数学20年21年强基计划试题

2021年和2020年高校

强基计划数学试题

（北大，清华，复旦，交大，中科大等）

目录

1.2021年北京大学强基计划数学试题....................5

2.2021年清华大学强基计划数学试题....................9

3.2021年复旦大学强基计划数学试题.....................15

4.2021年上海交通大学强基计划数学试题.................17

5.2021年中国科学技术大学强基计划数学试题.............18

6.2021年中国科学技术大学强基计划数学试题（广东）.....20

7.2021年南京大学强基计划数学试题.....................23

8.2020年北京大学强基计划数学试题.....................24

9.2020年清华大学强基计划数学试题.....................30

10.2020年复旦大学强基计划数学试题....................40

11.2020年上海交通大学强基计划数学试题................47

12.2020年中国科学技术大学创新班数学试题..............52

13.2020年武汉大学强基计划数学试题....................54

2

强基计划简介

一、强基计划

2020年1月，教育部（教学）1号文件指出，自2020年起，在部分高校开

展基础学科招生改革试点（也称强基计划），取代原有的高校自主招生，突出

基础学科的引领作用，重点在数学、物理、化学、生物、历史及哲学等相关专

业招生.强基计划的主要目标是选拔并培养有志于服务国家重大战略需求且综

合素质优秀或基础学科拔尖的人才.

二、36所强基计划试点高校名单

北京大学、中国人民大学、清华大学、北京航空航天大学、北京理工大学、中国

农业大学、北京师范大学、中央民族大学、南开大学、天津大学、大连理工大学、

吉林大学、哈尔滨工业大学、复旦大学、同济大学、上海交通大学、华东师范大

学、南京大学、东南大学、浙江大学、中国科学技术大学、厦门大学、山东大学、

中国海洋大学、武汉大学、华中科技大学、中南大学、中山大学、华南理工大学、

四川大学、重庆大学、电子科技大学、西安交通大学、西北工业大学、兰州大学、

国防科技大学.

三、强基计划重点专业

强基计划重点在数学、物理、化学、生物及历史、哲学、古文字学等相关专业

招生.

3

四、录取方式

高校强基计划以考生综合成绩择优录取，大部分高校校测成绩占综合成绩的15%,

高考成绩占综合成绩的85%.高校强基计划主要考笔试、面试，考试时间集中安

排『2天内进行，考生在高考后得知自己是否入围，并决定是否参加高校校测.

另外，五大学科竞赛银牌及以上的考生可以通过强基计划破格入围生报考，部

分高校会给予破格入围考生校测满分.

五、培养模式

强基计划不仅聚焦拔尖人才的选拔，更注重人才的培养.按照“一校一策”的

原则，高校对通过强基计划录取的学生单独制定培养方案，单独编班，配备一

流的师资和学习条件，实行导师制、小班化等培养模式，探索本-硕-博衔接培

养模式.

六、时间安排

3月底前，高校公布招生简章；

4月，考生网上报名；

6月，考生参加统一高考；

6月25日前，各省（区、市）提供高考成绩；

6月26日前，高校确定参加考核的考生名单；

7月4日前，高校组织考核；

7月5日前，高校根据考生的高考成绩、高校综合考核结果及综合素质评价等

折合成综合成绩，择优录取.

4

2021年北京大学强基计划数学试题

本试卷共20题，部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考.

1.已知。为△A8C的外心，AB.AC与△08C的外接圆交于。、E.若OE=Q4,则

N08C二口

2.方程V+r="5的正整数解(),,/⑷的组数为・

3.若实数a,b,c,d满足以+bc+cd+而=1,则a?+26+3。2+4屋的最小值为.

2021r媪

4.已知y=，则y的个位数字是________.

i=oL7.

5.若平面上有100条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，

则连通区域数量最大值为.

6.已知实数xe[O,l).数列｛x｝满足：若x<1,贝(,若x则

oA〃-12〃M—1w—12

x“=2x,i-l(〃=1,2,…).现知XQ=X2O21，则可能的沏的个数为.

5

7.设为=122…21,若则〃的最小值为.

