人教A版高中数学选修2-3全册同步课时练习

人教A版高中数学选修2-3全册同步课时练习

1.1计数原理

第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分层设计助学助记认知更深刻

________________填一填________________

一、分类加法计数原理

1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方

法，在第2类方案中有〃种不同的方法，那么完成这件事共有％=以土小种不同的方法.

2.分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有如

种不同的方法，在第2类方案中有他种不同的方法，……在第”类方案中有恤种不同的方

法，那么完成这件事共有N=吗+"2+…+，％种不同的方法.

二'分步乘法计数原理

1.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有，〃种不同的方法，做第

2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.

2.分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成"个步骤，做第I步有叫种不同的

方法，做第2步有晚种不同的方法，……做第〃步有，斯种不同的方法，那么完成这件事共

有年=,边乂加2乂…X”,种不同的方法.

三、分率加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

1.分类加法计数原理针对的是“今堡”问题，其中各种方法相互独立,用其中任何一

种方法都可以做完这件事.

2.分步乘法计数原理针对的是“幺龙”问题，各个步骤中的方法相互依存,只有各个

步骤都完成才算做完这件事.

________________判一判________________

判断（正确的打“J”，错误的打“X”）

1.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（X）

2.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（J）

3.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.（J）

4.在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成

这件事.（X）

________________想一想________________

1.两个计数原理主要解决什么问题？

提示：两个计数原理主要解决完成一件事情的方法数问题.

2.在实际问题中如何判断到底是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理？

提示：关键在于看这种方法是能完成这件事还是完成这件事的一步，能独立完成这件事

用分类加法计数原理，只能完成一步用分步乘法计数原理.

3.从甲地到乙地有3班汽车，两班火车，则从甲地到乙地有多少种不同方法？

提示：从甲地到乙地，可以选择乘坐汽车和火车两类办法，应用分类加法计数原理，汽

车有3种，火车有2种，共有3+2=5种方法.

4.从甲地到乙地先乘火车，后乘汽车，火车有2趟，汽车有3班，从甲到乙有多少种

到达方法？

提示：完成从甲地到乙地这件事，分两步，坐火车再坐汽车，分步完成，应用分步乘法

计数原理，共有2X3=6种方法.

思考感悟：

________________练一练________________

1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有7位同学只会用综合法证明，有

5位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为.

解析：由分类加法计数原理可得，有7+5=12种不同的选法.

答案：12

2.一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同

的选派方法共有种.

解析：任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：

第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；

第二类，从女同学中选取1名参加学科竞争，有5种不同的选法.

由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3+5=8（种）.

答案：8

3.在平面直角坐标系内，若点P（x,y）的横、纵坐标均在｛0,1,2,3｝内取值，则不同的点

P有个.

解析：确定点P的坐标分两步，即分布确定点尸的横坐标与纵坐标.

第一步，确定横坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，有4种方法；

第二步，确定纵坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法.

根据分步乘法计数原理，所有不同的点尸的个数为4X4=16.

答案：16

4.人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥数（首

位不能是零）共有个.

解析：第一步，确定千位，除去。和6,有8种不同的选法；第二步，确定百位，除去

6和千位数字外，有8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，

有7种不同的选法.故共有8X8X7=448个不同的“吉祥数”.

答案：448

二测

知识点一分类加法计数原理

1.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方

法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）

A.8B.15

C.16D.30

解析：运用分类加法计数原理可得，不同选法的种数是5+3=8.

答案：A

2.在一宝宝面前摆着4件学习用品，3件生活用品，4件娱乐用品，若他只抓其中的一

件物品，则他抓的结果有种.

解析：抓物品的不同结果分三类，由分类加法计数原理，得共有4+3+4=11（种）.

答案：11

知识点二分步乘法计数原理

3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一

套，那么不同的配法种数为（）

A.7B.12

C.64D.81

解析：要完成配套需分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选

法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4X3=12（种）不同

的配法.

答案：B

4.某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双

打队，不同的组队总数有（）

A.11种B.30种

C.56种D.6$种

解析：先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有6X5=30种不同的组队方

法.故选B项.

答案：B

知识点三两个原理的综合应用

5.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.若要选出不同年级

的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？

解析：分三类：（1）选出的是高一、高二学生，有5X6=30（种）选法；（2）选出的是高一、

高三学生，有5X4=20（种）选法；（3）选出的是高二、高三学生，有6X4=24（种）选法.由分

类加法计数原理，可得共有N=30+20+24=74（种）不同的选法.

6.现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10

人，他们自愿组成数学课外小组.

（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

解析：（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生

中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生

中选1人，有10种选法.

所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）.

（2）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.

所以，共有不同的选法N=7X8X9X10=5040（种）.

