数学分析课程教学大纲

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（MathematicalAnalysis）

课程编号：041048-50课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学

先修课程：高中数学

后续课程：复变函数论、实变函数、泛函分析、常微分方程、数学物理方程、微分几何、积

分方程、非线性分析

总学时：288总学分：18

教学目的与要求：

该课程分为极限理论，连续函数，微分学、积分学和级数理论这五个部分，开设本课程的目的，是帮助学生了解数学分析处理问题的基本思想，并能运用这些思想处理纯粹数学和应用数学中所遇到的数学问题；是培养学生的思维能力和推理能力，能用分析的手段将繁杂问题分解为简单问题，从而分别突破，是培养学生确凿、简练的表达能力，能用标准的分析语言，明了地陈述自己的思想；是培养学生熟练、确切的极限、微分、积分的运算能力，使当解决问题要求计算能力时能够胜任，是为“分析〞这条线上的若干后续课程提供必要的基础和预备知识，使学生能顺利完成后续课程的学习，学完本课程后，要求学生具有以下诸方面的能力。

1．“ε-Ν〞，“ε-δ〞语言的表述能力

2．对概念的认识，理解能力，对相关概念的串联能力

3．对定理的条件、结论的合理设计能力，对其强弱的认识能力，对相关定理内容的串联能力

4．问题之间的相互转换能力，例如：极限问题与级数问题的相互转换，积分问题与级数问题的相互转换。

5．极限、微分、积分的确切计算及近似计算能力。6．进行简单的理论研究及应用研究的能力。

教学内容与学时安排序号123456789101112

章目名称实数集与函数数列极限函数极限函数的连续性导数与微分微分学基本定理与不等式极限运用导数研究函数极限与连续性（续）不定积分定积分定积分应用数项级数学时分派810121214101012102010101

序号1314151617181921222324章目名称函数列与函数项级数幂级数Fourier级数多元函数极限与连续多元函数微分学隐函数定理及其应用重积分曲线积分与曲面积分数学分析内容回想学时分派1210121416162016201420重积分（续）及含参量非正常积分

第一章实数集与函数

1．实数：实数及其性质，绝对值与不等式

2．数集与确界原理：区间与邻域、有界集、确界原理。

3．函数概念：定义、表示法、四则运算、复合运算、反函数、初等函数4．具有特性的函数：有界性、单调性、奇偶性、周期性本章重点：函数定义及相关概念，确界概念及相关运算

难点：用定义验证函数的某些特性，理解确界概念，验证确界及确界运算

其次章数列极限

1．数列极限概念：数列极限定义，无穷小数列2．收敛数列的性质

3．数列极限存在的条件。

本章重点：数列极限的定义、性质、存在条件

难点：对“??N〞定义的理解，否定陈述，利用存在条件验证收敛性。

第三章函数极限

1．函数极限概念（各种不同变化过程的函数极限定义）2．函数极限的性质3．函数极限存在的条件4．两个重要极限

5．无穷小量与无穷大量，阶的比较

本章重点：陈述各种不同极限过程的函数极限定义及其否定陈述，求函数极限，判断极限存在性，等价无穷小量的运用。

难点：求某些函数极限及判断极限存在性。

第四章函数的连续性

1．连续性概念：点态连续，区间上连续，休止点及其分类。

2．连续函数的性质：局部性质，闭区间上连续函数的性质，反函数的连续性，一致连续性。3．初等函数的连续性

本章重点：连续性概念，闭区间上连续函数的性质难点：连续函数性质的应用，一致连续性的判断。

第五章导数与微分

1．导数概念：导数定义及导函数

2．求导法则：四则运算法则，反函数求导法则，复合函数求导法则。基本初等函数求导公式

3．微分：微分概念，可微条件，微分运算法则，利用微分作近似计算4．高阶导数与高阶微分

5．参数方程所确定的函数的导数

本章重点：导数及微分定义，各种求导运算法则及求导公式，常用的高阶导数表达式难点：求复合函数导数的链式法则

第六章微分学基本定理与不等式极限

2

1．中值定理：Fama定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理2．不定式极限：

00型，

??型及其它

3．Taylor公式，两种余项形式及应用本章重点：中值定理及其应用

难点：适时应用中值定理及Taylor公式

第七章运用导数研究函数

1．函数的单调性与极值2．函数的凸性与拐点3．函数图象探讨本章重点：函数作图

第八章极限与连续性（续）

1．实数完备性定理：确界存在定理，单调有界原理，区间套定理，Cauchy收敛准则，聚点定理，列紧性定理，有限复盖定理及其等价性证明。2．闭区间上连续函数性质的证明3．上极限与下极限