8.已知a、b、c是二个不全相等的实数且满足〃=ab+c、b=bc+a、

c=ca+b.贝|a+/?+c=_□.

9.如图，AQ为aABC中ZA的平分线.过A作AD的垂线AH,过C作

CE"AD交AH于点E.若BE与4。交于点尸，且AB=6,AC=8,BC=1.贝|

CF=O.

W、、、、

%

10.如果一个十位数尸的各位数字之和为81,则称尸是一个“小猿

数”.则小猿数的个数为__________.

6

11.设%是与g的差的绝对值最小的整数，儿是与病的差的绝对值

最小的整数.记[1]的前〃项和为S的前〃项和为7.贝U2T-5的

n100100

值为________

12.设正整数走2021,且“5-5标+4〃+7是完全平方数.则可能的〃的个

数为.

13.方程r-2孙+3y2-4x+5=0的整数解的组数为.

14.现有7把钥匙和7把锁.用这些钥匙随机开锁，则A，A

这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是.

15.设正整数加，”均不大于2021,旦＜声竺\则这样的数组（，〃，〃）

n+1n

且个数为.

16.有三个给定的经过原点的平面.过原点作第四个平面内使之与给

定的三个平面形成的三个二面角均相等.则这样的。的个数是

7

17.若a,b,c为非负实数，且a?+〃2+。2_帅_历_恒=25,贝|a+〃+c的

最小值为.

18.已知数列｛斯｝满足6=2,%+i—2""・数列他｝满足6=5,"=5瓦.若

正整数n满足">"25，则机的最小值为.

19.若两/2,…，巧为非负整数，则方程两+%2+…+即=两电…巧的解有

________组.

20.已知a,b,ceR+,且(a+b-c)(1+；-口|=3,求(4+〃+,4+工什1］的

最小值.

8

2021年清华大学强基计划数学试题

部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考.

1.甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名

的分数依次为4、3、2、1分.比赛结束甲获得14分第一名，乙获得

13分第二名，则().

A.第三名不超过9分

B.第三名可能获得其中一场比赛的第一名

C.最后一名不超过6分

D.第四名可能一项比赛拿到3分

以定义沙武,则（…（（2*3）*4）…）*21=（）.

3.已知在cosUisin：则（）.

55

A.x4+X3+x2i-①）G-凉）（工-“）（冗-4）

B.x4-x3+x2一x+l=（x—幼（X—〃）G—苏）（x—4）

C.x4-x3-x2=-c3

D./+%3+^2-工-1=（工-0（工-苏）（工-加）（工-册）

9

4.恰有一个实数x使得A3-依-1=0成立，则实数a的取值范围为（）.

A.（-003）B.Q3#C.冲:产

4k，？DU1）1,2b

5.已知区为高斯函数，「川+「川+「'Lx解的组数为（）.

团团

A.30B.40C.50D.60

6.已知胆，〃最大公约数为10!,最小公倍数为50!,数对（见〃）的组数

为（）.

A.29B.215C.221D.218

7.设a为常数，/(0)=1,/(x+y)=/(x)/(a-y)+/(y)/("x),则().

2

A./(«)=2B./(x)=J恒成立

22

c.f(x+y)=2f(x)f(y)D.满足条件的“x)不止一个

10

8.已知四面体。-A8C中，AC=BC=AD=BD=\,则Q-ABC体积的最大

值为（）.

A.嚼B.哈在

D.讴

9.在△4BC中，。为BC的中点，ZC4D=15°,则NABC的最大值为(

).A.120°B.105°C.90°

D.60°

10.已知非负实数a,b,c满足a+8+c=l,则层（〃一4+/伞-'//，.-。）

的最大值为（）.

11.已知A，A。十等分圆周，则在其中取四点构成凸四边形为梯

形个数为（）.

A.60B.45C.40D.50

xJo,#,“X）M,

12.已知/(x)=sinxcosx+sinx+^COSR,设的最大值为

5I2”

最小值为则（).

»232-381

AM=一「M=__

A.8B.'"25D.『

11

13.已知集合。={0,1,2,…,2021},ScU,且S中任意两项相加不是5的

倍数，求S的元素个数最大值.

