状态空间表达式

状态空间表达式第1页，共39页，2023年，2月20日，星期日一、控制系统中状态变量的基本概念

1.系统的状态与状态变量

l状态：能够完全描述系统时域行为的最小变量组。

l状态变量：构成系统状态的变量。即状态变量组的每一个变量。

2.状态向量由系统的状态变量构成的向量(矢量)。

3.状态空间由状态变量坐标轴构成的n维空间。

4.总结

返回主页第2页，共39页，2023年，2月20日，星期日

二、控制系统中状态空间表达式及结构框图

1.状态空间表达式的一般形式（四种）

（1）

线性定常系统状态空间表达式（2）

线性时变系统状态空间表达式（3）非线性定常系统状态空间表达式（4）非线性时变系统状态空间表达式输入向量、输出向量、状态向量状态方程为一阶微分方程组的向量矩阵表示形式输出方程为代数方程组的向量矩阵表示形式研究重点为线性定常系统（A、B、C、D常数矩阵）第3页，共39页，2023年，2月20日，星期日2.控制系统结构图

Bxy

1/s

C

A

Dux`注意：信号线为向量传递，矩阵乘法不存在交换律，矩阵下标角码要符合矩阵运算条件。第4页，共39页，2023年，2月20日，星期日状态空间表达式的模拟结构图[举例1]：状态空间表达式如下所示，试绘制模拟结构图。展开成一阶方程组的形式为采用古典控制理论中的方框图绘制法则和积分组件可以方便的获得系统的模拟结构图；模拟结构图清楚的反映了系统输入、输出和内部状态各变量（每一个标量）之间的内在联系。

返回主页第5页，共39页，2023年，2月20日，星期日三.根据物理模型建立状态空间表达式1．依据物理模型建立状态空间表达式的步骤

(1)确定输入u（t）和输出y（t）和状态x（t）。其中状态变量x（t）的维数等于物理系统中独立蓄能元件的个数；

(2)根据系统物理特性由输入到输出列写描述系统动态特性或运动规律的代数方程和微分方程组；（3）去掉多余的中间变量，得出状态变量的一阶导数与各状态变量、输入变量的关系式。方程整理成状态空间表达式的标准形式。2．应用举例（1）三容水箱（2）无源网络

返回主页第6页，共39页，2023年，2月20日，星期日[例1]：三容水箱。输入量：第一个水箱入水流量q1(t)。输出量：第三个水箱的水位h3(t)。列写状态空间表达式，并绘制模拟结构图。Ai—水箱截面积，Ri—管路流动阻力。

返回q1(t)h3(t)q4(t)q3(t)q2(t)R1R2R3h2(t)h1(t)第7页，共39页，2023年，2月20日，星期日[例2]：图示阻容电路。输入量：输入电压u1（t）。输出流量：电容上的电压u2（t）。列写状态空间表达式。

返回u1（t）u2（t）i1（t）i2（t）R1R2LC第8页，共39页，2023年，2月20日，星期日四.根据微分方程或传递函数建立状态空间表达式1、控制系统的原始模型为微分方程（1）微分方程不含输入导数项；

（2）微分方程含输入导数项，且输出项阶次高于输入项阶次；

（3）微分方程含输入导数项，且输出项阶次等于输入项阶次；2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式（1）无重极点；（2）有重极点；（3）极点个数与零点个数相同。（含有D阵，自学推导过程）3、多输入/多输出系统状态空间表达式的列写

返回主页第9页，共39页，2023年，2月20日，星期日1、控制系统的原始模型为微分方程

（1）微分方程不含输入导数项；

绘制模拟结构图，设置状态变量得状态空间表达式为：

返回

第10页，共39页，2023年，2月20日，星期日1、控制系统的原始模型为微分方程

（2）微分方程含输入导数项，且输出项阶次高于输入项阶次

状态空间表达式为：

返回第11页，共39页，2023年，2月20日，星期日1、控制系统的原始模型为微分方程

（3）微分方程含输入导数项，且输出项阶次等于输入项阶次

状态空间表达式为：

返回第12页，共39页，2023年，2月20日，星期日2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式

（1）无重极点；返回第13页，共39页，2023年，2月20日，星期日2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式

（2）有重极点；

得状态空间表达式：

返回第14页，共39页，2023年，2月20日，星期日举例：可以直接设状态变量列写状态空间表达式：返回3、多输入多输出系统状态空间表达式的列写第15页，共39页，2023年，2月20日，星期日根据方框图建立状态空间表达式

1．典型环节转换成模拟结构图

2.

由模拟结构图写状态空间表达式

3.

