(典型题)2023高考数学二轮复习 知识点总结 椭圆双曲线抛物线

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椭圆、双曲线、抛物线

高考对本节知识的考察主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考察，主要考察圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考察基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考察，主要考察圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，往往在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考察学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

考点一圆锥曲线的定义与标准方程

x2y2y22

例1(1)1和双曲线－x＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的

2m3

一个交点，则|PF1||PF2|的值等于________．

(2)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________.22

答案(1)3(2)

3

解析(1)焦点坐标为(0，2)，由此得m－2＝4，故m＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝6，||PF1|－|PF2||＝23，两式平方相减得4|PF1||PF2|＝43，所以|PF1||PF2|＝3.

(2)方法一抛物线C：y＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点

2

2

P(－2,0)．

如图，过A、B分别作AM⊥l于点M，

BN⊥l于点N.

由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点．1

连接OB，则|OB|＝|AF|，

2∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,22)．2－022

∴k＝1－－23

方法二如图，由图可知，BB′＝BF，AA′＝AF，又|AF|＝2|BF|，∴

|BC||BB′|1，|AC||AA′|2

即B是AC的中点．

2xB＝xA－2，∴2yB＝yAyA＝

8xA，2yB＝8xB，

2

与

联立可得A2)，B(1,22)．2－222

∴kAB＝＝4－13

(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：譬如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．(2)注意数形结合，提倡画出合理草图．

x2y2322

(1)(2023山东)已知椭圆C：221(ab0)的离心率为双曲线x－y＝1的渐

ab2

近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为

2

B.D.

()

A.＋＝1

82C.

＋1164

x2y2x2

＋＝1126＋＝1205

x2x2

y2y2

y2

(2)如图，过抛物线y＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为

()

A．y＝9xC．y＝3x

22

B．y＝6xD．y3x

2

2

答案(1)D(2)C

3ca－b3解析(1)∵椭圆的离心率为，∴＝

2aa2∴a＝2b.∴椭圆方程为x＋4y＝4b.

∵双曲线x－y＝1的渐近线方程为xy＝0，

∴渐近线xy＝0与椭圆x＋4y＝4b在第一象限的交点为∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为∴a＝4b＝20.

∴椭圆C的方程为＋＝1.

205

(2)如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，|AF|＝|AA

1

|，|BF|＝|BB1|，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2525

bb，

55

2525

bb＝4，∴b2＝5，55

x2y2

∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30，∴∠AFx＝60.连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，

1132

设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝|AA1|＝AF|，即p＝，∴抛物线方程为y＝3x，

222应选C.

考点二圆锥曲线的几何性质

x2y2

例2(1)(2023辽宁)已知椭圆C2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相

ab

4

交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝则C的离心率为()

53

A.5

5

B.7

4

C.5

6D.7

x2y2

(2)已知双曲线2－21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支

ab

上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．5

答案(1)B(2)

3

解析(1)在△ABF中，由余弦定理得|AF|＝|AB|＋|BF|－2|AB||BF|cos∠ABF，∴|AF|＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|＝|AF|＋|BF|，则AF⊥BF.1

∴c＝|OF||AB|＝5，

2

利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6，

∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.

2

2

2

22

2

2

c5

因此椭圆的离心率e＝a7

(2)设∠F1PF2＝θ，

|PF1|－|PF2|＝2a，由|PF1|＝4|PF2|

8

|PF|，3得2

|PF|，3

12

2

2

17a－9c1792

由余弦定理得cosθ＝.8a88

1792

∵θ∈(0,180]，∴cosθ∈[－1,1)，－1≤－e1，

885

又e1，∴1e≤.

