2023年普通高考数学科一轮复习学案 第33讲 圆锥曲线方程及性

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高考数学复习

2023年普通高考数学科一轮复习精品学案

第33讲圆锥曲线方程及性质

一．课标要求：

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，把握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

二．命题走向

本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考察的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考察的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。

对于本讲内容来讲，预计2023年：

（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．要点精讲

1．椭圆（1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有

|MF1||MF2|2a。

椭圆的标准方程为：

xa

22

yb

22

1（ab0）（焦点在x轴上）或

ya

22

xb

22

1

（ab0）（焦点在y轴上）。

222注：①以上方程中a,b的大小ab0，其中cab；

②在

xa

22

yb

22

1和

ya

22

xb

22

1两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，

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只要看x和y的分母的大小。例如椭圆

22

x

2

m

y

2

n

1（m0，n0，mn）当mn

时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程

xa

22

yb

22

1知|x|a，|y|b，说明椭圆位于直线xa，

yb所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点

(x,y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y

轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x0，得yb，则B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa，即A1(a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和

b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，|OB2|b，|OF2|c，|B2F2|a，且|OF2||B2F2||OB2|，即cac；

2

2

2

222

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e

ca

叫椭圆的离心率。∵ac0，∴0e1，

且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为xya。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

2

2

2

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平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1||PF2||2a）。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在02a|F1F2|条件下；|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支（含F2的一支）；|PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a表示两条射线；③当2a|F1F2|时，④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，||PF1||PF2||2a不表示任何图形；|F1F2|叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：定义方程焦点

椭圆

|PF1||PF2|2a(2a|F1F2|)

xa

22

双曲线

||PF1||PF2||2a(2a|F1F2|)

xa

22

yb

22

1

xb

22

ya

22

1

yb

22

1

ya

22

xb

22

1

F(c,0)F(0,c)F(c,0)F(0,c)

注意：如何有方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质①范围：从标准方程

2

xa

22

yb

22

1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线

xa的外侧。即x

2

a，xa即双曲线在两条直线xa的外侧。

②对称性：双曲线

xa

22

yb

22

1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双

曲线的对称轴，原点是双曲线心。

xa

22

yb

22

1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线

xa

22

yb

22

1的方程里，

对称轴是x,y轴，所以令y0得xa，因此双曲线和x轴有两个交点

xa

22

A(a,0)A2(a,0)，他们是双曲线

yb

22

1的顶点。

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令x0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx；（2）渐近线相互垂直。注意以上几特性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：x2y2(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。

x

2

xa

22

yb

22

1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接

⑥注意

16

y

2

9

1与

y

2

9

x

2

16

1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c一致，

还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程y2px

2

p0叫做抛物线的标准方程。

p2

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（程是x

p2

,0），它的准线方

；

（2）抛物线的性质

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一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的状况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y22px，x22py，x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程

y2px(p0)2

y2px(p0)2

x2py(p0)2

x2py(p0)

2

l

图形

焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率

(

p2

,0)p2

(

p2

,0)(0,

p2

)p2

(0,

p2p

)

xx

p2

yy

2

x0x0

y0y轴

y0y轴

x轴

(0,0)e1

x轴

(0,0)e1

(0,0)e1

(0,0)e1

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

四．典例解析

题型1：椭圆的概念及标准方程

例1．求适合以下条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2)，并且椭圆经过点(（3）焦点在x轴上，a:b2:1，c

2

2

35

,)；22

（4）焦点在y轴上，ab5，且过点(0)；

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（5）焦距为b，ab1；（6）椭圆经过两点(

35

,)，。22

解析：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为

xa

22

yb

22

，1（ab0）

∵2a10，c4，∴b2a2c29，

x

2

所以，椭圆的标准方程为

25

y

2

9

1。

（2）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为由椭圆的定义知，

2a

ya

22

xb

22

，1（ab0）

，

∴a10，又∵c2，∴b2a2c21046，

y

2

所以，椭圆的标准方程为

10

x

2

6

1。

（3

）∵c

a2b2c26，①

22又由a:b2:1代入①得4bb6，

∴b2，∴a28，又∵焦点在x轴上，

x

2

2

所以，椭圆的标准方程为

8

22

y

2

2x

22

1。

（4）设椭圆方程为

2

2

ya

b

1，

b

1，∴b2，

2

2

2

又∵ab5，∴a3，

y

2

2

所以，椭圆的标准方程为

3

x

2

2

1．

（5）∵焦距为6，∴c3，

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∴a2b2c29，又∵ab1，∴a5，b4，

x

2

所以，椭圆的标准方程为

25

2

y

2

16

2

1或

y

2

25

x

2

16

1．

（6）设椭圆方程为

x

m

y

n

，1（m,n0）

3252

()()1由m得m6,n10，n

351mn

所以，椭圆方程为

y

2

10

x

2

6

1．

点评：求椭圆的方程首先明白椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。

例2．（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是。

（2）椭圆的中心为点E(1，0)，它的一个焦点为F(3，0)，相应于焦点F的准线方程为x

72

，则这个椭圆的方程是（）

2

Ａ．

2(x1)21(x1)5

2

2y3

2

2

1Ｂ．

2(x1)21(x1)5

2

2

2y3

2

2

1

Ｃ．y1Ｄ．y1

b24

2a2b,c2x2y

a161为所求；解析：（1

）已知

222164abc

F(（2）椭圆的中心为点E(1,0),它的一个焦点为F(3,0),∴半焦距c2，相应于焦点F的准线方程为x.

