滤波器设计方法

滤波器设计方法第1页，共73页，2023年，2月20日，星期一7.0引言滤波器：一种特别重要的线性时不变系统线性时不变系统选频滤波器：对信号的频率成分进行选择（通过或拒绝）的系统滤波器的广义定义：能对某些频率进行修正的系统两点说明：（1）重点讨论选频滤波器设计-----设计方法具有广泛应用价值（2）滤波器是因果的（作一些修正可以得到非因果滤波器）滤波器内容包括： （1）滤波器设计 （2）滤波器实现（结构、算法）----第六章滤波器设计的步骤： （1）给出系统所要求特性的技术指标（频域）

（2）用因果离散时间系统逼近这些技术指标第2页，共73页，2023年，2月20日，星期一滤波器-----离散时间系统数字滤波器（digitalfilters）对连续时间信号进行离散时间滤波的基本系统：技术指标（有效连续和离散时间滤波器）：频域的技术指标如图所示连续与离散时间滤波器的等效条件：

输入带限；采样频率避免混叠即：有效连续滤波器指标（转换为）离散滤波器指标-------ω=ΩT离散滤波器的特性：第3页，共73页，2023年，2月20日，星期一例7.1离散时间滤波器指标的确定低通离散时间滤波器：对连续时间信号进行低通滤波采样频率为10000样本/秒，即10000Hz（10kHz），（T=10-4s）图示系统的特性：（1）在频带0≤Ω≤2π(2000)内,

增益|Heff(jΩ)|应当在单位幅度±0.01之内（2）在频带Ω≥2π(3000)内,

增益|Heff(jΩ)|应当不大于0.001第4页，共73页，2023年，2月20日，星期一|Heff(jΩ)|的指标如图所示：图中的具体参数为：理想的通带增益为1通带增益：1+δ1~1-δ1阻带增益：0~δ2以分贝表示：第5页，共73页，2023年，2月20日，星期一相应的离散时间滤波器指标（图）：与上图基本相同，以归一化频率：ω=ΩT，0≤ω≤π其余频段：周期性导出相应的通带幅度：其中δ1=0.01ωp=2π(2000)10-4=0.4π-----通带截止频率阻带幅度：δ2=0.001ωs=2π(3000)10-4=0.6π------阻带截止频率实际可实现性------对理想滤波器的逼近------过渡带（ωs-ωp

）从通带光滑过渡到阻带。虚线表示实际滤波器的幅度响应第6页，共73页，2023年，2月20日，星期一实际数字滤波器设计，考虑到：（1）实际应用中的离散时间信号并不都是由连续时间信号导出；（2）离散时间系统的讨论，采样周期无影响（归一化频率）滤波器设计-------离散频率变量ω表示的技术指标（ω域指标）主要的技术指标：幅度响应（ω域）相位响应

------不是非常重要（满足滤波器隐含的稳定性和因果性要求；FIR滤波器的线性相位要求）具体的滤波器设计：

确定符合频率指标要求的系统函数（频率响应、脉冲响应）

即：H(z)，H(ejω)，h[n]

------------函数逼近问题对于IIR滤波器------利用z的有理函数逼近对于FIR滤波器-------多项式逼近第7页，共73页，2023年，2月20日，星期一7.1由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器IIR滤波器的传统设计方法：连续时间滤波器(变换)满足预定指标的离散时间滤波器理由：连续IIR滤波器设计方法成熟，简单（公式），方便，快捷滤波器设计技术指标：离散（滤波器）频率域指标设计过程：原型连续时间滤波器(变换)

离散时间滤波器

即：Hc(s)(变换)

H(z)s域z域的变换或映射

检验：Hc(jΩ)

