盘锦市大洼区高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精辽宁省盘锦市大洼区高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含解析2019—2020学年度上学期高二年级期末考试数学试卷试卷说明:1、本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，请将正确的选项填在答题卡上.第Ⅱ卷为非选择题,请在试卷指定位置作答。交答题卡.2、全卷满分150分，考试时间120分钟。3、命题范围：平面解析几何初步,圆锥曲线，空间向量与立体几何。4、适用对象：高二全体学生。第Ⅰ卷选择题(共60分）一、选择题(共12道小题,每道小题5分,共60分）1。复数(为虚数单位)的虚部是（）A。—1 B。1 C。 D。【答案】B【解析】【分析】根据复数除法计算公式计算，由复数的概念即可得到结果。【详解】因为，所以虚部是1，故选B。【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题。2.已知函数，且，则的值为（)A.1 B. C.—1 D。0【答案】A【解析】由题意得，函数的导数为,因为，即，所以，故选A．3.复数的共轭复数在复平面上对应的点在（）A。第一象限 B.第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算求得，得到，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，则，所以对应点在第三象限，故选C．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示,其中解答中熟记复数的运算法则,以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知a为函数f(x）=x3–12x的极小值点,则a=A。–4 B。–2 C。4 D.2【答案】D【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D。【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点,需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，,时,则是极小值点，如果时，，时，,则是极大值点。5.长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B。 C。 D。【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A（1，0，0）,E(0,2,1),B（1,2，0）,C1（0，2，2）,＝（－1,0,2），＝（－1，2，1)．cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为。6.已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A。 B。C。 D。【答案】A【解析】【分析】双曲线与抛物线焦点相同，得出，利用离心率公式以及、、关系可求得、，进一步得到双曲线的渐近线方程【详解】双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，焦点为又，由得，因此,渐近线方程为，故选A【点睛】本题考察双曲线渐近线方程,利用共焦点求得是关键7.如图,在正方体中，分别是的中点,则下列说法错误的是(）A。 B。平面C. D.平面【答案】C【解析】【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴，DD1为z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】∵在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，

∴以D为原点，DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2,

则B（2,2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2）,C（0，2,0)，N（0，1，1),

∴MN⊥CC1，故A正确；∴MN⊥平面ACC1A1,故B成立;

∵∴MN和AB不平行，故C错误；

平面ABCD的法向量又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．

故选C．【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想，是中档题．8.已知函数,则曲线在处切线方程为（)A. B. C. D。【答案】A【解析】【分析】先求出时,的解析式,求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程．【详解】当时，，，所以,，曲线在处切线方程为即，故选A．【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程．9。如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD，PD∥QA,QA=AB=PD，则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(）A。平行 B.垂直C.相交但不垂直 D。位置关系不确定【答案】B【解析】【分析】由已知可得PD⊥DC，PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0，0),C（0,0,1），Q（1，1，0)，P（0,2，0）。故=(1，1,0),=(0，0，1)，=(1,—1,0).利用向量的数量积可得PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.得到结论.【详解】由已知可得PD⊥DC，PD⊥DA,DC⊥DA，如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1，则D（0,0，0）,C(0，0,1），Q(1,1，0）,P(0，2，0）。故=（1,1,0）,=(0，0,1),=(1,—1，0）.故=0，=0,即，故PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.【点睛】本题考查利用向量证明平面与平面的垂直关系，属基础题。10。若函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（)A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】由函数有两个极值点,得到有两个零点,转化为函数与的图象有2个交点，利用导数求得函数单调性与最值，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数，则，要使得函数有两个极值点,则有两个零点，即方程有2个实数根，即与的图象有2个交点，又由，当时，单调递减，当时,单调递增，所以，当时，，当时，，所以当是满足函数与的图象有2个交点，即函数有两个极值点，故选A．【点睛】本题主要考查了利用导数求得函数的极值问题，其中熟记函数的导数与函数的单调性与极值之间的关系，以及结合函数点图象求解是解答的关键,着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．11。如图，直三棱柱中，侧棱长为,，，点是的中点，是侧面(含边界)上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（)A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】取上靠近的四等分点为E,由题易知，再利用空间向量证得，即当F在上时，平面,然后求得答案.【详解】取上靠近的四等分点为E，连接，当点F在上时，平面，证明如下：因为直三棱柱中，侧棱长为,,，点是的中点，所以平面，所以以为坐标原点，分别为x轴,y轴，z轴建系；所以即此时，即所以平面，故当F在上时,平面,很明显,当E、F重合时,线段最长，此时故选A【点睛】本题考查了立体几何的综合知识，属于探索性题型，熟悉空间向量与立体几何以及立体几何的定理是解题的关键，属于难题。12.已知函数存在零点，且，则实数的取值范围是（）A. B。C。 D。【答案】D【解析】【分析】令,可得，设,求得导数，构造，求得导数，判断单调性，即可得到的单调性，可得的范围，即可得到所求的范围．【详解】由题意,函数，令，可得,设，则，由的导数为,当时,，则函数递增，且，则在递增，可得,则，故选D．【点睛】本题主要考查了函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（共4道小题，每道小题5分，共20分）13.已知复数满足(为虚数单位)，则的模为______【答案】【解析】【分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果。【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题。14.如图,在三棱锥中,，，，，则BC和平面ACD所成角的正弦值为．【答案】.【解析】【详解】解：在三棱锥A−BCD中,