3

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．

(1)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为________．

→→

x2y2a222

(2)22＝1(a0，b0)的左焦点F作圆x＋y＝E，延长

ab4FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．

答案(1)

310(2)32

解析(1)设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，

F(c,0)，D(xD，yD)，

则BF＝(c，－b)，

→

→

FD＝(xD－c，yD)，

∵BF＝2FD，∴

c＝2

→→

xD－c，

－b＝2yD，

3cx＝，2∴b

y＝－.2

DD

2

又∵点D在椭圆C上，

∴

3c2－b222

a

＋

b

132

＝1，即ee＝33

(2)设c＝a＋b，双曲线的右焦点为F′.则|PF|－|PF′|＝2a，|FF′|＝2c.∵E为PF的中点，O为FF′的中点，∴OE∥PF′，且|PF′|＝2|OE|.∵OE⊥PF，|OE|＝，

2

2

a

∴PF⊥PF′，|PF′|＝a，∴|PF|＝|PF′|＋2a＝3a.∵|PF|＋|PF′|＝|FF′|，∴9a＋a＝4c∴双曲线的离心率为

2

2

2

2

2

2

ca10.2

102

考点三直线与圆锥曲线的位置关系

x2y22

例3已知椭圆C：2＋21(ab0)的离心率e＝F为椭

ab2

圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭→→

圆的上顶点，且满足MFFB＝2－1.(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解(1)根据题意得，F(c,0)(c0)，A(－a,0)，B(a,0)，M(0，b)，→→

∴MF＝(c，－b)，FB＝(a－c,0)，→→2

∴MFFB＝ac－c＝2－1.又e＝2

ca222

，∴a2c2c－c2－1，2

2

2

∴c＝1，a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y＝1.

2(2)假设存在满足条件的直线l.∵kMF＝－1，且MF⊥l，∴kl＝1.

设直线l的方程为y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

x2

2

y＝x＋m，2由x2

＋y＝12

2

消去y得3x＋4mx＋2m－2＝0，则有Δ＝16m－12(2m－2)0，即m3，4m2m－2又x1＋x2＝－，x1x2，

33

∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋

m

2

2

2

2

2

2

2m－24mm－22＝m333

又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ，→→

∴PFMQ＝0，

→→

又PF＝(1－x1，－y1)，MQ＝(x2，y2－1)，→→

∴PFMQ＝x2＋y1－x1x2－y1y2＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y242m－2m－2＋m－

333

2

2

222

m4122

＝－m－＋m＋m－4)

333

1

m＋4)(m－1)＝0，

34

∴m＝－或m＝1(舍去)，

34

经检验m＝－符合条件，

3

∴存在满足条件的直线l，其方程为3x－3y－4＝0.

(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系〞或“点差法〞求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法〞时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

(2023北京)已知A，B，C是椭圆W：＋y＝1上的三个点，O是坐标原点．

4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．解(1)由椭圆W：＋y＝1，知B(2,0)

4∴线段OB的垂直平分线x＝1.在菱形OABC中，AC⊥OB，

32

将x＝1＋y＝1，得y＝42∴|AC|＝|y2－y1|3.

11

因此菱形的面积S＝OB||AC|3＝3.

22

x2

2

x2

2

x2

(2)假设四边形OABC为菱形．

因点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

x＋4y＝4，由y＝kx＋m

2

2

2

2

2

消y并整理得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则

x1＋x2

24kmy1＋y2x1＋x2m＝－＝k＋m＝2，2.

1＋4k221＋4k

∴线段AC中点M－

4kmm，

1＋4k1＋4k

1

∵M为AC和OB交点，∴kOB＝－.

