数学建模2011年题网评卷子

赛（ 填写八 题 小麦发育后期茎抗倒伏性的数学模要

倒伏指

建立了各小麦抗倒伏指数模型，并分析了各时期各类 对于问题二，通过对材 出的2011年数据整理，筛选出137个样本，利用SPSS软件对抗对于国信1号和9998号小麦的易倒伏现象，利用费歇判别

究小麦茎秆在自重和风荷

下应力

本规律

传算法，对小麦抗倒伏系数和相关性状求最立小麦抗倒伏的建立变截面变刚度杆模型。对于问题五利用问题四中求得的力学模型，利用相关软件 007年三种小麦茎秆受力全过

标，为

选种、播种以及产育种提供理论指导，为加速良种-2小麦发育后期茎抗倒伏性的数学:2007年小麦的机械强度拟合出合理的抗弯强度对、年机械强度进行预测。对于问题二，通过对材料给出的2011年数据整理，筛选出137个样本，利用SPSS19998号小麦的易倒伏现象，利用费歇判别2007年三种小麦茎：小麦；茎秆；抗倒伏；遗传算法；聚类分析；判别分析；有限元第1 问题提 第2 模型基本假 第3 符号说 第4 问题分 第5 模型的建立与求 模型一：小麦茎秆抗倒伏指数模 作物模型概 茎秆抗倒伏指数的定量分 基于抗倒伏指数的模 小麦抗弯承载力计算与数据处 机械强度不确定年份的预 茎秆重心高度计 模型二：研究抗倒伏指数与茎秆外部形态特征的关系 抗倒伏指数与茎秆性状的相关性指标分 小麦茎秆性状各个因间的相关性分 针对2008年国信1号与智9998品种易倒伏的原因分 模型三：小麦不同穗重情况下理想株型结构的探 理想株型的聚类判别模 理想植株的遗传算法模 模型四：小麦在自重及风载作用下抗倒伏模型的建 小麦弹性模量与弹性值得处 小麦抗倒伏力学分析问题综 小麦抗倒伏模型的强度分 小麦抗倒伏模型的稳定分 小麦变截面杆抗倒伏稳定模 稳定模型结果分 模型五：应用抗倒伏力学模型对2007年蜡熟期数据的分 抗倒伏力学模型分析总 蜡熟期数据分析前处 有限元分析对小麦应力进行校 模型六：模型结果分析及育种建 第6 模型的评价及改 第7 模型扩 第8 参考文 图图 各个时期小麦抗倒伏指数统计 图 小麦秸秆抗折力三点加载示意 图 小麦茎秆横截面示意 图 多段秸秆简化模 图 聚类分析生成的聚类 图 遗传算法的基本过 图 相关文献中提供弹性模量测定值（其中横坐标表示节间从基部递增 图 实验性测定值（其中横坐标表示节间从基部递增 图 小麦抗倒伏力学模型建模思 图 图 稳定模型1所对应的力学示意 图 稳定模型2所对应的力学示意 图 Beam188单元示意 图 图 图 图 图 图 表表 2007年测量数据抗倒伏指数计 表 各个时期小麦抗倒伏指数统计结 表 2007年小麦各段秸秆的截面地抗拒及最大正应 表 矮抗58品种小麦最大正应力平均值和方差分 表 新麦208品种小麦最大正应力平均值和方差分 表 周麦18品种小麦最大正应力平均值和方差分 表 三种小麦抗弯强度拟合结果汇 表 2011年小麦抗倒伏指数与影响因间的相关关 表 2011年小麦各节间长度因素相关性系数分 表 2011年小麦茎秆的特性与各节间的参数相关性系数分 表 聚类树不连续性系数I的特征 表 表 表 2007年实验测得蜡熟期各基部弹性 表 表 表 第1章问题提倒伏；四是由于自然性天气，如暴风雨等原因造成的倒伏。第2章模型基本假第3章符号说CIDteWEM第iQ fwMM第4章问题分针对前面的分析和总结，在小麦的抗倒伏问题和诸多的因素有关，而这些因间些主要因素迅速计算主要的影响因素。因为考虑到本问题是一个非线性决策类问题，建立一个线性目标是不科学的也是不现实的，但我们仍尝试着采用一种近似的线性判别函数作为学习机械法（LLM）的基础，建立增广矩阵，将样本分为两类，各在判别函数的p线性判别函数SW*Xwjx式中，x为任一增广数据向量，S是一个标量，故又可表示为SW*Xw*x这里为两矢量夹角，由此可得，当样本S0，就意味着样本矢量与权矢量的夹 SW*Xw*x^

