新课标立体几何常考平行证明题汇总

WordWord文档C1Ai丁AC1C1Ai丁AC11BD又11 11AC1AD同理可证1 1新课标立体几何常考平行证明题汇总立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。3、如图，在正方体ABCD—A1BCyD1中，E是AA1的中点，求证：AC//平面BDE。证明：连接AC交BD于O，连接EO,E为AA1的中点，O为AC的中点一•EO为三角形A1AC的中位线「.EO//AC又EO在平面BDE内，AC在平面BDE外」.AC//平面BDE。考点：线面平行的判定5、已知正方体ABCD—A1BC1D1,O是底ABCD对角线的交点.求证：(1)C1O〃面ABiD1;(2)AC1面AB^D1证明：⑴连结A1C1，设AC1八BiDi=Oi，连结AO1ABCD—A1B1C1D1是正方体「.A1ACC1是平行四边形・•.AC〃AC且AC=ACTOC\o"1-5"\h\z11 ii又O1,O分别是A1C1,AC的中点，」.O1C/AO且O1C1=AOAOCO1是平行四边形C?"AO,AO^u面abd,CO亡面ABD」.CO〃面ABDiii ii 1 ii(2)CC1面ABCD ：.CC1BDiii ii!：.BD1面ACC 即AC1BD1DBcxAD=D1 11又iiii:.A1C1面AB^D1考点：线面平行的判定(利用平行四边形)，线面垂直的判定

7、正方体ABCD-A1B1cpi中.⑴求证：平面A1BD〃平面B1D1C;⑵若E、F分别是AA1,CC1的中点，求证：平面EB1D1〃平面FBD.证明：（1）由B1B〃DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形，」.BpdBD,又BD»平面B1D1C,B1D1u平面B1D1C,」BD〃平面B1D1c.同理A1D〃平面B1D1c.而A1DGBD=D,.•・平面A1BD〃平面B1cD.⑵由8口〃812，得BD〃平面EB1D1.取BB1中点G,」AE〃B1G.从而得B1E〃AG,同理GF〃AD.」.AG〃DF.」.B1E〃DF..」DF〃平面EB1D1..•・平面EB1D1〃平面FBD.考点：线面平行的判定（利用平行四边形）10、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF〃平面BDG.证明：•••E、F分别是AB、AD的中点，EF〃BD又EF0平面BDG,BDu平面BDG:.EF〃平面BDG•/DG坦EB••・四边形D1GBE为平行四边形，D1E〃GBEFcDE=E:.平面D1EF〃平面BDG又D1E亡平面BDG,GBu平面EFcDE=E:.平面D1EF〃平面BDG考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：AC//平面BDE;（2）求证：平面A1AC1平面BDE.证明：⑴设ACcBD=O,・•・E、O分别是AA1、AC的中点，AC〃EO又AC亡平面BDE,EOu平面BDE:.AC〃平面BDE(2)vAA11平面ABCD,BDu平面ABCD,AA11BD

又BD±AC,AC八AAi=A，.二BD±平面A1AC,BDu平面BDE,;.平面BDE±平面A1AC考点：线面平行的判定(利用三角形中位线)，面面垂直的判定(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质1.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点.求证：AF〃平面PCE；(第1题图)分析：取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF(第1题图)2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB〃CD,AB±BC,AB=1,BC=2,CD=1+<3,过A作AE^CD,垂足为E,G、F分别为AD、CE的中点，现将^ADE沿AE折叠，使得DE±EC.(I)求证：BC，面CDE； (II)求证：FG〃面BCD；分析：取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形FDAA1FDAA13、已知直三棱柱ABC-A1B1cl中，D,E,F分别为AA1,CC1,AB的中点，M为BE的中点,ACXBE.求证：(I)C1D±BC； (II)QD〃平面B1FM.分析：连EA,易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