H(ejω)首先需要：离散（滤波器）频率域指标

（转换）原型连续（滤波器）频率域指标设计（变换）的两个基本要求：（1）频率响应的一致性，即s平面虚轴（代表连续频率变量）必须映射到z平面单位圆（代表离散频率变换），保持频率与频率对应；第8页，共73页，2023年，2月20日，星期一（2）因果稳定性，即因果稳定的Hc(s)因果稳定的H(z)， 亦即s左半平面映射到z平面单位圆内连续时间滤波器的主要类型（设计方法）（附录B）巴特沃兹滤波器（Butterworthfilter）切比雪夫滤波器（Chebyshevfilter）椭圆滤波器（ellipticfilter）由模拟滤波器设计IIR数字滤波器的主要方法：脉冲响应不变法（impulseinvariance）阶跃响应不变法（stepinvariance）双线性变换法（bilineartransformation）第9页，共73页，2023年，2月20日，星期一7.1.1滤波器设计的脉冲响应不变法连续滤波器（变换）离散滤波器hc(t),Hc(s)h[n],H(z)脉冲响应不变法： 通过hc(t)h[n]（离散，即保持不变） 实现Hc(s)（连续系统）H(z)（离散系统）的变换即：h[n]=Tdhc(nTd)Td------采样间隔H(z)h[n]的z变换，设计完成？给定的滤波器设计指标------滤波器的频率响应设法方法必须考虑：Hc(jΩ)H(ejω)之间的联系根据以前的采样讨论，时域离散频域关系，可以得到：第10页，共73页，2023年，2月20日，星期一如果连续时间滤波器是带限的，则有两者之间关系：频率轴的线性关系，即|ω|＜π时，ω=ΩTd实际情况：任何连续时间滤波器都不能是完全带限的（即使低通） 因此，混叠存在。如图，第11页，共73页，2023年，2月20日，星期一方法的实用性（逼近）：如果Hc(jΩ)高频部分趋近于零，则混叠很小，可以忽略-------逼近。由H(ejω)指标Hc(jΩ)指标：Ω=ω/Td确定出Hc(jΩ)Hc(s)，再由脉冲响应不变法，由Hc(s)得到H(z)。具体的方法（直接，不通过hc(t)h[h]的过程）：设连续时间滤波器的传递函数具有一阶极点的形式（不失一般性）：

对应的脉冲响应：根据脉冲响应不变（采样），有第12页，共73页，2023年，2月20日，星期一作z反变换，得到离散时间滤波器的系统函数：比较连续时间滤波器的系统函数：可见，(1)s平面中的极点s=sk变换成z平面中的极点

(2)除了比例系数Td外，完全相同表示：可以通过极点的对应关系直接由Hc(s)得到H(z)

几点说明：（1）Hc(s)因果稳定（极点在左边平面）H(z)

因果稳定（极点在单位圆内），因为Re[sk]＜0，；|zk|＜1第13页，共73页，2023年，2月20日，星期一（2）s平面与z平面只有极点有对应关系，s平面与z平面之间没有这种对应关系（唯一），（如系统的零点就没有这种对应关系）表示脉冲响应不变法，其s平面到z平面的映射关系（变换）并非是的简单映射关系（单映射）。不能直接代入Hc(s)得到H(z)例7.2用脉冲响应不变法设计Butterworth滤波器设计一低通离散时间滤波器，步骤：（1）由低通离散时间滤波器指标求出低通连续时间滤波器指标（2）确定相应的连续时间Butterworth滤波器（3）由脉冲响应不变法，求得所需的低通离散时间滤波器第一步，离散时间滤波器的技术指标：说明：

过程（1）和过程（3），系数Td抵消，可选Td=1，ω

=Ω第14页，共73页，2023年，2月20日，星期一可得连续时间Butterworth滤波器的技术指标为：由于Butterworth滤波器频率响应的幅度响应是单调的，则应和第二步，Butterworth滤波器的幅度平方函数为：需确定出满足所需技术指标的参数N和Ωc将上式带入指标式，并取等号，有：第15页，共73页，2023年，2月20日，星期一两个方程的解为：

N=5.8858和Ωc=0.70474取N为整数6，代入方程得Ωc=0.7032（参数选取的原则：超过指标）幅度平方函数的12个极点均匀分布在半径Ωc=0.7032的圆周上取左半平面的三对极点：

说明s=jΩ第16页，共73页，2023年，2月20日，星期一作为Hc(s)，即第三步，将上式作部分分式展开，进行极点映射，得到H

(z),根据上式，可以直接用并联形式实现。第17页，共73页，2023年，2月20日，星期一设计得到的离散时间系统（滤波器）的频率响应如图：通带边缘满足指标阻带边缘超过指标混叠基本没有影响有混叠情况：调整参数；高阶第18页，共73页，2023年，2月20日，星期一脉冲响应不变法的讨论（连续滤波器变换为离散滤波器）：（1）时域逼近较好，脉冲响应波形是连续与离散的关系；（2）频率成线性关系，频率响应形状基本保持不变（3）保持相位的线性特性，（4）频域有混叠，只适用带限滤波器设计（如低通，带通）（5）频域的混叠不能通过减少采样周期Td消除 若离散低通滤波器的截止频率给定ωc

连续低通滤波器的截止频率为Ωc

=ωc/Td

频率Ω的频带范围为：[-π/Td,π/Td]