27

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∴

a

2

c

52

，a5,b1，则这个椭圆的方程是

22

(x1)5

2

y1，选D。

2

点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，把握好基础知识就可以。题型2：椭圆的性质

例3．（1）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）

22

12

(A)2(B)

22

22

(C)(D)

24

（2）设椭圆

xa

yb

=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x

轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。

解析：（1）不妨设椭圆方程为

xa

22

yb

22

，则有1（ab0）

2ba

2

a

2

c

c1，据

此求出e＝

22

，选B。

2

（2）

12

；解析：由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为

2

2ba

，

∴

2ba

2

a

c

c，∴

2a

1c

ca

12

，即e=

12

。

点评：此题重点考察了椭圆的基本性质。

例4．（1）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（）A.

34

2

2

B.

45

5C.

85

3D.

43

3

（2）椭圆

x

12

y

3

=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.假使线段PF1的中点在y轴上，

那么|PF1|是|PF2|的（）

A.7倍

B.5倍

C.4倍

D.3倍

2

a解析：（1）D；由题意知a=2，b=1，c=3，准线方程为x，

c

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∴椭圆中心到准线距离为

433

．

（2）A；不妨设F（－3，0），F（0）由条件得P（3，123，因此|PF1|=7|PF2|，应选A。

32

），即|PF2|=

32

，|PF1|=

2

，

点评：此题主要考察椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。

题型3：双曲线的方程

例5．（1）已知焦点F1(5,0),F2(5,0)，双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；

（2）求与椭圆

x

2

25

y

2

5

1共焦点且过点的双曲线的方程；

（3）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1,P2坐标分别

为

(3,9

(4

,5)，求双曲线的标准方程。

解析：（1）由于双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为xa

22

yb

22

1(a0,b0)，

∵2a6,2c10，∴a3,c5，∴b5316。

x

2

222

所以所求双曲线的方程为

9

y

2

16

1；

（2）椭圆

x

2

25

2

y

2

5

2

1的焦点

为0),(0)，可以设双曲线的方程为

xa

22

yb

22

1，则ab20。

18a

2

又∵

过点，∴

2b

2

2

1。

综上得，a20b

2

2

2

1。

点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量a,b,c之间的关系。

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（3）由于双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为ya

22

xb

22

；1(a0,b0)①

∵点P1,P2在双曲线上，∴点P1,P2的坐标适合方程①。

(232

212

ab9

将(3,(,5)分别代入方程①

中，得方程组：92

425()

221

ba

11

11a216

将2和2看着整体，解得，ab11

29b

22

a216yx∴即双曲线的标准方程为1。

2

169b9

点评：此题只要解得a2,b2即可得到双曲线的方程，没有必要求出a,b的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更明白。

例6.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.

解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上，且a=3，焦距与

x

2

虚轴长之比为5:4，即c:b5:4，解得c5,b4，则双曲线的标准方程是

9

y

2

16

1；

点评：此题主要考察双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。题型4：双曲线的性质

例7．（1）已知双曲线

xa

22

yb

22

1(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A.(1,2)B.(1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)

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（2）过双曲线M:x

2

yb

22

1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条

渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是()

3

2

A.

2

2

xyπ

（3）已知双曲线－=1(a2)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为

a23（）

22A.2B.D.33

解析：（1）双曲线

xa

22

yb

22

1(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的

o

直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

ba

，∴

ba

≥3，离心率e=

2

cayb

22

aba

2

22

e≥2，选C。≥4，∴

22

（2）过双曲线M:x

2

1的左顶点A(1，0)作斜率为1的直线l：y=x－1,若l与

双曲线M的两条渐近线x

2

2

2

yb

22

0分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2),联立方程组代入

消元得(b1)x2x10，

2

xx1221b∴，x1+x2=2x1x2，

1xx

1221b

1

x14

又|AB||BC|,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，

x122

∴b2=9，双曲线

M的离心率e=

xa

22

ca

，选A。

（3）双曲线

y

2π

1(a2)

，则tan，∴a2=6，

3a632

2

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2双曲线的离心率为，选D。

3

点评：高考题以离心率为考察点的题目较多，主要实现a,b,c三元素之间的关系。

x

2

例8．（1）P是双曲线

2

2

9

－

y

2

16

＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）＋y＝4

22

和（x－5）＋y＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（）A.6B.7C.8D.9（2）双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则mA．

14

B．4C．4D．

14

2x，

（3）假使双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y那么它的两条准线间的距离是（）

A．63B．4C．2D．1

解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9应选B。

（2）双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，∴m0，且双曲线方程为

x

2

4

y1，∴m=

2

14

，选A。

2x，

（3）假使双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y

a2b292

a23a

2，选C。∴b，解得2，所以它的两条准线间的距离是2cb6

a

点评：关于双曲线渐近线、准线及大量距离问题也是考察的重点。题型5：抛物线方程

例9．（1）)焦点到准线的距离是2；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程。解析：（1）y2=4x，y2=4x，x2=4y，x2=4y；

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方程是x2=8y。

点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。题型6：抛物线的性质

例10．（1）若抛物线y2px的焦点与椭圆（）

A．2B．2C．4D．4（2）抛物线y28x的准线方程是（）

(A)x2(B)x4(C)y2(D)y4（3）抛物线y24x的焦点坐标为()

（A）(0,1).（B）(1,0).（C）(0,2).（D）(2,0)解析：（1）椭圆

x

2

2

x

2

6

y

2

2

1的右焦点重合，则p的值为

6

y

2

2

1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2px的焦点为(2,0)，则

2

p4，应选D；

（2）2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A；

（3）（直接计算法）由于p=2，所以抛物线y2=4x的焦点