4、如图所示，四棱锥P—ABCD底面是直角梯形，BA1AD,CD1AD,CD=2AB,E为PC的中点，证明：EB//平面PAD；分析：：取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质5、如图，已知E、F、(2)利用三角形中位线的性质5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱ADAM〃平面EFG。分析：连MD交GF于H,易证EH是AAMD的中位线CD、BD、BC的中点，求证:6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证：PA〃平面BDE7.如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；分析：连B1c交BC1于点E,易证ED是△B1AC的中位线WordWord文档WordWord文档(.3)利用平行四边形的性质9.正方体ABCD-A1B1cpi中O为正方形ABCD的中心，M为BB*q中点，求证：D1O//平面A1BC1;分析：连D1(.3)利用平行四边形的性质9.正方体ABCD-A1B1cpi中O为正方形ABCD的中心，M为BB*q中点，求证：D1O//平面A1BC1;分析：连D1B1交A1cl于O1点，易证四边形OBB1O1是平行四边形C,10、在四棱锥P-ABCD中，AB〃CD,AB=1DC,求证：AE〃平面PBC；分析：取PC的中点F,连EF则易证ABFE是平行四边形9011、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，/ACB=90EA,平面ABCD,EF〃AB,FG〃BC,(I)若M是线段AD的中点，EG#AC.AB=2EF.求证：GM〃平面ABFE；⑴证法因为EF//AB,FG//BC,EG//ACZACB=90。所以/EGF二90。，AABCsAEFG.由于AB=2EF,因此，BC=2FC,1连接AF,由于FG//BC,FG=2BC在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM〃BC1且AM=2BC又FAu平面ABFE,GMZ平面ABFE,所以GM//平面AB。(4)利用对应线段成比例

AMBN12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且而=而,求证：MN〃平面SDCAMBN分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD利用相似比易证MNFE是平行四边形13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM二FN求证：MN〃平面BEC分析：过M作MG//AB,过N作NH/AB利用相似比易证MNHG是平行四边形(5)利用面面平行14、如图，三棱锥P—ABC中，PB1底面ABC,/BCA=90,pb=bc=ca，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP.⑴求证：BEI平面PAC;分析：取AF的中点N,连CN、MN,易证平面CMN//EFB(2)分析：取AF的中点N,连CN、MN,易证平面CMN//EFBA B10如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是J3,D是AC的中点.求证：Bfll平面A1BD.A B1证明：设AB与AB相交于点P，连接PD，则P为AB中点，11 10D为AC中点，・•.PD//B1c.又®pdu平面A1BD，B1c//平面A1BD1L如图，在平行六面体ABCD-A/1cpi中，E，M，N，G分别是AA1，CD,CB,CC1的中点，求证：(1)MN//B1D1;⑵AC/砰面EB1D1;(3)平面EB1D//平面BDG.11证明：(1)®M、N分别是CD、CB的中点，，MN//BD又®BB1//DDJ四边形BB1D1D是平行四边形.所以BD//B1D1.又MN//BD,从而MN//B1D1(2)(法1)连A1c1,A1cl交391与0点1®四边形A1B1cpi为平行四边形，则O点是A1cl的中点E是AA1的中点，，EO是Aaa1cl的中位线，EO//AC1.AC1a面EB1D1,EOu面EB1D1,所以AC1//面EB1D1(法2)作BB1中点为H点，连接AH、C1H,E、H点为AA1、BB1中点，所以EH//C1D1,则四边形EHC1D1是平行四边形，所以ED1//HC1又因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AH

0AHcHC1=H,「.面AHC1//面EB1D1.而AC1u面AHC1,所以AC1//面EB1D1⑶因为EA//B1H,则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AH因为AD//HG,则四边形ADGH是平行四边形，所以DG//AH,所以EB1//DG又0BB1//DDJ四边形BB1D1D是平行四边形.所以BD//B1D1.0BDcDG二G,「•面£3旦//面BDG4、如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD,平面ABCD,AB=AD,ZBAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点求证：(1)直线EF||平面PCD；⑵平面BEU平面PAD.运用中点作平行线例1.已知四棱锥P-ABCD的底面是距形，M、N分别是AD、平面PCD.图12．运用比例作平行线图1例2.四边形ABCD与ABEF是两个全等正方形，且AM二FN,其中MeAC,NeBF，求证：MN〃平面BCE.运用传递性作平行线例3.求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行.运用特殊位置作平行线例4.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,点E、F分别是C1JB1B上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.问当点M在何位置时MB〃平面AEF?A1FB图A1FB图52.(2012•山东)如图，几何体E-ABCD是四棱锥，^ABD为正三角形，CB=CD,EC1BD.2.(I)求证