流体力学第a章

流体力学第a章第1页，共43页，2023年，2月20日，星期日第十章相似性原理和因次分析§10－1力学相似性原理§10－2相似准数§10－3模型律§10－4因次分析法第2页，共43页，2023年，2月20日，星期日

如何设计模型，使原型与模型流动相似？如何把模型中测量的物理量换算到原型？

相似原理和模型试验基础答案3第3页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－1力学相似性原理“没有理论的实践是盲目的实践；没有实践的理论是空洞的理论”实验分原型实验和模化实验：原型实验：现场实物实验，所有条件均为真实的物理条件。模化实验：对真实条件作相似变换，既可放大，也可缩小。相似：如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成比例外，方向相同，则称这两个现象是相似的。一、几何相似几何相似指的是流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例4第4页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－1力学相似性原理相应线段夹角相同，即：相应的线性长度保持一定的比例：称为长度比例常数相应面积之比为长度单位的平方：相应体积之比为长度的立方：5第5页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－1力学相似性原理二、运动相似两流动运动相似，要求两流动的相应流线几何相似，相应点的流速成比例。λv称为速度比例常数。时间比例常数该式表明原型流动和模型流动实现一个特定流动过程所需时间之比。加速度比例常数是速度比例常数除以时间比例常数：只要速度相似，加速度也必然相似。反之亦然。由于流速场的研究是流体力学的首要任务，运动相似通常是模型实验的目的。6第6页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－1力学相似性原理三、动力相似流体的运动相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。同名力是指同一物理性质的力。例如粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。同名力作用是指原型中，如果作用着粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。则模型中也同样作用着粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。相应的同名力成比例是指原型流动和模型流动的同名力成比例式中，v、P、G、I、E分别表示粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据。动力相似是决定两流动运动相似的主导因素。三者是一个彼此密切相关的整体，缺一不可。7第7页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数设想在两相似的水流中，如图，取两个相应的质点n和m，研究这两个质点所受的粘性力、压力、重力、惯性力。流体不可压缩，不存在弹性力。根据动力相似条件：8第8页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数现将(a)写成：原型水流中所取的质点是边长为Ln的立方体；模型水流中所取的相应质点是边长为Lm的立方体则两水流质点所受压差作用分别为作用于这两个立方体的惯性力（动量）为：将以上两式代入(a)式。得：即：称为流动的欧拉数，欧拉数是压差和惯性力的相对比值。原型水流和模型水流压力和惯性力的相似关系可以写为：Eun＝Eum，即原型与模型的欧拉数相等。结论：如果两现象动力相似，那么它们的Eu数应相等。9第9页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数由(b）式得代入（b）式，可得：再由称为弗诺德数。弗诺德数是惯性力与重力的相对比值。原型水流与模型水流惯性力和重力的相似关系，可以写成：将得：即原型与模型的弗诺德数相等。10第10页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数由(c）式是惯性力与粘性力的比值，即雷诺数。原型水流和模型水流粘性力与惯性力的相似关系可以写成：即原型与模型的雷诺数相等。11第11页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数在高速气流中，弹性力起主要作用惯性力与弹性力的比值，以来表示则原型与模型的弹性力相似，在消去l2以后，得出根据气体动力学，我们知道：相似关系简化以后式中E为气体的体积弹性模量。这个速度比值就是马赫数M。即弹性力相似，原型与模型的马赫数相等：Mn＝Mm12第12页，共43页，2023年，2月20日，星期日各种不同力作用下的相似准则重力与浮升力之比阿基米德数浮升力相似7当地惯性力与牵连惯性力之比斯特罗哈数谐时相似6惯性力与弹性力之比马赫数F＝EA弹性力相似5压差与惯性力之比欧拉数P＝pA压力相似4惯性力与粘性力之比雷诺数层流阻力相似3惯性力与重力之比弗诺德数G＝mg重力相似2各种力与惯性力之比牛顿数F＝ma牛顿相似1物理意义准则数作用力相似准则13第13页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数对某一流动具有代表性的物理量称为定性量，或叫特征物理量。比如：在管内流动中，断面的平均速度就是有代表性的速度，我们称为定性速度。对于长度的代表性的量，有管内径、外径和管长度，管内径就是定性长度（定型尺寸）。用动力相似的定义得到了相似准则数，结果表明，两个流动现象相似，它们的同名准则数相等。下面我们再从流体的运动微分方程出发，用比例代换的方法，也可以推导出相似准则数。主要采用的方法是对微分方程进行无量纲化，然后通过有量纲的方程与无量纲的方程之间的对比得到一些准则数。我们以重力作用下的粘性不可压缩恒定流为例。14第14页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数引入无量纲的参数，有量纲与无量纲参数之间的关系为：其中L、V、P均为定性的量。比如15第15页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数由于L、V、P为常数，可以提到微分项的外边，即有：16第16页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数方程变为：17第17页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数把常数整理一下，动量方程通除以V2/L,得：18第18页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数无量纲方程组19第19页，共43页，2023年，2月20日，星期日相似准则数的确定方法方程分析法量纲分析法物理法则分析法以П定理为基础适用于物理方程未知但相关物理量可以确定的物理现象，主要缺点是相似准则数的物理意义不够明确。主要方法是列出支配现象的物理法则（或定律），根据这些法则用特征物理量的幂次表示相应的力，由这些力的比值得到动力相似准则数。牛顿第二定律牛顿粘性定律压强公式用物理法则法导出的相似准则数物理意义明确，例如Re数代表惯性力与粘性力之比，Fr数代表惯性力与重力之比等，只要物理法则运用得当，导出的相似准则数便具有代表性。根据物理方程的量纲齐次性可对已知方程进行量纲为1化，无量纲形式的方程将包含相关的相似准则数。20第20页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数如果两个流动现象是相似的，它们的无量纲量应该分别相等，即有：相似理论中的三大定理：第一定理：两个现象相似，它们的同名相似准则数必定相等，即相同名称的相似准则数分别相等。第二定理：由定性物理量组成的相似准数，相互之间存在着函数关系。第三定理：两个现象相似的充要条件除了由基本规律导得的相似准数相等以外还包括单值性条件相似。21第21页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数单值性条件：是指把某一现象从无数个同类现象中区分开来的条件。单值性条件包括：几何相似，边界条件初始条件相似，以及由单值性条件所推得的相似准数相等。定理三说明准则数之间由于存在函数关系，因此相互之间并不是独立的。比如：对于不可压缩流体流动的动力相似，决定流动平衡的四种力，粘滞力、压力、重力和惯性力并非都是独立的，在决定动力相似的三个准则数中Eu，Re，Fr，也必有一个是被动的，相互之间存在函数关系：Eu=F(Re，Fr),对大多数的流动，通常Eu数是被动的准则数。