本章重点：完备性定理的陈述与理解难点：完备性定理等价性证明及定理的应用

第九章不定积分

1．不定积分概念与基本积分公式2．换元积分法与分部积分法

3．有理函数和可化为有理函数的积分本章重点：积分技术难点：选择适当的代换

第十章定积分

1．定积分概念

2．可积条件：可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类3．定积分的性质：运算性质，不等式性质，积分中值定理4．微积分学基本定理：定积分的计算，Taylor公式的积分型余项5．非正常积分，无穷限积分，无界函数积分

第十一章定积分应用

1．平面图形面积2．由截面面积求体积3．曲线的弧长与曲率4．旋转曲面的面积

5．定积分在物理上的应用本章重点：用定积分求面积、体积

第十二章数项级数

3

1．级数收敛性概念

2．正项级数：收敛充要条件，比较判别法，比式判别法，根式判别法，积分判别法，Ruba

判别法

3．一般项级数：绝对收敛与条件收敛，交织级数，Abel判别式与Dinichlet判别法本章重点：数项级数收敛的条件（判别法）

难点：选择适当的判别法，特别是当判别法失效时如何应对。

第十三章函数列与函数项级数

1．一致收敛性：一致收敛概念及判别

2．一致收敛的函数项和函数项级数的性质：连续、可积、可微。本章重点：一致收敛概念及一致收敛判别难点：验证一致收敛性

第十四章幂级数

1．幂级数：收敛区间，性质、运算、幂级数求和2．函数的幂级数展开

本章重点：确定幂级数的收敛域，幂级数求和，幂级数展开难点：幂级数求和及展开

第十五章Fourier级数

1．Fourier级数：三角级数，正交系，以2π为周期的函数的Fourier级数2．以2l为周期的函数的Fourier级数展开式3．收敛定理及其证明

本章重点：求函数的Fourier级数展开式并探讨其收敛性难点：收敛定理的证明

第十六章多元函数极限与连续

1．平面点集与多元函数：R2上的拓扑概念，R2的完备性，二元函数，n元函数。2．二元函数的极限：二重极限，累次极限

3．二元函数的连续性：连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。本章重点：二元函数的极限、连续概念