14.将函数y=-+6x-/-2（尤e［（）,6］）的图象逆时针方向旋转《0口先功，

得到曲线C.若对于每一个旋转角。，曲线C都是一个函数的图像，

则a的最大值为（）.

AarctanlRarctanZn2

15.在平面直角坐标系中，。是坐标

原点，两定点A,8满足08=2,则点集

仍02=可+加8,耳舛,肋£耳所表示的区域的面积是（）

A.2&B.4x/2C.2省D.4夕

16.已知y2=4x,过A（-2,3）做抛物线两条切线，交），轴于8,C两点,

则△4BC外接圆方程为（）.

2(3丫132213

B.(x+1)+(yT)=7

A.。+1)+广广了

(1Y(3¥9(3?217

C.Ix+I+|y-|=D.1Ix+1

乙乙乙2

+(y-i)=

12

17.椭圆,+9=1,4(-2,0),过户(1,0)作直线/交椭圆于M、N,AM、

A7V交x=l于8、C,下面正确的有()

A.网+|尸4定值B.|PB“PC|为定值

C.附+|PC|可能为2D.网.|pc|可能为2

18.如图，四边形AE8C为圆。外接四边形，BC〃DE,BC为直径:若BE=12,

DE=DC=]4,则AE-B£)=1.

19.x,,看,西，与为互不相等的正实数，％,X,-,马,再为其一个排

1234

列，X=max{min{玉，为,},min{因，%}},F=min{maxk；,xj,max何,4}},则

x>y的概率是.

13

20.有〃个质点，每个质点的质量为外，

则质心位置"三丝；对于一杆，长3m,放于”［一1,2］间，且线密度

Lmk

满足住2+x,则质心位于().

A.£B.3C.2D.f

15555

21.有限项等差数列公差为4,第二项起各项的和加首项的平方小于

100,则该数列最多可有项.

14

2021复旦大学强基计划数学试题

1.命题p:“△ABC的内心与外心重合”是命题q:"A45C是正三角形”

的什么条件？

2已知/(x)周期为1,则命题p：'7(x)+/(x+百)=2”是命题q：”/(X)

恒为1”的什么条件？

3.AO是△ABC的角平分线，48=3,AC=8,BC=7,求AD的长.

4.求帛+l+y4+)f的常数项.

Ixyy2J

5.已知(&口18,19/w+n=20212022,则"=匚

15

7.若g(x)="+［小2?+忖-2［,〃x)=iog2x,解不等式.

8.方程18x+4y+9z=2021的正整数解有多少组？

9.确定曲线k+y|=2^(x-3)2+(y+6)?的类型.

10.求由曲绢卜什/，工2+俨口2围成的面积.

11.求极坐标片弼曲线轨迹.

12.若数列｛a｝满足4""2+4"""1-12x4%=0,求lim%

«->+<»n

13.求展开式］三丫注1丫中的常数项.

16

2021上海交大强基计划数学试题

已知△ABC中，tanC=-3tanA,求tan8最大值.

2.求边长为1的正五边形的对角线长.

3.实数a,b>l,满足lg(a+%)=lga+lgb,求lg(a-1)+lg(b-l)的值.

4.2个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，求4个抛物线

最多分平面为几份？

5.求方程卜^^的实根个数.

17

2021年中科大强基计划数学试题

1已知正实数”，二次函数/（x）=数2_彳+1,若任意长度为1的区间上,

存在两点函数值之差的绝对值不小于1,贝卜的最小值为.

2已知正实数孙满足JLi,则必7的最小值为

3.已知正实数a,〃，c,满足a+0+c=l,则层+按+。2+2"c的取值范围为

4.抛物线>=如上有A,B两点，AB=2,则A8中点的轨迹方程为

5.抛掷一个均匀的骰子（各面「6）〃次，记该过程中出现的最大数字为X,

则£（%）=□.

18

6.有边长为1的正△ABC,。在边AB上，E在边AC上，DE//BC,沿DE

折起△相€：,求四棱锥ADEBC体积的最大值.

7.已知[Cn]=(4+2闾”的整数部分，证明：2,,+l|([C„]+l).