4k11又k－＝－1，44k∴AC与OB不垂直．

故OABC不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC不是菱形．

1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰选中用定义解题，会效果明显，定义

中的定值是标准方程的基础．

2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax＋By＝1，其中A、B是不等的常数，AB0时，

表示焦点在y轴上的椭圆；BA0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e＝；方法二：根据

已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通

2b

径长为2p，过抛物线焦点的弦中通

2

2

2

ca

ca

a

径最短．

椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c.5．抛物线焦点弦性质：

已知AB是抛物线y＝2px(p0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p，x1x2＝；

4

2

2

p2

2p

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(α为弦AB的倾斜角)；

sinα(3)S△AOB＝

2sinα112(4)；|FA||FB|p

(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

p2

x2y2

1．已知点F是双曲线2－2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F

ab

且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是A．(1，＋∞)C．(1,1＋2)答案B

解析由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为

()

B．(1,2)D．(2,1＋2)

b22222

锐角，即∠AEF45，于是|AF||EF|，a＋c，于是c－aa＋ac，即e－e－20，

a

解得－1e2.又双曲线的离心率e1，从而1e2.

x2y212

2．设椭圆22＝1(ab0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax＋bx－c＝0的两

ab2

个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)

()

2

2

A．必在圆x＋y＝2内C．必在圆x＋y＝2外答案A

2

2

B．必在圆x＋y＝2上D．以上三种情形都有可能

22

解析∵x1＋x2x1x2b

aca

b22cb2＋2ac

∴x＋x＝(x1＋x2)－2x1x2＝2＋＝aaa2

2

1

22

2

c11∵e，∴c＝a，

a22

12322222

∴b＝a－c＝a－a＝.

24

321＋2a42722

∴x1＋x2＝2.a4∴P(x1，x2)在圆x＋y＝2内．

2

2

(推荐时间：70分钟)

一、选择题

1．(2023课标全国Ⅱ)设抛物线C：y＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若

以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为

()

2

2

2

A．y＝4x或y＝8xC．y＝4x或y＝16x答案C

2

2

B．y＝2x或y＝8xD．y＝2x或y＝16x

2

2

22

解析由题意知：F0，抛物线的准线方程为xxM＝5

22

p5yM52yM225

－，设以MF为直径的圆的圆心为，，所以圆的方程为x＋y－222224

由于圆过点(0,2)，所以yM＝4，又由于点M在C上，所以16＝2p5－，解得p＝2或

2

pp

p

p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，应选C.

2．与椭圆＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是

1216

A．y1

33x3y

C.148答案A

解析椭圆＋1的离心率为

1216

2

2

2

x2y2

()

x2

B.－x＝133y3x

D.＝148

2

2

y2

2

x2y2

16－121

＝且焦点为(0，2)，所以所求双曲线的216

2222

焦点为(0，2)且离心率为2，所以c＝2，＝2得a＝1，b＝c－a＝3，故所求双曲

a

线方程是y－＝1.

3

3．(2023江西)已知点A(2,0)，抛物线C：x＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交

2

2

x2

于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于A5B5D．1∶3答案C

()

解析由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH.即|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN|＝|FO|∶|AF|＝1∶5.

x2y2222

4．2－21(a0，b0)的右焦点F，作圆x＋y＝a的切线FM交y轴于点P，切

ab

→→→

圆于点M,2OM＝OF＋OP，则双曲线的离心率是A.2答案A

解析由已知条件知，点M为直三角形OFP斜边PF的中点，故OF2OM，即c＝2a，2.

12x2

5．(2023山东)抛物线C1：y＝x(p0)的焦点与双曲线C2－y＝1的右焦点的连线

2p3

交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于()A.3

16

B.3

8

23C.

3

D.43

3

2

()

B.3C．2D.5

答案D

解析抛物线C1的标准方程为x＝2py，其焦点F为0，，双曲线C2的右焦点F′为

2(2,0)，渐近线方程为y＝

3x.3

2

p1333p

由y′＝x得x＝，故Mp，.

p33633

由F、F′、M三点共线得p＝3

x2y2→→

6．椭圆M221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1PF

ab

2

的最大值的取值范围是[c3c]，其中c＝a－b，则椭圆M的离心率e的取值范围是

()

2,222

11

A．42C．2

，1)

2

12B．]

221

D．1)

2

答案B

解析设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，→→

则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，→

PF1PF2＝x2＋y2－c2.