应用举例（自学）

[例1]：

P55-561-3-（a）

[例2]：P55-561-3-（b）

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1/s

第16页，共39页，2023年，2月20日，星期日六.由状态空间表达式求传递函数矩阵1、单输入单输出系统的传递函数

由状态空间表达式得：与古典控制理论的传递函数定义比较得：结论：传递函数的分母为系统矩阵A的特征多项式；

传递函数的极点为系统矩阵A的特征值。

第17页，共39页，2023年，2月20日，星期日2．多输入多输出系统的传递函数矩阵3．应用举例

[例1]：[例2]：P32（例1-12）说明传递函数矩阵中各元素表示的物理意义。

返回主页第18页，共39页，2023年，2月20日，星期日七.组合系统的状态空间表达式的传递函数矩阵已知两个独立系统的数学模型传递函数和状态空间表达式如下所示。研究系统间各种连接后的数学模型1、串联2、并联3、反馈连接

返回主页第19页，共39页，2023年，2月20日，星期日（1）系统结构图及串联的条件

（2）状态空间表达式（3）传递函数矩阵

返回y1=u2u1=uy=y21.串联第20页，共39页，2023年，2月20日，星期日2.并联（1）系统结构图及串联的条件

（2）状态空间表达式（3）传递函数矩阵

返回u=u1=u2y1y2y第21页，共39页，2023年，2月20日，星期日3.反馈连接（1）系统结构图及串联的条件

（2）状态空间表达式（3）传递函数矩阵

返回-y2y=y1=u2u1u第22页，共39页，2023年，2月20日，星期日状态空间表达式的特征标准型

一种最能直接反映系统内部特性的状态空间表达式1、系统状态的线性变换2、系统的特征值和特征向量

3、化状态空间表达式为对角标准型4、化状态空间表达式为约旦标准型第23页，共39页，2023年，2月20日，星期日1.系统状态的线性变换（1）线性变换的方法l

系统在x状态空间表达式为：l

Tn×n为任意非奇异矩阵，n为系统状态空间的维数。l

设作线性变换，得系统在新的状态空间的表达式为：第24页，共39页，2023年，2月20日，星期日（2）线性变换的特点

l

线性变换不改变系统的传递函数矩阵；

l

线性变换不改变系统的特征方程；

l系统的状态空间表达式是非唯一的，但输入输出特性是唯一的。（3）

线性变换在系统性能分析中的作用根据需要，选择确定的变换阵，使状态空间表达式的形式规范化。便于进行系统的性能分析。

返回

第25页，共39页，2023年，2月20日，星期日2.系统的特征值和特征向量

（1）

系统的特征值l系统l特征多项式：l特征方程：l

特征值（特征根）：特征方程的解。第26页，共39页，2023年，2月20日，星期日

（2）系统的特征向量若存在一个n维非零向量pi满足则称pi为系统对应于特征值λi的特征向量。特征向量是非唯一的。

（3）系统的广义特征向量设λi为系统的重根，

pi为系统对应于λi的特征向量，则存在同维非零向量pi+1，pi+2…，且满足

则称pi+1，pi+2…为系统对应于特征值λi的广义特征向量。广义特征向量的个数等于特征根λi重根的个数。广义特征向量亦是非唯一的。（4）

特征向量和广义特征向量的作用构成线性变换阵，化状态空间表达式中的状态阵A为对角标准型或约旦标准型。

返回第27页，共39页，2023年，2月20日，星期日3.

化状态空间表达式为对角标准型

（1）

化对角标准型的条件：系统特征根无重根。

（2）

化对角标准型的方法

l

计算特征值λ1，λ2，…λn；

l

求特征值λ1，λ2，…λn对应的特征向量p1，p2，…

pn-1，pn；

l

选择线性变换阵p=[p1

p2…

pn-1pn]；

l

对原状态空间表达式实施线性变换得对角标准型为：

第28页，共39页，2023年，2月20日，星期日（3）

应用举例

[例1]：系统状态空间表达式为，化对角标准型。解：

求

特征值：λ1=-1，λ2=-2。

求特征向量：第29页，共39页，2023年，2月20日，星期日求线性变换阵：对原状态空间表达式实施线性变换：

[例2]：P39例1-15。

[例3]：P42例1-16。

返回

第30页，共39页，2023年，2月20日，星期日4.化状态空间表达式为约旦标准型

（1）

化约旦标准型的条件：特征根具有重根。（2）

化约旦标准型的方法

l

计算特征值λ1=λ2（二重根），λ3，…λn；

l求特征值λ1，λ2，…λn对应的特征向量和广义特征向量p1，p2，…pn-1，pn；

l

选择线性变换阵p=[p1

p2…pn-1pn]；

l

对原状态空间表达式实施线性变换得约旦标准型为：第31页，共39页，2023年，2月20日，星期日（3）

应用举例

[例1]：系统状态空间表达式为，化约旦标准型。解：

求特征值：λ1=λ2=-3。

求特征向量：

求广义特征向量：第32页，共39页，2023年，2月20日，星期日

求线性变换阵：对原状态空间表达式实施线性变换：

[例2]：P45例1-16[例3]：P45例1-17

返回主页第33页，共39页，2023年，2月20日，星期日离散系统状态空间表达式

1.离散系统状态空间表达式的形式

（1）线性定常系统：

（2）线性时变系统：

（3）系统结构框图：

1/z

G

H

C

Dy（k）x（k）x（k+1）u（k）第34页，共39页，2023年，2月20日，星期日

2．离散系统状态空间表达式的求取和模拟结构图的绘制（1）

由差分方程或脉冲传递函数化状态空间表达式（以三阶系统为例）

l

输入只有b0u（k）时差分方程为：

脉冲传递函数为：建立状态空间表达式：设：

第35页，共39页，2023年，2月20日，星期日整理得：系统状态空间表达式为：第36页，共39页，2023年，2月20日，星期日模拟结构图为：l输入包括u（k），u（k+1），u（K+2）时（自学）

l输入包括u（k），u（k+1），u（K+2），u（K+3）时（自学）

（2）脉冲传递函数为零极