(1w'wc (2 ^s'w'*xw*xcx*^c s'w* c

(3(4ww20个样本的第一个样本，计算S值，并用正确的答案进行验证，如果判别正确，保留w，接第5章模型的建立与作物模型作物模型是农业模型的重要组成部分，是农业信息化、数字农业的内容之一。量进行模拟和预测，既包括动态过程的描述，也包括经验的表达；狭义的作物模型理特征在不同环境下的变化进行育种及帮助选择理想株型。作物栽培模拟优化决策系统、作物计算机模拟、虚拟植物、农业专家系统的开发与应用都以农业模型为。由此可1

(5MIz为该截面对中心轴的惯性矩。同时茎秆弯曲的横截面转角即为茎秆偏离位置的角度，记为6成立kI

(6采用同一高度和相同对称位置的偏离角度，所以l和也相同，那么外力作用下的最终承载力就取决于它们的Iz。根据假设将小麦茎秆看成是中空的圆管截面模型，有Iz

D2D2t2 (7其中，D为圆管截面的外直径，t为圆管截面的厚度，至此可以看出，截面的最大根据以上的分析可以得出以下结论LIBMFBMLFW

(8(9LIBMF为使基部被测节段弯折时所施加的题目中给定的测定项目中从开花期开始测定茎秆机械强度，每8~10天测定110个单穗进行处理，测定茎秆抗折力，通过拉力法，去基部第二茎械强度。之所以去第二茎节间进试，是因为之前的研究表明，当小麦处于临界状态下，基本上都是第二节间发生弯曲倒伏。小麦茎秆弯曲倒伏的临界应力按(10)MWMmaxPelcos

(10(11

(12其中：Mmax为所受的最大弯矩，W为截面抵P（与地面的夹根据题目附件一提供的测量数据，2007年测量数据给出了茎秆重心位置（含穗，结果见表1。1200758抗倒208数计茎重机械强鲜茎重机械强单穗鲜重蜡熟蜡熟乳熟灌浆乳熟开花灌浆18抗倒茎重机械强单穗鲜重蜡熟乳熟开花灌浆开花时期的抗倒伏指数规律，各个时期抗倒伏指数去测量数据的平均值，具体列于表2。241 2 222抗弯强度 ：材料弯曲至破坏时所能承受的最大弯曲正应力2所示结构中最大弯矩M可按13M4根据材料力学弯曲应力理论，此结构的最大弯曲正应力可按14W

(13(14DtD

3 管截面的厚度（也即秸秆的壁厚3段秸秆的截面抵抗矩以最大正应力，汇总于表3。32007时基部节数的抗弯截面模强承载最大正W(mmW(mmW(mmW(mm蜡熟乳熟灌浆开花458表5、表6所示。5208618通过以上分析可以看出， 2008年，2011年的70.370.310.373 现，2007年的测量数据中给出了茎秆重心高度，但、年的数据均没有给出茎依次为第ii1,2,3,4,5节，每段的长度，外直径及壁厚依次为hi,di,tii1,2,3,4,5，根据材料力学的知识，易求得茎秆重心的高度Ho满足iiiiiiiiiii1 (15oH 5oi1

2 2 4 在此不再一一列出，具体见附件中EXCEL中数据。SPSS统计软件，对样本因素变量的相关性进20072008年中缺乏穗长、穗重、鲜重等变量数据，不能进行此问有些变量间关系的分析，考虑到及分析数据的完备性和原始性，仅以2011年各个不同麦种数据进2