8.已知ae无、求2sin4a+3cos46+2COS4受范围

10'2)4sin2a+5cos2)?4cos2a+5sin2p

9./(、)，g(x),〃(、)为实系数多项式，且两两互素,

[f(x)]"+[g(x)]"=[力(叫"，证明：〃=1或2.

19

2021年中国科学技术大学强基计划数学试题(广东)

一、填空题

20201

1•>sin---=□.

求£2021—

2.设抛物线y=/与尤=4y2+]相切，贝!]〃=口

3.写出一个函数人工)=旦使得

f(x-/(y))=/(/(y))+2xf(y)+/(x)-1对于任意的x,ye1R怛成立.

4.设空间区域｛(x,y,x)，+y2+z2m｝存在四个点两两距离都是d,贝|d

的是大值为.

20

5设々个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其

他人中的任何一位，e3.若初始时球彳王甲手中，则第"次传球之后，

叔回到甲手中的概率为.

二、解答题

6求函数/(%)=5+6cosx-3cos2x-4cos3x+Lsin上的取值范围.

42

p-1〃T

7设“，的c是正整数，p是素数，pU5且。整除“三+方2+c"证

明：p整除.

21

8设数列｛册｝满足的=3,且对任意正整数机，”均有

a

a2m+〃=2am+n+2〃?2+4tnn•

求为的通项公式.

9设/(X)是"次实系数多项式，其中心，g(x)=/(x)-r(X).证明：若/(X)

的〃个根都是实数，则g(x)的〃个根也都是实数.

22

2021年南京大学强基计划数学试题及其解析

1.求M=「[S及「[码+…+[-021].

2.已知04〃+A,b+c,c+a<1,求M=加一4+一d+Ji。一4的最值.

23

2020年北京大学强基计划数学试题

共20道选择题，在每题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求,

选对得5分，选错或不选得0分.

1.已知x,y,z,w均为正实数，且满足

xNy之卬和x+y«2（z+vv）,则的最小值等于（）

九y

A.2B.1C.1D.前三个答案都不对

48

2.在（2019x2020）2⑼的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个

的乘积都不是平方数，则最多可选因数的个数为（）.

A.16B.31C.32D.前三个答案都不对

3.已知整数列｛斯｝（«□1）满足m=1,改=4,且对任意有

一1=2"।,则%（）20的个位数字是（）.

A.8B.4C.2D.前三个答案都不对

4.设Q,b,c,d是方程d+2/++4尤+5=0的4个复根，贝!

伫1+"L+izl+Zl的值为（）.

。+2Z?+2c+2d+2

499

A---B.C._D.前三个答案都不对

333

24

5设等边△ABC的边长为1,过点。作以A3为直径的圆的切线，交AB

的延长线于点。，AD>BD,则△8C。的面积为().

A.服一VB.圆③/c.啦一2,口.前三个答案都不对

161616

6设尤，y,z均不为(％+；］兀，其中％为整数，已知sin(y+z-x),

I)

sin(x+z-y),sin(x+y-z)成等差数列，则依然成等差数列的是().

A.sinx,siny,sinzB.cosx,cosy,cosz

C.tanx,tany,tanzD.前三个答案都不对

7.方程19x+93y=4xy的整数解个数为().

A.4B.8C.16D.前三个答案都不对

2

8.从圆炉+尸=4上的点向椭圆C：5一夕=1引切线，两个切点间的

线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为

().

A--B.2C.fD.前三个答案都不对

234

25

9.使得5x+12向乙z（x+y）对所有正实数x,y都成立的实数a的最小

值为（）.

A.8B.9C.10D.前三个答案都不对

10.设P为单位立方体ABCO-A4GR

的面对角线上的一点，则%1+PG的最小值为（）.

A.g+0B.,2+皿C.2-史D.前三个答案都不对

2

n.设数列｛《九」满足的=1,。2=9,且对任意rd有an+2-4a”+i-3an-20,

其前〃项和为S“，则S”的最大值等于（）.

A.28B.35C.47D.前三个答案都不对

12.设直线y=3x+〃z与椭圆上+21=1交于A,8两点，。坐标原点,

2516

则△OAB面积的最大值为（）.