难点：R2上的拓扑概念：求二重极限，有界闭域上连续函数性质的证明。

第十七章多元函数微分学

1．可微：可微性与全微分，偏导数，可微条件，几何意义及应用2．复合函数微分法3．方向导数与梯度

4．Taylor公式与极值问题：高阶偏导数，中值定理与Taylor公式，极值问题本章重点：可微概念、可微条件、复合函数求导法则，中值定理与Taylor公式。

难点：可微性判断，复合函数求导法则，中值定理与Taylor公式的证明，求最大值与最小值。

第十八章隐函数定理及其应用

1．隐函数：隐函数概念、隐函数存在定理、隐函数求导

4

2．隐函数组：隐函数组概念、隐函数组存在定理、反函数组与坐标变换3．几何应用：曲线的切线与法线，曲面的切平面与法线4．条件极值

本章重点：隐函数概念及隐函数存在定理，隐函数求导难点：隐函数存在定理的证明

第十九章重积分

1．二重积分概念：二重积分的定义及可积条件2．二重积分的计算：化为累次积分，换元法3．含参量正常积分的导数4．三重积分：概念及计算

5．重积分的应用：曲面面积、重心、转动惯量、引力本章重点：重积分的概念及计算难点：确定积分限

其次十章重积分（续）及含参量非正常积分

1．二重积分的可积性

2．二重积分的变量变换定理

3．含参量非正常积分：一致收敛性及其判别，一致收敛的含参量非正常积分的性质，Euler积分

本章重点：含参量非正常积分的一致收敛性及其相关结果难点：一致收敛性判别及其应用

其次十一章曲线积分与曲面积分

1．第一型曲线积分与第一型曲面积分：概念及计算2．其次型曲线积分：概念及计算3．两类曲线积分的联系4．Green公式

5．曲线积分与路线无关性6．其次型曲面积分7．Gauss公式与Stokes公式8．场的初步知识

本章重点：曲线、曲面积分的计算、三个重要公式

难点：两类曲线积分的转化，两类曲面积分的转化，其次型曲面积分的计算，Stokes公式的应用

其次十二章数学分析内容回想

1．极限：探讨收敛性、连续性

2．微分：一元与多元、微分学的本质及应用

3．积分：积分思想、积分计算、积分与微分、积分与极限、积分与不等式、积分定义的函

数。4．级数：求和与展开

教材、教学参考书

5

（一）教材

《数学分析》（第三版上、下册），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2023。（二）参考书

1．常庚哲，史济怀，《数学分析教程》，第一、二、三册，XX教育出版社，19982．张筑生，《数学分析新讲》，第一、二、三册，北京大学出版社，1990。3．庄亚栋，王慕三，《数学分析》上、中、下册，高等教育出版社，1990。4．W.Rudin,PrinciplesofMathematicalAnalysis,1976.

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高等代数课程教学大纲

（AdvancedAlgebra）

课程编号：041005-6课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学

先修课程：中学数学

后续课程：近世代数、近世代数续论总学时：160总学分：10教学目的与要求：

通过本课程的学习，要求学生把握多项式理论、线性方程组理论、矩阵理论、线性空间与线性变换的理论、欧氏空间及其相关的线性变换理论，本课程应重视学生关于空间及其联系的有关问题的抽象思维能力。

序号12345多项式行列式线性方程组矩阵二次型章目名称教学内容与学时安排

学时序分派号2218202012678910线性空间线性变换?-矩阵章目名称学时分派142210148欧氏空间双线性函数

第一章多项式

第一节多项式的定义与运算其次节带余除法、整除性

第三节两个多项式的最大公因式第四节因式分解及唯一性定理第五节重因式

第六节多项式函数

第七节复系数与实系数多项式的因式分解第八节有理系数多项式

第九节多元多项式与对称多项式其次章行列式第一节排列

其次节n阶行列式的定义、性质与计算第三节依行（列）展开定理第四节克兰姆法则

第五节拉普拉斯定理，行列式相乘规则

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第三章线性方程组第一节消元法

其次节n维向量空间第三节线性相关性第四节矩阵的秩

第五节有解判定定理

第六节线性方程组解的结构

第四章矩阵

第一节矩阵的概念与运算其次节矩阵乘积的行列式与秩第三节矩阵的逆第四节矩阵的分块第五节初等矩阵第六节广义逆矩阵

第五章二次型

第一节二次型的矩阵表示其次节标准形

第三节复二次型与实二次型的规范形第四节实二次型的正定性

第六章线性空间第一节集合与映射

其次节线性空间的定义与性质第三节基、维数与坐标第四节基变换与坐标变换第五节子空间

第六节子空间的交与和、直和第七节线性空间的同构

第七章线性变换第一节线性变换的定义其次节线性变换的运算第三节线性变换的矩阵第四节特征值与特征向量第五节可对角化问题

第六节值域与核

第七节不变子空间，可准对角化问题第八节最小多项式第八章?-矩阵

第一节?-矩阵及其等价标准形

其次节行列式因子，不变因子，初等因子8

第三节矩阵相像的条件第四节若当标准形

第九章欧氏空间

第一节欧氏空间的定义与性质其次节标准正交基第三节同构

第四节正交变换与正交矩阵第五节对称变换与对称矩阵

第六节子空间，向量到子空间的距离

第十章双线性函数第一节线性函数其次节对偶空间第三节双线性函数

第四节对称双线性函数

教材：

《高等代数》（第三版），北京大学数学系编，高等教育出版社，2023年。主要参考书目：

1．张禾瑞、郝炳新，《高等代数》，人民教育出版社。2．周伯，《高等代数》，人民教育出版社。

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解析几何课程教学大纲

（AnalyticGeometry）

课程编号：041007课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学

后续课程：高等几何，微分几何总学时：64总学分：4教学目的与要求：

本课程是数学与应用数学专业的必修基础课，它是初等数学向高等数学、常量数学向变量数学过渡的桥梁，也是沟通空间形式与数量关系的桥梁，对于进