2023高考全国2卷理科数学带答案

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理科数学试题第1页（共11页）

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2023年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共23题，共150分，共4页。考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。

本卷须知：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写明白，将条形码确凿粘贴在

条形码区域内。

2．选择题必需使用2B铅笔填涂；非选择题必需使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹明白。

3．请依照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮

纸刀。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．12i12i

+=-A．43i55--B．43i55-+C．34i55--D．34i55

-+2．已知集合22{(,)|3,,Axyxyxy=+≤∈∈ZZ}，则A中元素的个数为

A．9

B．8

C．5

D．4

3．函数2

ee()xx

fxx--=的图象大致为

4．已知向量a，b满足||1=a，1?=-ab，则(2)?-=aab

A．4

B．3

C．2

D．0

5．双曲线2222

1(0,0)xyabab-=

A

．y=

B

．y=C

．y=D

．y=6．在ABC△

中，cos

2C=1BC=，5AC=，则AB=A

．B

C

D

．

理科数学试题第2页（共11页）

7．为计算11111123499100S=-+-++-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

A．1ii=+

B．2ii=+

C．3ii=+

D．4ii=+

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A．112

B．114

C．115

D．118

9．在长方体1111

ABCDABCD-中，1ABBC==，1AA1AD与1

DB所成角的余弦值为

A．15

B

C

D．2

10．若()cossinfxxx=-在[,]aa-是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4

D．π11．已知()fx是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)fxfx-=+．若(1)2f=，则(1)(2)(3)(50)ffff++++=

A．50-

B．0

C．2

D．50

12．已知1F，2F是椭圆22

221(0)xyCabab

+=

：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A的直线上，12PFF△为等腰三角形，12120FFP∠=?，则C的离心率为A．23B．12C．13

D．14

二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13．曲线2ln(1)yx=+在点(0,0)处的切线方程为__________．14．若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx+-??-+??-?

≥≥≤则zxy=+的最大值为__________．

15．已知sincos1αβ+=，cossin0αβ+=，则sin()αβ+=__________．

理科数学试题第3页（共11页）

16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78

，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB△

的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必需作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a=-，315S=-．

（1）求{}na的通项公式；

（2）求nS，并求nS的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2023年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预计该地区2023年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2023年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：

?30.413.5y

t=-+；根据2023年至2023年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：?9917.5y

t=+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2023年的环境基础设施投资额的预计值；

（2）你认为用哪个模型得到的预计值更可靠？并说明理由．

19．（12分）

设抛物线24Cyx=：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB=．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．（12分）

理科数学试题第4页（共11页）

如图，在三棱锥PABC-

中，ABBC==

4PAPBPCAC====，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC--为30?，

求PC与平面PAM所成角的正弦值．

21．（12分）

已知函数2()exfxax=-．

（1）若1a=，证明：当0x≥时，()1fx≥；

（2）若()fx在(0,)+∞只有一个零点，求a．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假使多做，则按所做的第

一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ=??=?（θ为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,xtαytα=+??=+?

（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数()5|||2|fxxax=-+--．

（1）当1a=时，求不等式()0fx≥的解集；

（2）若()1fx≤，求a的取值范围．

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2023年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题

理科数学试题第5页（共11页）

1．D

2．A3．B4．B5．A6．A7．B8．C9．C10．A11．C12．D

二、填空题

13．2yx=

14．915．12-16

．

三、解答题

17．解：

（1）设{}na的公差为d，由题意得13315ad+=-．

由17a=-得d=2．

所以{}na的通项公式为29nan=-．

（2）由（1）得228(4)16nSnnn=-=--．所以当n=4时，nS取得最小值，最小值为?16．

18．解：

（1）利用模型①，该地区2023年的环境基础设施投资额的预计值为

?30.413.519226.1y

=-+?=(亿元)．利用模型②，该地区2023年的环境基础设施投资额的预计值为

?9917.59256.5y

=+?=(亿元)．（2）利用模型②得到的预计值更可靠．

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2023年的数据对应的点没有随机散布在直线

30.413.5yt=-+上下．

这说明利用2000年至2023年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2023年相对2023年的环境基础设施投资额有明显增加，2023年至2023年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2023年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2023年至2023年的数据建立的线性模型?9917.5y

t=+可以较好地描述2023年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预计值更可靠．

（ⅱ）从计算结果看，相对于2023年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到

理科数学试题第6页（共11页）

的预计值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预计值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预计值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

