概率论大数定律及其应用

概率论大数定律及其应用率论基础结课论文摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那题有哪些实际意义呢这就是我们在下面将要了解到率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.从概率的事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的.深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是大数定律要研究的问题.布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现雪夫大数定律，伯努利大数定律就是切比雪夫大独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。largenumbers是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数“定律，而是了的定理。有些无规律可循，但不少是有”数学家伯努利在大量重复出现的条件下，往往律就是大数定律。确切的说大数定律是以确切的数即频率的稳定性和平均结果的稳定性，并讨论了它理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无举例说明：例如，在重复投掷一枚硬币的中，观测投掷了n次硬币中出现正面的nn能不同，但当同的重量数值，但它们的一般来说将随称量次数的造和发展了许多数学的方法，以他的名字)，法国数学家。德莫佛对数学最着名的贡献是德莫佛公式(deMoivreFormula)和德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，以及他对正态分布和概率理论的研究。机主义者(gambler)高度赞扬。德莫佛是和概率理论的先驱之一；他还最早发现了。的增加，事件发生的频率趋于一个稳率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可大数定律、强大数定律和均方大数定律。limPnncnn，记作n)wnnn定义2设有随机变量n和一列随机变量{n}，nn ，若n1,2n)wnnnan1,2n)w(ni))) i定义4设有随机变量n和随机变量序列{n}的r阶原点矩Enr、Enrnn(n=1,2……)存在，其中r>0，若limEn-nr=0则称nr次平均收敛到n。记作n)wnnnnnninin)wlnikkJniknik上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim从概率号P()中移出来，弱大数定律描述的是一n)w列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。nppVc0，有定理3(切比雪夫大数定律)设,,是一列两两不相关的随机变量,又i 在上述的定理中，因为用到切比雪夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个将该定律应用于，就会有如下结论：随着的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。n该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现in)w(ni=1i) ii=1i=1n)wnii=1i=1收敛于.nn12n泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随n着的无限增大，在n次独立试验中，事件A的频率趋于稳定在各次试验中事出现概率的算术平均值附近。则有一些应用之一，而它与其他数学理论也有密不，是大量随机现象的平均结果稳定于数定律是利用极限才得出的，同时利用大数定律可以来极限方法之一，但也有它独特的简洁和巧妙。就以大数例子，用它来对我们要求的重积分和极限相关的问题进随重积分出现的类型在高数中是常见的，在利用大数定设(1){f}是可测集E上的可测函数列；n(2)f(x)共F(x)a.e于E(n=1，2，…..，)且F(x)在E上可积分(称n{f}为F(x)所控制，而F(x)叫控制函数)；n(3)f(x)亭f(x)；n则f(x)在E上可积分且limjf(x)dx=jf(x)dx；nEnE0012n1nn12n12n又n2即nkkkk12n12n根据勒贝格控制收敛定理可知：12n业1nn业业12nA:与互素；1中的重积分和极限收敛问题有它简洁的一1、大数定律在级数上的应用大数定律在求解无穷级数上也有很大的作用，它为一些定理和固定公式的理论证明提供另一种有趣而且也有用的办法。下面我们就引用一个很着名的问题来展现大数定律在级数中的应用：伯努利是一位伟大而且着名的数学家，但是他也被一个在现在已经解决的问题难住了：一个求级数和的问题。1111求自然数倒数平方的级数和：1++++......+.....。223242n211112223242n2611112223242n262A:a与b有公因子3；3qqi有因子q，那么a必定是q的倍数，那也可知P(a是q的倍数)=1。q同理也有P(b是q的倍数)=1，那么P(a、b有公因子q)=1。由对立事件知道qq2qq21212qq21212xw1"2n2nn nn2nininn1n2n2于是就有P(M)=1=6。21xw1"2n2n=1因此在如此多的自然223242n262、多项式逼近连续函数的构思,证明清晰明了。作者在文献[6]中利用非齐次马氏链强大数定律构造了一类奇异单调函数,而非借助于传统的Cantor展式。尤其多项式逼近连续函数中也容易注意到近似多项式富有意义的构造。下面类似的方法可用来较易地构造一些熟悉的分析结果。Bx12么x12122122nB(x)=Ef(1)nnnnnnnnnnnnnnnn=f(m)f(x)Cmxm(1x)nm+f(m)f(x)Cmxm(1x)nmnnnnmxmxnnnnPnxPnx，n24k22n只见是相互渗透的，大数定律在数学理论中的应用也不仅等数学的问题上也有很好的催化作用，大数定律在信息论信息序列的渐近等分性质就是一个体现。下面主要看大数保险动机的产生，而大数定律就是这大厦最重要的基石之众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投Z，该企业只能投入的资金ZZ单位。1假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为f(Z)，显然有f(Z)f(ZK)，1，也是保险业产生的基继续某项生产活动，在这里看来，风险的发iiXX取值0Zi11的数学期望为E(X)=ZP。i11n)w(ni=1i1)n)w(ni=1i1)立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定n1t22"1t22"2nkkn11D=xn(f(Z)-f(Z-Z))。ii1iD=xn(f(Z)-f(Z-PZ))。2ii111综上所述，企业参加社会保险的动机便是在于参加社保比自保更加的有利，利润的驱使，这也是企业参加保险的重要动机，因此保险业这个行业以存在和发展，也发展了众多的保险公司。保险公司同样也需要评估是否可保的问题，上面的叙述可以得知，可保的条件1、风险事故造成的损失应当是可以估计的。2、有大量独立的同质风险单位存在，即是各风险单位遭遇风险事故造成损失的概率和损失规模大致相近，同时各风险单位要相互独立，相互的发生不会产生影响。这些都是大数定律的基本要求。大数定律是保险业经营的一个重要数理基础，大数定律的原作，可以将个别风险单位遭遇损失的不确定性，转化为风险单位集合的损失的确定性。由于与损失金额的预测具有相关性，大数定律的运用直接关系到补偿或给付的实现程度与保险经营的稳定性。下面分成几个方面来阐述大数定律在保险业中的一些应用。定律为例，该极限定理运用到保险行业，相当于有n个投保人或被保险人，同时投保了n个相互独立的保险标的，用表示每个标的实际发生损失的i大小。其中，E()为理论上每个投保人应缴纳的纯保费，1n为平均每个被保险人in