HMhcmHh M

(16

MHchMHchcHH2共有137个完整样本数据，包括2011年所有小麦种类。对137个样本数据经SPSS2011年小麦抗倒伏指数与最易引起倒伏的因素间的相关关系，同时也列出了机械强度和各因间的关系，汇总于表8。表82011年小麦抗倒伏指数与影响因间的相关关0.347，为了进一步确定穗重是否是影响倒伏的重要因素，0.327，虽然这两个相关小麦茎秆性状各个因间的相关性分小麦整体形状、大小、重量等的描述。利用SPSS软件对于2011年各因素进行相关性分析，各节数均表示穗下节数，各节间的相关性系数汇总于表9。92011------------------------------------------102011---------------2008年国1号与9998对于此模型，确定有k个自变量（元素）^t01x12x2k (k (18S总U (19U:S总U(x1,x2,,x7)Qe(x1,x2,,x7 (20xi(ik1,k2,kp，回归平方和从U(x1x2x7U(x1,x2,x7xi，而残差平方和从Qe(x1,x2,x7减少到Qe(x1,x2x7xi)U(x1,x2,,x7,xi)U(x1,x2,,x7)Qe(x1,x2,,x7Qe(x1,x2,,x7,xi)Vi(x1,x2,,x7

(21很自然地将这个量Vi(x1x2x7xi的影响是否显著，因而)maxF1i1i

(22个去掉自变量xi(i1,2,,7)相应的平方和分解是S总U(x1,x2,,xi1,xi1,,x7)Qe(x1,x2,,xi1,xi1,,x7 (23相应xi贡献是Vi(x1,x2,,x7)U(x1,x2,,x7,xi)U(x1,x2,,xi1,xi1,,x7Qe(x1,x2,,x7)Qe(x1,x2,,xi1,xi1,,x7

(24F2iVi(x1,x2,,x7)[Qe(x1,x2,,xi1,xi1,,x7)(n7 (25minF2i

(26抗倒伏指数252.687鲜重623.704穗重631.823穗下四节下5.2.15.2.2中相关性的分析，将和抗倒伏指数关联较大的因素提出来，作为判别其他22。SPSS中，作为带判样品，用判别分析的思想，选用费歇判别法进行判别，。统图，得出影响小麦抗倒伏的关键因素。在对抗倒伏指标进行标准化之前，应先对数据进行对数变换。设有i个试验测量数xxijxj(i1,2,,n;j (27SSj样本的标准差S的计算S (28第jxjmaxxjmin之差的比值。这样变化后的变量，也叫“极 xijxjxjxijxjj

max

(i1,2,,n;j (29类统计量，其计算为

imrm

(30 1cxikx k

i中，以系统聚类法应用最广。其基本作法是：先将n个检验结果看成各自成一类，并定具体的方法很多，具体的思路不在一一说明，我们首先利用进行两种聚用cophenetic函数评价聚类信息；在本模型中，我们考虑用分布聚类的方法，利用提供的函数，直接进行得到聚类树的相对连续性结果列于表11。11I0000.2.00.3.00 12124567672453co 3

222211从聚类树及表中可以很明显看出前面5个因素与后两个因素对抗倒伏指标为两大类，2011年的数据 x1：穗下一节长度x2：穗下一二间节x3：穗下二节粗x4：穗下二三节x9x10x11：茎秆高。值高的解，这样进化N代后就很有可能会进化出适应度函数值很高的 变异操作，通过寻求群体进化中的最优，得到所求问题的最优解。遗传算法的这些性质，已们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、自适应控制和本遗传算法的运算过程如图6。61

Arandp

n1 2xxxxy22 Di,j

Di,

i

lfrln=len+

l 3

1 fitness(i,1)=(1-((len(i,1)-minlen)/(maxlen-minlen+0.0001))).^m，其中maxlen，minlen为交叉。交叉操作用于组合出新的，再借空间中进行有效的搜索，同时降机选取两个交叉点。2）将两交叉点中间的段互换。3）将互换的段以外的部分中与互换后段中元素的用另一父代的相应位置代替，直到没有。变异。变异操作通过随机改变中某些的某些而产生新，有（SAP序操作）和INS（插入操作）更有利于算法的大范围搜索。对于一个120路径的的程序见附录。x91.19g，株高为68.5cm，壁厚为0.63cm，粗为3.4cm。当x92.06g，株高为64.8cm，壁厚为0.677cm，粗为3.45cm，x92.56g，株高为69.97cm，壁厚为0.694cmx92.75g，株高为71.2cm，壁厚为0.68cmx92.29g，株高为68.8cmcm，壁厚为0.656cm，间节比为1.618，即穗下上节除以穗下下节为1.618的时候，小麦比例更协调，更利于小麦整体理想。随即取10个单穗，带回迅速削去叶鞘，按节归类，每个节间放在一起。在此模年实验测得腊熟期各节基部弹性值如表14所示：142007根据上述表中数值统计结合文献[7]1515腊熟期弹性模量4898文文性模量测晋农北农 0 7相关文献中提供弹性模量测定值（其中横坐标表示节间从基部递增101234567新周图8实验性测定值（其中横坐标表示节间从基部递增（>50%EikiSi (31Ei为第iSi为第i1616kbE13323.130S1E25354.523S2