Td减小，Ω的频带范围增加 保持ωc不变，Td减小时，Ωc也应增加

Ωc增加表示原有的混叠仍然存在（6）映射关系，只是针对极点，s与z平面之间的映射关系是一个多重映射关系，即：第19页，共73页，2023年，2月20日，星期一s平面虚轴jΩ上长度为2π/Td的每一段映射到z平面单位圆一周，

如[-π/Td,π/Td]映射到单位圆一周（-π

≤

ω

≤

π）s平面每一条宽度为2π/Td的横条映射到整个z平面s平面宽度为[-π/Td,π/Td]的左半横条映射到z平面单位圆内多重映射-------混叠（系统函数，频率响应）7.1.2双线性变换法解决混叠------改变映射关系，即-∞≤Ω≤∞

（单）映射到-π

≤

ω

≤

π

s左边平面z平面单位圆内（单映射）整个s平面整个z平面（单映射）频率的映射关系非线性（频率变换）第20页，共73页，2023年，2月20日，星期一双线性变换法定义设s与z的映射关系为：离散系统与连续系统之间的变换关系为：表示可以直接将s与z的映射关系代入连续滤波器系统函数。讨论s平面z平面的映射关系s与z的映射关系也可写为：将s=σ+jΩ代入上式，得双线性第21页，共73页，2023年，2月20日，星期一σ＜0|z|＜1，对于所有Ω -----s左边平面映射到

z平面单位圆内σ＞0|z|＞1，对于所有Ω -----s右边平面映射到

z平面单位圆外分析频率映射关系，将s=jΩ代入，可得对于所有的Ω值，|z|=1

-----jΩ

轴（s平面虚轴）映射到

z平面单位圆即有z=rejω，r=1第22页，共73页，2023年，2月20日，星期一ω与Ω的关系，将z=ejω代入s与z的双线性关系式，得等式两边实部与虚部相等，有和或归纳：（1）s平面与z平面关系频率的非线性关系第23页，共73页，2023年，2月20日，星期一（2）连续滤波器频率与离散滤波器频率关系非线性关系----连续频率轴被压缩------避免了混叠避免混叠是以频率非线性为代价频率非线性频率响应的变形应用范围：频率响应形状要求不高的情况，（如分段恒定幅度） 设计中特殊频率点（如截止频率）须预畸变第24页，共73页，2023年，2月20日，星期一双线性变换法在连续滤波器到离散滤波器变换中频率响应的畸变第25页，共73页，2023年，2月20日，星期一频率非线性造成的相位响应畸变

线性相位因子e-sα的双线性变换结果

离散相位函数为-(2α/Td)tan(ω/2)第26页，共73页，2023年，2月20日，星期一双线性变换方法讨论（1）s平面与z平面单映射关系（2）s左半平面映射到z平面单位圆内（3）s右半平面映射到z平面单位圆外（4）连续因果稳定系统离散因果稳定系统（5）s平面整个虚轴单值映射到z平面单位圆一周（6）连续频率Ω与离散频率ω之间成非线性关系（7）避免了频率响应的混叠现象（图示说明）（8）频率响应形状畸变，线性相位特性破坏（9）适合分段恒定幅度响应的滤波器（低通、高通、带通、带阻）（10）设计中需要预畸（截止频率点等）第27页，共73页，2023年，2月20日，星期一7.1.3双线性变换法设计举例例7.3用双线性变换法设计Butterworth滤波器同例7.2脉冲响应不变法设计低通离散滤波器，技术指标：求得连续滤波器指标时，须对上述两个截止频率进行预畸变处理：即ω=0.2π

Ω=(2/Td)tan(0.2π/2)ω=0.3π

Ω=(2/Td)tan(0.3π/2)连续滤波器的技术指标：第28页，共73页，2023年，2月20日，星期一与例7.2相同，取Td=1，并根据Butterworth滤波器的幅度响应Butterworth滤波器的平方幅度函数：由前两式中取等号，得第29页，共73页，2023年，2月20日，星期一解出N取整数，N=6，代入阻带方程可得Ωc=0.766（超过通带指标）幅度平方函数的极点分布：12个极点，半径0.766，均匀分布第30页，共73页，2023年，2月20日，星期一同样，取左半平面中的三对极点，得连续Butterworth低通滤波器的系统函数：同双线性变换公式代入，得离散连续Butterworth低通滤波器的系统函数：第31页，共73页，2023年，2月20日，星期一六阶Butterworth低通滤波器频率响应：ω=0.2π

