那么可以考虑利用平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分）来解题。找到两条对角线的交点，则交点和水井所在的直线将田地分成面积相等的两块.解：设对角线AC，BD交于O，如图6，过O、P作直线交BC，AD于E、F，则线段EF分割的这两块田地符合要求.理由如下：易证OE=OF，BE=ＤF，AF=CE（把证线段相等转化为证三角形全等），四边形ABEF绕点O旋转180°，就与四边形CDFE重合，这两部分面积相等,又点P（井）在EF上，符合水井和两块地相邻的要求，故此种分法符合要求.