定型相似准数：对流动起决定作用的准则数，也叫决定性相似准数，也叫同名已定准则数。

非定型相似准数：被动的准则数，也叫被决定的相似准数，也叫待定准则数

准则数之间的函数关系称为准则方程。应用这些定理我们就可以组织试验，整理试验数据，推广试验结果。22第22页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数作业：10－2；10－3；10－7；10－12例题1：采用直径300mm几何相似的管路，用气流模型试验测定直径600mm水管的沿程阻力系数。已知原型水流量Q=0.283m3/s，水的运动粘度ν=1.010-6

m2/s，空气的运动粘度ν=1.610-5

m2/s，试求：模型气流量。解：粘滞力起主要作用，采用雷诺准则23第23页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－2相似准数解：重力起主要作用，采用佛劳德准则分

钟例题2：贮水池放空的模型试验，已知长度比尺=225，打开底部阀门30分钟，

池内水全部

放空，试求原型贮水池放空所需时间，水池示意于

图。24第24页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－3模型律对不可压缩恒定流，动力相似要求佛罗德数和雷诺数相等，对雷诺数相等有：如果实验采用相同的工质，则即有：雷诺模型律：原型流动和模型流动的雷诺数相等25第25页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－3模型律对于佛罗德数相等：重力场只有一个：gn=gm，

通过比较可以发现，除非取λL＝1，才能同时满足这两个准则数相等，但λL＝1意味着模型和原型相等，实验时是很难保证的。对运动粘性系数应满足：在模型流动中，要采用一定粘度的流体，这也是很难办到的。我们必须要学会抓主要矛盾，通过分析找出流动起决定作用的是哪种力，保证反映这个力的准则数相等，所以实验一般都是局部相似，这种局部相似所得的结果往往需要进行修正。26第26页，共43页，2023年，2月20日，星期日(1)有压差作用的管内流动：平均流速和沿程损失，在同一水头作用下与管子是否倾斜无关，因此，Fr数（重力相似）可以不考虑，采用雷诺模型律。(2)管内流动的粗糙问题：由于管壁摩擦作用成为主要因素，在几何相似的设计中要考虑管壁粗糙度相似，即管壁的绝对粗糙度K也应保持同样的长度比例常数即：原型相对粗糙度与模型的相等。(3)具有自由面的流动：无论是流速的变化还是水面的波动，都强烈地受重力的作用一般采用弗诺得模型律。(4)等温射流：重力与浮力平衡，采用欧拉模型律。(5)非等温射流：重力与浮力不平衡，采用阿基米德模型律，在弗诺得准则数的基础上，相差一个乘数其中Δρ为流体密度与外界介质密度之差，§10－3模型律ρ为流体密度，由状态方程可知：阿基米德数为：27第27页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－3模型律自模拟区：当某一相似准数在一定的数值范围内，流动的相似性和该准则数无关，也就是说即使原型和模型的该准则数不相等，流动仍然保持相似。比如：管内流动，当Re数很大时，紊流变为旺盛紊流，流动进入阻力平方区。阻力系数与Re数无关了，这时模型设计可以不受模型律的制约，因为，Re数等于10万和20万，二者仍然还是相似的。因此，在做这类试验的时候，尽可能提高Re数，使流动进入阻力平方区。这种现象我们叫自模化，即当Re大于某一个临界Re以后，即使模型和原型的Re数不相等，二者也是相似的。

28第28页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）一、因次分析的概念和原理

因次（量纲）：物理量的性质和类别。比如：长度[L],质量[M].