19．解：

（1）由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)ykxk=-．

设1221(,),(,)AyxyxB，

由2(1),4ykxyx

=-??=?得2222(24)0kxkxk-++=．2

16160k?=+，故122224kxkx++=．所以1222

44||||||(1)(1)xkABAFBFkx+=+=+++=．由题设知22448kk

+=，解得1k=-（舍去），1k=．因此l的方程为1yx=-．

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx-=--，即5yx=-+．

设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则

00220005,(1)(1)16.2

yxyxx=-+???-++=+??解得003,2xy=??=?或0011,6.xy=??=-?因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy-+-=或22(11)(6)144xy-++=．

20．解：

（1）由于4APCPAC===，O为AC的中点，所以OPAC⊥

，且OP=连结OB

．由于2ABBCAC==

，所以ABC△为等腰直角三角形，且OBAC⊥，122

OBAC==．

理科数学试题第7页（共11页）

由222OPOBPB+=知POOB⊥．

由,OPOBOPAC⊥⊥知PO⊥平面ABC．

（2）如图，以O为坐标原点，OBuuur的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz-．

由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),OBACPAP-=uuur取

平面PAC的法向量(2,0,0)OB=uuur．

设(,2,0)(02)Maaa-≤，则(,4,0)AMaa=-uuur．

设平面PAM的法向量为(,,)xyz=n．

由0,0APAM?=?=uuuruuurnn

得20(4)0

yaxay?+=??+-=??

，可取,)aa=--n，

所以cos,OB=

uuurn

．由已知得|cos,|OB=uuurn．

．解得4a=-（舍去），43

a=．

所以4()333=--n

．又(0,2,PC=-uuur

，所以cos,4

PC=uuurn．所以PC与平面PAM

所成角的正弦值为

4

．

理科数学试题第8页（共11页）

21．解：

（1）当1a=时，()1fx≥等价于2(1)e10xx-+-≤．

设函数2()(1)e1xgxx-=+-，则22()(21)e(1)exxgxxxx--=--+=--．当1x≠时，()0gx，所以()gx在(0,)+∞单调递减．

而(0)0g=，故当0x≥时，()0gx≤，即()1fx≥．

（2）设函数2()1exhxax-=-．

()fx在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()hx在(0,)+∞只有一个零点．（i）当0a≤时，()0hx，()hx没有零点；

（ii）当0a时，()(2)exhxaxx-=-．

当(0,2)x∈时，()0hx；当(2,)x∈+∞时，()0hx．

所以()hx在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1e

ah=-是()hx在[0,)+∞的最小值．

理科数学试题第9页（共11页）

①若(2)0h，即2

e4

a，()hx在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h=，即2

e4

a=，()hx在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h，即2

e4

a，由于(0)1h=，所以()hx在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x时，2exx，所以

33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa

=-=--=-．故()hx在(2,4)a有一个零点，因此()hx在(0,)+∞有两个零点．

综上，()fx在(0,)+∞只有一个零点时，2

e4

a=．22．．解：

（1）曲线C的直角坐标方程为22

1416

xy+=．当cos0α≠时，l的直角坐标方程为tan2tanyxαα=?+-，当cos0α=时，l的直角坐标方程为1x=．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80ttααα+++-=．①

由于曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为1t，2t，则120tt+=．又由①得1224(2cossin)13costtααα

++=-+，故2cossin0αα+=，于是直线l的斜率tan2kα==-．

23．解：

（1）当1a=时，24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx+≤-??=-≤??-+?

理科数学试题第10页（共11页）

可得()0fx≥的解集为{|23}xx-≤≤．

（2）()1fx≤等价于|||2|4xax++-≥．

而|||2||2|xaxa++-≥+，且当2x=时等号成立．故()1fx≤等价于|2|4a+≥．由|2|4a+≥可得6a≤-或2a≥，所以a的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．

21（12分）

已知函数2()exfxax=