2023高考广东数学理科试卷含详细解答(全word版)

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如题!

2023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(理科)全解析

广东佛山南海区南海中学钱耀周

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．

1

．已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1

，则z的取值范围是（C）A．(1，5)z

B．(1，3)

C．(1D．a21，而0a2，即1a215，1z5

2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1A．16

B．24

C．36

1

，S420，则S6（D）2

D．48

S426d20，d3，故S6315d48

3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C）

A．24B．18C．16D．12表1

依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应当是500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64

2

168

2xy≤40，

x2y≤50，

4．若变量x，y满足则z3x2y的最大值是（C）

x≥0，y≥0，

A．90B．80C．70D．40画出可行域,利用角点法易得答案C.5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（A）

G

侧视D

图1

E

图2B

E

A．

B．EDE

C．

E

D．

解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.

6．已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则以下命题中为真命题的是（D）

A．(p)q

B．pq

C．(p)(q)

D．(p)(q)

不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述表达中只有(p)(q)为真命题

如题!

7．设aR，若函数ye3x，xR有大于零的极值点，则（B）A．a3

B．a3

ax

ax

C．a

13

D．a

ax

13

f'(x)3ae，若函数在xR上有大于零的极值点，即f'(x)3ae0有正根。当有

f'(x)3aeax0成立时,显然有a0,此时x

为a3.

13

由x0我们马上就能得到参数a的范围ln()，

aa

8．在平行四边形ABCD中，若AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．

ACa，BDb，则AF（B）

12

b

33

此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC1:2,然后利用向量的加减法则易

A．

B．

C．

D．a

得答案B.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．（一）必做题（9~12题）

9．阅读图3的程序框图，若输入m4，n6，则输出a，i

（注：框图中的赋值符号“〞也可以写成“〞或“:〞）要终止程序的运算，就必需通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍

数12，即此时有i3。10．已知(1kx)（k是正整数）的展开式中，x的系数小于120，则k．

(1kx)按二项式定理展开的通项为Tr1C(kx)Ckx844

我们知道x的系数为C6k15k，即15k120，也即k8，

4

4

4

11ab4221

ab3311

ab24

268

26

r

6

2r

r6

r2r

图3

而k是正整数，故k只能取1。

11．经过圆x2xy0的圆心C，且与直线xy0垂直的直线方程是．

易知点C为(1,0)，而直线与xy0垂直，我们设待求的直线的方程为yxb，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b1，故待求的直线的方程为xy10。

2

2

12．已知函数f(x)(sinxcosx)sinx，xR，则f(x)的最小正周期是f(x)sinxsinxcosx

2

1cos2x12

sin2x,此时可得函数的最小正周期T。222

如题!

二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos3，

4cos≥0，0≤，则曲线C1与C2交点的极坐标为

2

cos3

(0,0)

解得我们通过联立解方程组,即两曲线的交点为)。4cos26

6

14．（不等式选讲选做题）已知aR，若关于x的方程xxa是．方程即a

2

π

1

a0有实根，则a的取值范围4

11

ax2x[0,],利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数a44

的取值范围为0,4

15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R．依题意，

我们知道PBAPAC,由相像三角形的性质我们有

1

PAPB

,即

2RAB

PAAB2R

2PB21

三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题总分值13分）

已知函数f(x)Asin(x)(A0，0π)，xR的最大值是1，其图像经过点M．

π1

32

（1）求f(x)的解析式；（2）已知，0，且f()（1）依题意有A1，则f(x)将点M(sin(x)，

π2

312，f()，求f()的值．513

1

1

而0，,)代入得sin()，

3232

5

，，故f(x)sin(x)

cosx；3622

（2）依题意有cos

45312

,cos，而,(0,)，sin,sin，

5135132

3124556。f()cos()coscossinsin

51351365

17．（本小题总分值13分）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品

如题!