A.8B.10C.12D.前三个答案都不对

26

13.正整数加3称为理想的,若存在正整数1□人□〃-1使得Ci,Ck,CA+,

nnn

构成等差数列，其中承=,/〃［、为组合数,则不超过2020的理想数

k\\n-ky.

个数为（）.

A.40B.41C.42D.前三个答案都不对

14.在AABC中，NA=15O。，D,,D2,…，依次为边8。上的点，

且BD\=Z)]Z)2=D2Dy=­-­=02019°2020=02020。,I又NBAD]—Cf

)

Z£iAD2=qZD2019AD2020=%2O，/02O2OAC=421，则

sinqsing…sin〜的值为()

sinqsinq•••sinq()2()

A.ic-WTD.前三个答案都不对

1.\J1\J4V//U4V/4L

15.函数/（为+23cosacos2分-2日cos分cos2分4sin8的最大

值为（）.

A.虎+6B.2凤小C.6+2小D.前三个答案都不对

27

16.

方程yjx+5-4^+^+JX+2—2S^7T=1的实根个数为（）.

A.1B.2C.3D.前三个答案都不对

17.凸五边形A8CDE的对角线CE分别与对角线8。和AD交于点尸和

G,已知8F:尸。=5:4,AG:G。=1:1,CF:FG:GE=2:2:3,S^CFD和S&ABE

分别为△CFD和△ABE的面积，则S&CFD:S'BE等于(

).A.8：15B.2：3

C.11：23D.前三个答案都不对

18.设2，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式

/(x)=必+px+q的个数为().

A.99B.133C.150D.前三个答案都不对

19.满足对任意《□有％旬=2"-3%且严格递增的数列{%}“的个数为

().

A.0B.1C.无穷个D.前三个答案都不对

28

20.设函数〃x,y,z）=尤+一+%,其中x,y,z均为正实数,

%+yy+zz+x

则有（）.

A./既有最大值也有最小值B./有最大值但无最小值

C./有最小值但无最大值D.前三个答案都不对

29

2020年清华大学强基计划数学试题

共35道选择题，为不定项选择题.

1.若一+p也],则好+肛-V的取值范围是（）.

A.|「一£,孙B.C.|「y,沙|D.卜2,2]

L22JL22J

2.设”，力，c为正实数，若一元二次方程以2+以+°=0有实根，则（）

A.max{/?,(?}□_(a+b+0B.max{a,b,c}EL^(a+匕+c)

29

C.min{a,b,c}』(a+〃+)D.min{a,b,c}H(o+8+c)

43

3.在非等边△ABC中，BC^AC,若。和P分别为AABC的外心和内

心，。在线段8c上，且满足则下列选项正确的是（）.

48,。，。，P四点共圆B.OD//AC

C.OD//ABD.PD//AC

4.已知集合48,C={1,2,3,…,2020},且A=B=C,则有序集合组(A,8,C)

的个数是().

A.22020B.32020C.42020D.52020

30

20

5.已知数列｛&”｝满足⑪=0,|刎|=怛+1|«€]^)则4=£久的值可能

k=l

是().

A.0B.2C.10D.12

22

6.已知点P在椭圆*—+21=1上，A(1,O),

43

5（1,1）,则1PAi+|PB|的最大值是（).

A.4B.4+6C.4+小D.6

7.已知P为双曲线=1上一点(非顶点)，A(-2,0),8(2,0),令

ZPAB=a,NPBA=p,下列表达式为定值的是().

A.tancrtan/?B.tan^tan

22

C.SZ^PABtan(cz+0)D.S^PABcot(a+0)

8.甲、乙、丙三位同学讨论同一道数学竞赛题，甲说：“我做错了

乙说：“甲做对了丙说：“我做错了老师看过他们的答案并

听了他们的上述对话后说：“你们仅有一人做对且仅有一人说谎

了”，则根据以上信息可以推断（）.

A.甲做对了B.乙做对了C.丙做对了D.无法确定谁做对了

31

9.在RtaABC中，ZABC=",AB=,BC=\,PA+PB+PC=0,

23厨厨|S|

则下列说法正确的是（）.