一种因次往往包含许多种单位,[L]：米、厘米、毫米等等。因次分类基本因次：某一物理现象中，不存在任何联系的、性质不同的因次（即不能通过其他因次推导出来）。比如：流体力学的基本因次为：质量－长度－时间－温度。M－L－T－Θ.导出因次：由基本因次导出的因次。比如：速度[LT-1]，力[MLT-2]dimV=LT-1

dimg=LT-229第29页，共43页，2023年，2月20日，星期日因次分析法：通过对现象中物理量的因次以及因次之间相互联系的各种性质的分析来研究相似性的方法。因次分析法是研究相似性的另一种方法，它是以方程式的因次和谐性为基础的。因次和谐性：在完整的物理方程式中各项的因次应具有相同的性质。只有两个同类型的物理量才能相加减，即相同因次的量才能相加减。一个方程式中各项的量纲必须是相同和一致的。但是，不同类型的物理量却可以相乘，从而得到用导出因次表示的另一类物理量。比如：速度x质量＝动量。§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）30第30页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）因次和谐性的重要性1、一个方程式在因次上是和谐的，则方程的形式不随因次单位的改变而变化。因次和谐性可用来检验新建方程式或经验公式的正确性和完整性。比如：伯努利方程，每一项的单位都是米，如果换成英尺，方程的形式不会改变2、可用来确定公式中物理量的指数。比如：圆管层流流量的计算式，其中的n应该是多少呢？得n＝43、可用来建立物理方程式31第31页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）因次分析法有两种方法：π定理（Buckingham`sMethod，巴金汉法）瑞利法（Rayleigh`sMethod）一、π定理（ThePiTheorem）：定理：任何一个物理过程，如果包括有n个物理量，涉及m个基本因次，则这个物理过程可由n个物理量组成的（n－m）个无因次量所表达的关系式来描述。在使用时因这些无因次量用π来表示，因此，把这个定理称为π定理。用数学语言来表示：影响物理过程的n个物理量为：x1，x2，……xn这个过程可用一个完整的函数关系表示：f（x1，x2，……xn）＝0。这些物理量中有m个基本因次，则由π定理知，这个物理过程可用n－m个无因次的量来描述。即关系式为：f（π1，π2，……πn－m）＝0。然后，在变量x1，x2，……xn中选取m个因次独立的量作为重复变量，连同其他的xi量中的一个变量组成每一个πi，再通过无因次的条件，确定各个表达式的指数值。较早提议做量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877），而奠定量纲分析理论基础的是白金汉(E.Buckingham,1914），他提出了П定理。32第32页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）推导有压管流中的压强损失计算式根据试验我们知道：压强损失与管长，管径，管壁粗糙度以及流体的粘性系数，密度，平均流速等有关。即：有7个量，这其中的基本因次为3（L、M、T）个，我们就取三个作为重复的量，具体取哪三个，还要看它们的指数行列式不能为0。下面我们取：管径、平均速度、密度作为重复变量。π方程的个数为7－3＝433第33页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）将各量的因次代入，写出因次公式对每一个π方程写出因次和谐方程组：34第34页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）最后解得：代入上面的表达式，得：根据π定理可得：函数的具体形式由试验确定，对管流一般处理成：35第35页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）说明△

量纲分析法看起来简洁明了，要正确应用却并不容易，关键在第一步。若遗漏了必需的物理量将导致错误结果，而引入无关的物理量将使分析复杂化。要正确选择物理量需掌握必要的流体力学知识和对研究对象的感性认识，并具有一定的量纲分析经验。△

量纲分析的结果主要用于指导实验。上例中原来有7个变量，若通过实验确定式中的f,按每个变量改变10次获得一条实验曲线计算，共需106次实验，而且其中要改变10次ρ和μ，实际上难以实现。经量纲分析后变量减少为4个，为确定函数关系只需要103次实验，而且通过改变速度,便可实现，实验量已大大减少。36第36页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）二、瑞利法定理：假定物理量y是物理量x1，x2，……xm的一个函数y＝f（x1，x2，……xm）。则y的因次等于x1，x2，……xm的因次的幂乘积，即：推论：其中C0为无因次比例常数。根据瑞利法，我们可以把单位管长上的压强降设为：方程的因次应该是和谐的，即有：于是有：37第37页，共43页，2023年，2月20日，星期日§10－4因次分析法（DimensionalAnalysis）三个方程有5个未知数，这时我们可以选2个是待定的指数，比如选c1和c4作为待定指数。于是有：因次计算公式为整理为：38第38页，共43页，2023年，2月20日，星期日10-1.加热炉回热装置的模型尺寸为实物的1/5，已知回热装置中的烟气的运动粘度ν=0.72x10-4m