4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．

（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．假使此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？的所有可能取值有6，2，1，-2；P(6)

12650

0.63，P(2)0.25202300

P(1)

204

0.1，P(2)0.02202300

故的分布列为：

（2）E60.6320.2510.1(2)0.024.34（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为

E(x)60.72(10.70.01x)(2)0.014.76x(0x0.29)

依题意，E(x)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03所以三等品率最多为3%18．（本小题总分值14分）

x2y22

设b0，椭圆方程为221，抛物线方程为x8(yb)．如图4所示，过点F(0，b2)作

2bb

x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角（1）由x8(yb)得y

2

12

xb，8

当yb2得x4，G点的坐标为(4,b2)，y'

1

x，y'|x414

图4

过点G的切线方程为y(b2)x4即yxb2，

令y0得x2b，F1点的坐标为(2b,0)，由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，

x2

2bb即b1，即椭圆和抛物线的方程分别为y21和x28(y1)；

2

（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RtABP只有一个，同理以PBA为直角的RtABP只有一个。

如题!

若以APB为直角，设P点坐标为(x,

2

x1)，A、B两点的坐标分别为(和，8

11452PAPBx22(x21)2xx1

0。

8644

2

关于x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。

19．（本小题总分值14分）

1

，x1

设kR，函数f(x)1x，F(x)f(x)kx，xR，试探讨函数F(x)的单调性．

x≥1

1

kx,

F(x)f(x)kx1x

kx,

对于F(x)

1

k,2x1,(1x)

F'(x)

k,x1,

x1,

x1,

1

kx(

x1)，1x

当

k0时，函数F(x)在(,1)上是增函数；

当k0时，函数F(x)在(,1上是减函数，在(1上是增函数；对于F(x)k(x1)，

当k0时，函数F(x)在1,上是减函数；当k0时，函数F(x)在1,1

11

上是减函数，在上是增函数。1,224k4k

20．（本小题总分值14分）

如图5所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，

ABD60，BDC45，PD垂直底面ABCD，PD，E，F分别是PB，CD上的点，

PEDF

，过点E作BC的平行线交PC于G．

EBFC

（1）求BD与平面ABP所成角

的正弦值；（2）证明：△EFG是直角三角形；

PE1

（3）当时，求△EFG的面积．

EB2

且

（1）在RtBAD中，ABD60，ABR,AD

P

图5

而PD垂直底面ABCD，PA

如题!

PB,

在PAB中，PA2AB2PB2,即PAB为以PAB为直角的直角三角形。设点D到面PAB的距离为

H,由VPABDVD

PAB有PAABHABADPD,即

H

ADPDHsin;PABDPEPGPEDFPGDF

,而,即,GF//PD,GFBC，

EBGCEBFCGCDC

GFEG,EFG是直角三角形；

PE1EGPE1GFCF2（3）

时,,

EB2

BCPB3PDCD3

(2)EG//BC,即EG

1122

BC2Rcos45R,

GFPDR,333333

114

EGGFRRR2229

EFG的面积SEFG

21．（本小题总分值12分）

设p，q为实数，，是方程xpxq0的两个实根，数列{xn}满足x1p，x2pq，

22

xnpxn1qxn2（n3，）．（1）证明：p，q；（2）求数列

{xn}的通项公式；

4，

（3）若p1，q

1

，求{xn}的前n项和Sn．4

（1）由求根公式，不妨设

，得

p，q

stp

（2）设xnsxn1t(xn1sxn2)，则xn(st)xn1stxn2，由xnpxn1qxn2得，

stq

消去t，得spsq0，s是方程xpxq0的根，由题意可知，s1,s2①当时，此时方程组

2

2

s1s2stp

或的解记为ttstq12

xnxn1(xn1xn2),xnxn1(xn1xn2),

即xnt1xn1、xnt2xn1分别是公比为s1、s2的等比数列，由等比数列性质可得xnxn1(x2x1)

n2

,xnxn1(x2x1)

n2

,

如题!

两式相减，得()xn1(x2x1)

n2

(x2x1)n2

x2p2q,x1p，x222，x1

(x2x1)n22n2n，(x2x1)n22n2n

n