2

A.ZAPB=^LB.ZBPC=1C.PC=2PBD.PA=2PC

33

、(n2)

10.求值：limyarctan-i=().

/r2i

\A=1长)

A三B.现C.D.JK.

7442

11.从。到9这十个数中任取五个数组成一个五位数诙苏（a可以等

于0）,则396P说的概率为（）.

A1BQD

A-396旧3T57TO

12.随机变量X（=1,2,3,…），［（=0,1,2）,满足P（X=。为1,且

y三x(mod3),则E(y)=().

A.1B.1C.乜D.”

7777

32

13.已知向量a,3c满足同口1,忸口1,»25+昨”2m，则下列说

法正确的是（）.

A.同的最大值为4&B.时最大值为26

C.同的最小值为0D.卜|的最小值为2

14.若存在x,yeN*,使得％2+ky与丁+日均为完全平方数，则正整

数人可能取值为（）.

A.2B.4C.5D.6

15.sin|arctan1+arccos3+arcsin〔）=（）.

A.。B.1C.乎D.1

22

16.已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为a侧棱与底面夹

角为△则（）.

A.cosa+tan2住1B.seca+tan2-1

C.cosa+2tan2P=1D.sec«+2tan2/?=-1

33

17.已知函数/(x)=《，+sinx(x4-2,2]),则/(x)的最大值与最小

值的和是().

A.2B.eC.3D.4

18.已知函数“X)的图像如图所示，“X)的图像与直线x=a,

x=r(a<r<c),x轴围成图形的面积为S(r),则下列说法正确的是

().

A.S(t)〈cf(b)B.S'(tC.S'(t)Df(^)D.S(f)n(c)

19.我们称数列｛6｝为“好数列”，若对任意〃eN*存在meN*,使得

%=S.，其中S-fa,则下列说法正确的是().

/=19

A.若4=｛丫=入，则数列｛斯｝为“好数列”

B.若©4(左为常数)，则数列｛如｝为“好数列”

C.若％｝,｛，”｝均为“好数列"，则%=2+c.为等差数列

D.对任意等差数列｛斯｝,存在“好数列”｛仇｝,｛c,,｝,使

%=b,,+c“(〃eN)

34

^__().

20」sin4x+cos4x

A.TiB.y/2nC.2KD.\[5TI

21.在△ABC中，AC=\,BC=V7AB=2,设M为AB中点，现将AABC沿

CM折起，使得四面体8-4CM的体积为更则折起后AB的长度可能

12

为（）

A.1B.&C.73D.2

22.设复数马，马在复平面内对应的点分别为4，z2,。为坐标原点,

若同=1,5£+镇一243=0,则的面积为（）

A.1B.3C.2D.2y

23.使得〃sinl>l+5cosl成立的最小正整数〃等于()

A.3B.4C.5D.6

35

1

24.已知实数x,y,z满足,#一$2_z=],则()

Lz3-LJ^-X-1

[93

A.(x,y,z)有1组B.(x,y,z)有4组

C.x,y,z均为有理数D.X,y,z均为无理数

25.设实数xf…也满足心口0,2,…,21),则的最大值为

()

A.110B.120C.220D.240

26.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，

且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形.若一个格点多边形的内

部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为

()

A.10B.11C.12D.13

36

27.设复数z满足|3z-7i|=3,则z:另z+2的（）

z-1+1

A.最大值为0B.最大值为乙C.最小值为-D,最小值为1

3333

28.设仅为锐角，且cos（a+Q）='in匕_tana的最大值为（）

sin（3

A.坐B.9C.1D.也

29.已知函数/（%）=e*+a（x-l）+〃在区间［1,3］上存在零点，则层+方2的最

小值为（）

P2

A._B.eC.JDe2

22,

30.设A,8分别是x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线

2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（）

A.工B.如C.4s-n.