-0.56dB(0.937)ω=0.3π

-15dB(0.1778)阻带比连续滤波器下降快ω

=π

Ω=∞频率轴被压缩第32页，共73页，2023年，2月20日，星期一连续Butterworth滤波器幅度平方函数：可用双线性变换的频率关系式：直接代入得到离散Butterworth滤波器幅度平方函数：式中实际设计并不首先用，因为上式无法获得在z平面的极点，从而得到单位圆内的极点滤波器的系统函数H(z)第33页，共73页，2023年，2月20日，星期一双线性变换法的Butterworth，Chebyshev,elliptic滤波器逼近例子所设计低通离散滤波器的技术指标：即δ1=0.01，δ2=0.001，ωp=0.4π，ωs=0.6例7.4Butterworth逼近省去具体计算过程，可得N=14，频率响应如图：对数幅度图第34页，共73页，2023年，2月20日，星期一通带的幅度图：群延迟图：第35页，共73页，2023年，2月20日，星期一例7.5Chebyshev逼近Chebyshev的类型：I型：频率响应----通带呈纹波特性，阻带单调II型：频率响应-----阻带呈纹波特性，通带单调两种类型逼近阶数N均为八阶（比Butterworth要低）I型逼近的频率响应图：第36页，共73页，2023年，2月20日，星期一通带中幅度细节图：群延迟图：第37页，共73页，2023年，2月20日，星期一II型逼近的频率响应图通带中的细节图：第38页，共73页，2023年，2月20日，星期一群延迟图：若通带和阻带均容许纹波滤波器的阶数可以减少两种类型逼近的零极点分布（I型零点对应于连续滤波器s=∞）I型II型第39页，共73页，2023年，2月20日，星期一例7.6elliptic逼近满足指标的有理函数最低阶逼近，N=6通带中的细节图：第40页，共73页，2023年，2月20日，星期一群延迟图：零极点分布：第41页，共73页，2023年，2月20日，星期一讨论：（1）各种滤波器逼近的双线性变换法是IIR滤波器设计标准方法（2）H(z)的极点在单位圆内（稳定性），零点在单位圆上（3）非线性频率响应特性，非线性群延迟（4）通带边缘处或过渡带出现最大群延迟（其它频带中群延迟变化较小）（5）II型Chebyshev具有最小的群延迟以及相应群延迟近似为常数的最宽通带区域（6）elliptic逼近具有最低阶次的系统函数，因此计算量也最少。第42页，共73页，2023年，2月20日，星期一7.2用窗函数法设计FIR滤波器IIR滤波器设计-----连续滤波器变换

（1）连续滤波器设计方法成熟 （2）IIR滤波器直接设计困难（在离散域）FIR滤波器设计------可以直接在离散域进行（频率域逼近） 线性相位条件避免了直接设计的复杂性最简单的方法：窗函数法（windowmethod）基本思想：对理想滤波器的脉冲响应hd[n]（无限长，非因果序列） 截断，得到具有对称性的有限长因果序列h[n] FIR滤波器（线性相位、因果）------逼近问题：时域截断频域逼近（关系、影响）？ 即，hd[n]h[n]

Hd(ejω)H(ejω)第43页，共73页，2023年，2月20日，星期一理想滤波器的频率响应：脉冲响应：

----非因果、无限长序列频率响应的不连续性实际因果FIR滤波器的脉冲响应（因果、有限长）：相当于：其中窗函数：矩形窗第44页，共73页，2023年，2月20日，星期一时域处理简单，讨论频域关系：由傅立叶变换性质：时域相乘频域卷积得：如图所示（周期性）若w[n]=1,对于所有n,即没有截断则W(ejω)是周期为2π的δ函数（周期脉冲串）并有

H(ejω)=

Hd(ejω)可见，W(ejω)（频域）能量集中（波形窄）-----逼近性越好但，W(ejω)越窄w[n]（时域）越长-----矛盾性第45页，共73页，2023年，2月20日，星期一可求出矩形窗的频率响应：线性相位特性（满足对称性），当M=7时的幅度：主瓣宽度4π/(M+1)第一旁瓣第46页，共73页，2023年，2月20日，星期一M增大主、旁瓣宽度减小 主、旁瓣幅度增大，主、旁瓣相对幅度不变M增大主、旁瓣的面积为常量 对理想滤波器加窗后的逼近（频率响应）（卷积结果）：第47页，共73页，2023年，2月20日，星期一频率响应产生的波动现象-----吉布斯现象（Gibbsphenomenon）理论上