又x＋y可看作P(x，y)到原点的距离的平方，→→2222

所以(x＋y)max＝a，所以(PF2PF2)max＝b，12122222

所以c≤b＝a－c≤3c，即≤e

4212

e≤应选B.

22

2

2

→

二、填空题

x2y2

7．(2023XX)在平面直角坐标系xOy2＝1的离心率为5，则m

mm＋4

的值为________．答案2

解析建立关于m的方程求解．∵c＝m＋m＋4，

2

2

c2m＋m2＋4∴e＝2＝＝5，

am

2

∴m－4m＋4＝0，∴m＝2.

2

x2y2

8．(2023福建)椭圆Г：＋＝1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直

ab

线y＝3(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案

3－1

解析由直线方程为y3(x＋c)，知∠MF1F2＝60，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝30，

MF1⊥MF2，

所以|MF1|＝c，|MF2|＝3c所以|MF1|＋|MF2|＝c＋3c＝2a.即e＝

3－1.

ca

9．(2023辽宁)已知F为双曲线C－1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等

916

于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．答案44

解析由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，

由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周长为

|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.

10．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)＋y＝1和圆(x－3)＋y＝4

2516

上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．答案7

解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.三、解答题

x2y2

x2y2

2222

x2y2

11．(2023课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2＋21(ab0)右焦点的直

ab

1

线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为2(1)求M的方程；

(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

x2y211

2＋2＝1abx2y222

＋＝1ab

①②

x1－x2x1＋x2y1－y2y1＋y2①－②，得＝0.22

ab

由于

y1－y2

1，设P(x0，y0)，x1－x2

1

由于P为AB的中点，且OP的斜率为，

211

所以y0＝x0，即y1＋y2＝x1＋x2)．

22

所以可以解得a＝2b，即a＝2(a－c)，即a＝2c，又由于c＝3，所以a＝6，所以M的方程为1.

63

(2)由于CD⊥AB，直线AB方程为x＋y3＝0，所以设直线CD方程为y＝x＋m，将x＋y－3＝0代入＋＝1得：

633x－3x＝0，即A(03)，B46

所以可得|AB|＝；

3将y＝x＋m代入1得：

633x＋4mx＋2m－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则|CD|＝22

2

2

2

2

2222222

x2y2

x2y2

343

，－，

33

x2y2

x3＋x42

－4x3x4＝

222

18－2m，3

又由于Δ＝16m－12(2m－6)0，即－3m3，

1

所以当m＝0时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为AB||CD|＝

286

.3

2

x2y2

12．(2023江西)如图，椭圆C：＋1(ab0)经过点

ab

的方程为x＝4.

P1，，离心率el

32

12

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA、

PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，

求λ的值；若不存在，说明理由．

xy3解(1)由P1，在椭圆221上，得ab2

22

1

a

2＋

9

4b

2＝1，又e＝ca12

，得a2＝4c2，b2＝3c2

，

②代入①得，c2

＝1，a2

＝4，b2

＝3.x2＋y2

43

＝1.

(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

y＝kx－1由22x4＋y

3

＝1

得，

(4k2

＋3)x2

－8k2

x＋4k2

－12＝0，2

2

x8k4k－121＋x24k2＋3，x1x2＝4k2＋3.

y31－

k2y3

2－2

1＋k2＝xx

1－12－1

kx1－1－

32kx2－1－3＝

2

x＋

1－1

x2－1

＝2k－312x＋11－1x2－1

＝2k－3x1＋x2－22x

1x2－x1＋x2＋18k

2

＝2k－3

4k2

＋3224k2－122

4k2

＋38k

4k2＋3＋1＝2k－1.

又将x＝4代入y＝k(x－1)得M(4,3k)，3k－

3∴k＝21

33k－2

∴k1＋k2＝2k3.

故存在常数λ＝2符合题意．

①②