1983年全国高中数学联赛试题及解答

本文格式为Word版，下载可任意编辑——1983年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联赛试题及解答

1983年全国高中数学联赛

第一试

1．选择题(此题总分值32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)

⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件

C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件⑵x=

1111

的值是属于区间

1

log12353

A．(－2，－1)B．(1，2)C．(－3，－2)D．(2，3)⑶已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中A．一个是有理数，另一个是无理数B．两个都是有理数

C．两个都是无理数D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定⑷已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是1

A．a≥1B．a=1C．a≥1D．0a1

44⑸已知函数f(x)=ax2－c，满足

－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．那么，f(3)应满足

2835

A．7≤f(3)≤26B．－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D≤f(3)≤33⑹设a，b，c，d，m，n都是正实数，

1

P=abcd，Q=ma+nc

bdmn

A．P≥QB．P≤Q

全国高中数学联赛试题及解答

C．PQD．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．⑺在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有

A．9个B．17个C．1个D．5个

⑻任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么

A．lR+rB．l≤R+rC．R+r6lD．A、B、C三种关系都不对

62．填充题(此题总分值18分，每题6分)

3

5

l

⑴在△ABC中，sin，cos，那么cosC的值等于．

513⑵三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个．

⑶一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球

半径之比是一个既约分数mn是．

mn

全国高中数学联赛试题及解答

其次试

1．(此题总分值8分)求证：arcsinx+arccosx=，其中x∈[－1，1]

2

2．(此题总分值16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．假使对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)

1

－f(x2)||x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|．

2

3．(此题总分值16分)在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．

C

D

B

A

N

全国高中数学联赛试题及解答

4.(此题总分值16分)在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有周边体中，最大体积是多少？证明你的结论．

5．(此题总分值18分)函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|

3

在0≤x≤π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．

2

全国高中数学联赛试题及解答

1983年全国高中数学联赛解答

第一试

1．选择题(此题总分值32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)

⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件

C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解：p3－q3=(p－q)(p2+pq+q2)．又p+q=p－q+2q，故p+q与p－q的奇偶性一致．∴p+q为偶数，p－q为偶数，p3－q3为偶数．

p+q为奇数，p、q一奇一偶，p3－q3为奇数．应选C．⑵x=

1111

的值是属于区间

1

log12353

A．(－2，－1)B．(1，2)C．(－3，－2)D．(2，3)解：x=log32+log35=log310∈(2，3)，选D．

⑶已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中A．一个是有理数，另一个是无理数B．两个都是有理数

C．两个都是无理数D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定

解：tan为有理数，sinA、cosA都是有理数．选B．2

⑷已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是1

A．a≥1B．a=1C．a≥1D．0a1

44

解：M∩N=N的充要条件是圆x2+(y－a)2≤1在抛物线y=x2内部(上方)．即a≥1，且方程

14

1

A

y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0，a≥1，选A．

全国高中数学联赛试题及解答

⑸已知函数f(x)=ax2－c，满足

－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．那么，f(3)应满足

2835

A．7≤f(3)≤26B．－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D≤f(3)≤33解：f(1)=a－c，f(2)=4a－c，f(3)=9a－c．令9a－c=λ(a－c)+μ(4a－c)，58

∴λ+4μ=9，λ+μ=1．∴λ=－，μ=f(3)=－f(1)+(2)．

33335408840

但≤－(1)≤≤f(2)≤33333358

∴－1≤－f(1)+(2)≤20.．选C．

33⑹设a，b，c，d，m，n都是正实数，5

5

8

P=abcd，Q=ma+nc

bdmn

A．P≥QB．P≤Q

C．PQD．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．解：由柯西不等式，Q≥P．选B．

⑺在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有

A．9个B．17个C．1个D．5个

解：如图，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作4个圆，其8个交点满足要求，正方形的中心满足要求，共有9个点．选A．