----傅立叶级数的非一致收敛性（作为傅立叶级数系数hd(t)的截断）实际上-----窗函数的锐截止性（尤其是矩形窗）窗函数对滤波器幅频特性的影响：

（1）主瓣越宽过渡带越宽--------------M大过渡带窄

（2）旁瓣相对主瓣（幅度）越大通带和阻带的波动也越大

（3）波动大小与M无关，取决于窗函数减小波动减小旁瓣幅度窗函数平滑增加主瓣宽度增加过渡带宽度 FIR滤波器设计：波动与过渡带的折中选择第48页，共73页，2023年，2月20日，星期一7.2.1常用窗函数的性质矩形窗：Barlett窗（三角窗）汉宁窗（Hanning）：海明窗（Hamming）：第49页，共73页，2023年，2月20日，星期一Blackman窗：第50页，共73页，2023年，2月20日，星期一窗函数主要用途：（1）FIR滤波器设计 （2）谱分析（用于对待分析时域信号的截断）各窗函数的对数幅度图（m=50）矩形窗主瓣最窄----过渡带窄旁瓣幅度大-----波动大-13dB三角窗主瓣宽度增加2倍旁瓣幅度减小（-25dB）第51页，共73页，2023年，2月20日，星期一汉宁窗主瓣宽度增加2倍旁瓣幅度明显减小（-31dB）海明窗主瓣宽度增加2倍旁瓣幅度明显减小（-41dB）第52页，共73页，2023年，2月20日，星期一Blackman窗主瓣宽度增加3倍旁瓣幅度明显减小（-57dB）阻带最小衰减第53页，共73页，2023年，2月20日，星期一7.2.2广义线性相位的合并线性相位的条件：时域对称性窗函数w[n]，脉冲响应h[n]---------对称性上述的窗函数均满足：关于M/2点对称性频率响应-----线性相位特性：We(ejω)------ω的实偶函数。上述窗函数的性质滤波器因果性

滤波器的线性相位性？h[n]=±h[M-n]?很显然，若理想滤波器是关于M/2点对称，hd[n]=±hd[M-n]则加窗后的h[n]满足：h[n]=±h[M-n]第54页，共73页，2023年，2月20日，星期一其频率响应为：或其中Ae(ejω)------ω的实偶函数

Ao(ejω)-------ω的实奇函数证明：假设hd[n]=hd[M-n]，有

He(ejω)------ω的实偶函数若窗函数对称，则有：滤波器是广义线性相位的，其幅度是He(ejω)与We(ejω)的卷积:hd[n]偶对称hd[n]奇对称第55页，共73页，2023年，2月20日，星期一例7.7线性相位低通滤波器所要求低通滤波器的频率响应：（线性相位）相应的理想脉冲响应（对应于-∞＜n

＜∞

）:容易证明：

hlp[M-n]=hlp[n]对hlp[n]应用对称窗函数（关于M/2对称），就可得：因果、有限长、线性相位（关于M/2对称）的低通滤波器。第56页，共73页，2023年，2月20日，星期一理想滤波器频率响应与所设计滤波器频率响应（应用各种窗函数）：He(ejω)---理想滤波器Ae(ejω)---设计滤波器We(ejω)---窗函数Ae(ejω)=He(ejω)*We(ejω)卷积过程波动最大正峰、负峰产生最大正峰、负峰之间距离=Δωm=主瓣宽带=过渡带>

Δω

(定义)峰对称性（通带、阻带δ）第57页，共73页，2023年，2月20日，星期一第58页，共73页，2023年，2月20日，星期一滤波器特性的调整： （1）窗函数的长度-------主要影响过渡带 （2）窗函数的形状-------主要影响逼近精度（波动）反复调整的不便性，探讨窗函数参数滤波器性能指标（直接）7.2.3Kaiser窗滤波器设计法窗函数-----在频域，能量最大限度集中在ω

=0附近 主瓣宽度旁瓣面积-------选择（调整）Kaiser窗定义：式中：α=M/2I0(•)----第一类零阶修正Bessel函数第59页，共73页，2023年，2月20日，星期一两个参数：α

---（M+1）-----长度参数

β------形状参数主瓣宽度与旁瓣幅度之间调整第60页，共73页，2023年，2月20日，星期一Kaiser窗函数的频率响应幅度与参数M，β的关系：β

------旁瓣幅度（主要）M------主瓣宽度第61页，共73页，2023年，2月20日，星期一滤波器指标与窗函数参数的关系：过渡带宽度：Δω=ωs–ωp定义：A=-20log10δ--------波动幅度有：M满足：第62页，共73页，2023年，2月20日，星期一例7.8用Kaiser窗法设计低通滤波器设计步骤：（1）给出技术指标

ωp=0.4π,ωs=0.6π,δ1=0.01,δ2=0.001,δ=δ1=δ2=0.001（2）求出理想低通滤波器截止频率（3）确定窗参数由得到：（4）计算滤波器的脉冲响应第63页，共73页，2023年，2月20日，星期一脉冲响应：