(32(33E36308.82S3 (34E4761526S4 (35E761.526S53 (36E761.526S6 (373 k y 3y 3(1y'2

(1y'2

(38Iy' (39EIdyM(x)dxC

(40即dyy'

(41y1(M(x)dx)dxCx (42EI M(x)qw(H2

(43

dy

(H (44y00,y'00得挠曲线方程y(x)

(x44Hx36H2x2 (45

y(H)

(46FxFxyHh10h风力作用下茎秆的受力模型如图。风力及茎秆重力产生的倒伏力矩Mq qHM Fw qy(x)dx

(47假设qm沿全长均匀分q qH qM F wm(x44Hx36H2x2 (48 根据文献[4]，土壤产生的抗倒伏力矩M* (49根据文献[6]，土壤抗倒伏力矩M*sM*k (50s若倒伏力矩M小于抗倒伏力矩M*若MWzmax发生茎倒，若MWzmax则不发生茎倒。max为茎秆极限应力，可Fp，小麦植株土上部的高度为l，小麦主根在土中的深度为h，qPLqPL111EIy''MFp (51令2Fpy''2y (52

yAsinxBcosx (53tan(l)

ll

(54因为

，取0ltan(l)

(55(39)即为考虑根系与土壤锚固强度时，临界荷载所满足的条件，此式涉及到根为茎秆单位长度的自重茎秆自重Qql。小麦秸秆的简化模型如图12所示。PxyLPxyLh122h不稳定平衡，即进入倒伏的临界平衡状态（图12。茎秆在临界力qcr，Pcr作用下，在微弯状态下处于不稳定平衡，其挠曲线近似方程f3Lx2x3

(56U U

(57 式中，E为茎秆的弹性模量，I为截面惯性矩，I

D2D2t2，D和t设秸秆任意截面x处的向下位移量为xx

x1f'2 924L2x3Lx41x5 (58 6 0 8L Pcr作用点处的轴向下移量为1h1f'2 (59 6 0 8L L qxdx3q (60L0 16

99 6 L2h3

h5 (6118L 1L

3EI

92

U0qcrxdxPcr1

6 L2h3Lh5h5 (62由势能驻值原理0

8L q6Pcr4L2h3Lh41h5 (63 L6 对式4864L2h3Lh41h5P8E (6466L

8EI

(65令QqLcSSb6a34a1a2 ah称为穗高系数，带入式65L

E2

(66对自上而下，设杆长、弹性模量、惯性矩分别为li、Ei、Ii，各机种荷载均作用在P0Pi为第i节点以上部分的压力。EIy''Py设k ，上式解用ky和y'表示，

(67ky

coskxy'sinkx (680y'ky0sinkxy'cos0 带入式PM MM

coskxy'sin

(69y'

M

00sinkxy'cos00

(70 vn1,nsin cos (71 n101

n

cos

Mn1,n

(72 i01是线刚度的比值；iEI是线刚度；iEmIm En1,nIn1,n P0P1Pn1 是n，n1段n端的弯矩 是n1，n段n

10cos

0

sin

(73

；ill

cosvM1212sini iM120v01i01sin i01； E12I12；

(74

E 12cosvM4545sinv45 (75i i

将各段的和M值得表达式逐次带入上式，得到0的表达式，写成00，由此是一个关于v01的函数，对上式求解得到满足上式的v01值

(76

l2v2EIPcr010101l2

(77、当kr为cosl0Fp (78 可以看出，临界荷载大