∵AB⊥平面BCD，∠DBC＝90°，

∴以B为原点，以BC为x轴,以BD为y轴，以BA为z轴，

建立空间直角坐标系，

∵BC＝BD＝2，AB＝1，

∴B（0,0，0),A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），

∴＝（−2,0，0),＝（−2,0,1），＝(−2，2，0），

设平面ACD的法向量为＝(x，y，z),

则，

∴，∴＝(1，1，2）,

设直线BC和平面ACD所成角为θ，

则sinθ＝．

故答案为：．15。直线与曲线相切于点，则_________.【答案】40【解析】【分析】把点代入直线方程，求得，再由导数的几何意义，得到，求得,进而代入曲线方程，求得的值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，直线与曲线相切于点，把点代入直线，可得，又由，则，所以，解得，即，把点代入，解得，所以。【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数，若函数在上为单调函数，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】分两种情况讨论：函数在区间上为增函数或减函数，转化为或在区间上恒成立，利用参变量分离得出或在区间上恒成立，然后利用单调性求出函数在区间上的最大值和最小值，可求出实数的取值范围。【详解】，。①当函数在区间上单调递增，则不等式在区间上恒成立，即，则，由于函数在区间上单调递增，，，，解得；②当函数在区间上单调递减，则不等式在区间上恒成立，即，则,由于函数在区间上单调递增，,，，解得因此，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数的符号之间的关系，另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算,考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题（共6道小题，17题10分，18～22题每道小题12分，共70分)17。设,函数(1)若，求曲线在处的切线方程;（2）求函数单调区间.【答案】（1)；（2)当，单调递增区间为；当，单调递增区间为，单调递减区间为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导数，当时，求出即切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；（2）对参数分类讨论,分别求出函数的单调性；【详解】解：因为，所以函数的定义域为.（1）当时，则切线方程为，即;(2）若，则,是在区间上的增函数，若，令得：.在区间上，,函数是增函数；在区间上，，函数是减函数。【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，属于基础题.18.如图，在长方体中,,，点、分别为、的中点．(1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)见证明;（2)【解析】【分析】(1）以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC1⊥平面BDE．（2)求出平面BDE的法向量和平面FBE的法向量，二面角F﹣BE﹣D为锐二面角，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】（1）如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AD，A为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A（0，0，0）,B（1,0，0），D（0,1，0），E（0，0，），（1,1,）,，,，,与BE是平面BDE内两条相交直线平面BDE（2)由（1）进一步可得F(0，)，设平面BDE的法向量为，可取,设平面FBE的法向量为，由,可得，取x=1，可得（1,-2，)。由于二面角F-BE-D为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知椭圆．（1）求椭圆的离心率；(2)设为原点,若点在直线上，点在椭圆上，且,求线段长度的最小值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆C的方程可以求椭圆C的离心率（2）设椭圆C的椭圆方程，结合，得出结果.(1）由题意，椭圆C的标准方程为，所以，从而，因此，故椭圆C的离心率.（2）设点A,B的坐标分别为，其中，因为，所以，即，解得,又，所以====，因，且当时间等号成立，所以，故线段AB长度的最小值为.考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力,考查同学们分析问题与解决问题的能力.20.如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形,且，，点是棱的中点，是上的点,且.（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1)建立空间直角坐标系,求出各点的坐标，从而求出的坐标，利用向量夹角的坐标运算公式求解．(2）求出平面的法向量，求出与的夹角余弦值,从而求出与平面所成的角的正弦值．【详解】（1）建系以为原点，如图，，所以（2），,设是平面的法向量，则,即，取所以与平面所成的角的正弦值。【点睛】(1）主要考查了空间向量的应用———空间直线夹角问题转化成空间向量夹角问题,还考查了向量的坐标运算．(2）主要考查了空间向量的应用—--空间线面角问题转化成向量夹角问题求解,还考查了向量的坐标运算．21。已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点,关于轴的对称点为。（1）求抛物线的方程；(2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标;若不是，请说明理由.【答案】（1);（2）【解析】【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程。（2）解法一:设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系,从而得到的关系，找出定点.解法二：直线的方程为,与抛物线联立,得到纵坐标关系，设直线的方程为，与抛物线联立,得到纵坐标关系，从而可以解出，得到定点。【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,坐标为，所以,所以抛物线的方程为；（2）【解法一】因为点与点关于轴对称所以设，，,设直线的方程为,代入得：，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，因为，，所以，即,所以直线的方程为,必过定点。【解法二】设，,,因为点与点关于轴对称，所以，设直线的方程为,代入得:，所以,设直线的方程为，代入得：，所以,因为，所以，即,所以直线方程为，必过定点.【点睛】本题主要