555口•兀

37

31.已知实数“，〃满足〃+〃+3必=1,设4+〃的所有可能值构成的集合

为M,则（）

A.M为单元素集B.M为有限集，但不是单元素集

C.股为无限集，且有下界D.M为无限集，且无下界

32.已知数列｛如｝的前〃项和s“=（T）"y+：+"-3,且实数f满足

(r-4Z„)(/-a„+i)<0,则f的取值范围是()

A.艮4B.(利C.朋

33.《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》和《西游记》四部书分列在四

层架子的书柜的不同层上.小赵，小钱，小孙，小李分别借阅了四部

书中的一部.现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层

的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》在第四层.则（）

A.《水浒传》一定陈列在第二层B.《西游记》一定陈列在第一层

C.小孙借阅的一定是第三层的书籍D.小李借阅的一定是第四层的

书籍

38

34.设多项式/(x)的各项系数都是非负实数，且

“i)=r(i)=/'⑴=，’⑴=i,则fco的常数项的最小值为()

A.1B.1C.1DL.

2345

35.已知上)=/。+工+乩"+」，则()

A.〃z)=0存在实数解B.f(z)=o共有20个不同的复数解

C."z)=0复数解的模长均为1D."z)=0存在模长大于1的复数解

39

2020年复旦大学强基计划数学试题

1.设抛物线V=2px,过焦点F作直线，交抛物线于A,8两点，满

足AE=3FB.过点A作抛物线准线的垂线，垂足记为点A，准线交

x轴于点C,若SCFA、=12出，贝!!;?=_0.

2.已知实数x,y,满足石+2孙=1,求小+尸的最小值.

3.已知/（x）=asin（27ix）+0cos（27ix）+csin（47ix）+4cos（47u）,若

1+x]+/（x）=/（2x）,则在a,b,c,d中能确定的参数是.

2）

4.若三次方程x3+ax2+4x+5=0有一个根是纯虚数，则

a=L.

5.在（|£]+1+，1+丫°1]的展开式中，常数项为.

I尤y）

6.,tol1，4+23]+…+1=•

40

7.点（4,5）绕点（1,1）按顺时针方向旋转60度，所得的点的坐标为

8.方程5pcos®4Q3mos2砍D）所表不的曲线形状是.

9.设％,若।3,coshr+31hd-2a=0,贝i」cos（x+2y）=_.

IE1[4y'+sinyco「sy+a=0,

10.实数x,y满足/+y2=l,若*+2y-a+4+6-x-2y典值与x,y无

关，则a的取值范围是.

11.在△ABC中，cosZBAC=l,若。为△ABC的内心，且满足

3

AO=xAB+yAC,则x+y的最大值为.

12.已知直线小：y=xcosa和〃：3x+y=c,则有（）.

A.与〃可能重合

B.相与〃不可能垂直

C.直线机上存在一点尸，使得直线〃以P为中心旋转后与加重合

D.以上都不对cta32

41

13.如图15-2所示，抛物线3>2=工的焦点为尸，A在抛物线上，A点

处的切线与AF夹角为30度，则A点横坐标为

14.已知P为直线;[6=。上一点，且产到“2,5）和3（4,3）的距离

相同，则P点坐标为.

15.已知x,ye{l,2,3,4,5,6,7,8,9}且龙，连接原点。和A（x,y）,B（y,x）

两点,则Z.AOB=2arctan1的概率为.

3

，八JT7+3/2.3

16.arcsin-------+arcsin_=.

84

17.已知三棱锥P-ABC的体积为10.5,且AB=6,AC=BC=4,

AP=BP=10,贝UCP的长度为.

42

18.在aABC中，加=9,BC=6,C4=7,则BC边上中线的长

19.若=则/（/（x））的图象大致为

20.定义人含，令M®N={尤山（x）人（x）=-1},已知

^，8={xk（x+3）（x-3）＞0},贝|A（8）B=.

21.方程3x+4y+12z=2020的非负整数解的组数为

22.已知加，Z,且OD/Cll,若满足22（）2。+32）2|=12m+〃，则n_

23.若四边形A8CO是凸四边形，则N8AC=N8O。是ND4C=NO8。的

______条件.

43

24.设函数/（x）=3，-3-，的反函数为旷=尸（x）,则g（x）=尸（尤-1）+1在

[-3,5]上的最大值和最小值的和为.

25.若左＞4,直线米-2y-22+8=0与

2x+/y_4/_4=0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是.

26.已知