⑻任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么

A．lR+rB．l≤R+rC．R+r6lD．A、B、C三种关系都不对

6

l

全国高中数学联赛试题及解答

解：R=A→180时，a最大，而R可大于任意指定的正数M．从而可有R6l，否定A、C．

2sinA

32

A

又正三角形中，R+r=al，否定B．应选D．

2．填充题(此题总分值18分，每题6分)

3

5

⑴在△ABC中，sin，cos，那么cosC的值等于．

513

412454

解：cosA=sinB=，但若cosA=－，则A135，cosB=60，B60，矛盾．故cosA=．

51351355431216

∴cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－+．

13551365⑵三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个．

解：设另两边为x，y，且x≤y．则得x≤y≤11，x+y11，在直角坐标系内作直线y=x，y=11，x=11，

x+y=11，则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数．(含y=11，y=x上的整点，不含x+y=11

上的整点)共有1224=36个．即填36．

⑶一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球

半径之比是一个既约分数mn是．

mn

解：此六面体可看成是由两个正周边体粘成．每个正四

63

69

面体的高h1=a，于是，利用体积可得Sh1=3Sr1，r1=．

同样，正八面体可看成两个四棱锥粘成，每个四棱锥的

22

34

66

高h2=，又可得a2h2=42r2，r2=．

r12

∴=，∴mn=6．

r23

全国高中数学联赛试题及解答

其次试

π

1．(此题总分值8分)求证：arcsinx+arccosx=x∈[－1，1]

2

证明：由于x∈[－1，1]，故arcsinx与arccosx有意义，

sin(－arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx∈[0，π]，∴arccosx∈[－]．

2222

ππππ

π

故根据反正弦定义，有arcsinx=arccosx．故证．

2

2．(此题总分值16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．假使对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)

1

－f(x2)||x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|．

2

1

证明：不妨取0≤x1x2≤1,若|x1-x2|≤，则必有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|．

22111

若|x1-x2|，则x2－x1于是1－(x2－x1)即1－x2+x1－0．

2222

而|f(x1)-f(x2)|=|(f(x1)-f(0))-(f(x2)－f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)||x1－0|+|1－x2|

1

=1－x2+x1－0．故证.

2

3．(此题总分值16分)在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在

1

1

AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．

证明设AC、BD交于点E．由AM∶AC=CN∶CD，故AM∶MC=CN∶ND，令CN∶

D

B

C

A

N

ND=r(r0)，则AM∶MC=r．

由SABD=3SABC，SBCD=4SABC，即SABD∶SBCD=3∶4．从而AE∶EC∶AC=3∶4∶7．

全国高中数学联赛试题及解答

SACD∶SABC=6∶1，故DE∶EB=6∶1，∴DB∶BE=7∶1．

r

3

AM∶AC=r∶(r+1)，即AM=，AE=AC，

r+17

34r－31

∴EM=()AC=．MC=AC，

r+177(r+1)r+1

4r－3CNDBEM∴EM∶MC=Menelaus定理，知=1，代入得

7NDBEMC

4r－37

r

r7=1，即4r2－3r－1=0，这个方程有惟一的正根r=1．故CN∶ND=1，就是N为CN中点，

M为AC中点．

4.(此题总分值16分)在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有周边体中，最大体积是多少？证明你的结论．

解：边长为2的三角形，其余两边可能是：⑴3，3；⑵3，4；⑶4，5；⑷5，5．按这几条棱的组合状况，以2为公共棱的两个侧面可能是：

①⑴，⑷；②⑴，⑶；③⑵，⑷．

先考虑较特别的状况①：由于32+42=52，即图中AD⊥平面BCD，11

∴V1=32

83

4

A

5

5

A

42

B

2

3

D

B

2

B

5

状况1

C

C

状况2

状况3

C

32－124=2；

状况②：由于此状况的底面与状况②一致，但AC不与底垂直，故高4，于是得V2V1．

1

52

54

状况③：高2，底面积=5

215∴V3

34

11=

56

811

3

32－()2=11．

2．