（3）分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7X8种不同的选法；从一、

三班学生中各选1人，有7X9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7义10种不

同的选法；从二、三班学生中各选I人，有8X9种不同的选法；从二、四班学生中各选1

人，有8X10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9X10种不同的选法.

所以，共有不同的选法N=7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（种）.

7.某单位职工义务献血，在体验合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7

人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.

（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？

（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

解析：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；

从A型血的人中选1人有7种不同的选法；

从B型血的人中选1人有9种不同的选法；

从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.

（1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，"任选I人去献血”这件事情都

可以完成，所以用分类加法计数原理，有28+7+9+3=47种不同的选法.

（2）要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去

献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有28X7X9X3=5292种不同的选法.

课时测评难易适中应考更高效

__________基础达标__________

一、选择题

1.一楼到二楼有4个通道，二楼到三楼有2个通道，则从一楼到三楼的不同走法有（）

A.2种B.4种

C.6种D.8种

解析：根据分步乘法计数原理，从一楼到三楼的不同走法有4X2=8（种）.故选D项.

答案：D

2.甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中选一名学生，则（）

A.有29种不同的选法

B.有30种不同的选法

C.有59种不同的选法

D.有29X30种不同的选法

解析：从两个班中选一名学生，可以从甲班中选，也可以从乙班中选,分两类，利用分

类加法计数原理得不同的选法有29+30=59（种）.

答案：C

3.已知x£{1,2,3,4},yd{5,6,7,8},则孙可表示不同值的个数为（)

A.16B.4

C.8D.15

解析：完成孙这件事分两步走，第一步：从集合{1,2,3,4}中选一个数,共有4种选法;

第二步：从集合{5,6,7,8}中选一个数，共有4种选法，共有4X4=16种选法.其中3X8=4X6,

所以.可表示的不同值的个数为15.

答案：D

4.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个

讲座，不同选法的种数是（）

A.56B.65

5X6X5X4X3X2_

C.2D.6X5X4X3X2

解析：每位同学都有5种选择，则6名同学共有56种不同的选法，故选A项.

答案：A

5.已知集合朋={1,-2,3}.N={-4,5,6,—7},从两个集合中各取一个元素作为点

的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是（）

A.18B.16

C.14D.10

解析：分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3X2=6（个）第一、二象限

的点；第二类〃中取纵坐标，N中取横坐标，共有2X4=8（个）第一、二象限的点.综上可

知，共有6+8=14（个）不同的点.

答案：C

6.从集合{1,2,3,…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的

等比数列的个数为（）

A.3B.4

C.6D.8

解析：以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项

的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2X（2

+1+1）=8（个）.

答案：D

7.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有（）

A.24种B.16种

C.12种D.10种

4

13

2

解析：完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1

个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有

3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3+3+3+3=12种不同的行车路线，故选C

项.

答案：C

二、填空题

8.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有种.

解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以3个面中有2个面不相邻的选法有3X4=

12（种）.

答案：12

9.甲有3本不同的书，乙去借阅，并且至少借1本，则不同借法的种数为.（用

数字作答）

解析：由题意知可分为三类：第一类，借一本，共有3种方法；第二类，借两本，共有

3种方法；第三类，借三本，共有1种方法.所以不同借法的种数为3+3+1=7.

答案：7

10.直线方程Ar+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,

B的值，则可表示条不同的直线.

解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当时，有5X4=20条，则共有20

+2=22（条），即所求的不同的直线共有22条.

答案：22

11.星合户="1},Q=[y,],2},其中x,yC{l,2,…，9}且P。，把满足上述条件的

一对有序整数（x,y）作为一个点，这样的点的个数是.

解析:当x=2时，y可取34,5,6,7,8,9,共有7个点.当x=y时，y可取3,4,5,6,7,8,9,

共有7个点.所以这样的点的个数为7+7=14.

答案：14

12.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的

标号与所填的数字均不同的填法有种.

解析：由题意知本题是一个分类计数问题，

第一格填2,则第二格有A；,第三、四格自动对号入座，不用排列；

第一格填3,则第三格有A；,第二、四格自动对号入座，不用排列；

第一格填4,则第四格有A；,第二、三格自动对号入座，不用排列；

根据分类计数原理知共有3A；=9.

答案：9

三、解答题

13.某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信

箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，

再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？

解析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情

形考虑，分两大类：

(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30X29X20

=17400种结果.

(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20X19X30=11400种结果.

因此共有不同结果17400+11400=28800种.

14.用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列｛斯｝.

(1)这个数列共有多少项？

(2)若斯=341,求〃的值.

解析：(1)由题意，知这个数列的项数就是由123,4四个数字组成的可有重复数字的三

位数的个数.

由于每个数位上的数都有4种取法，

由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为4X4X4=64,

即数列｛斯｝共有64项.

(2)比341小的数分为两类：

第一类，百位上的数是1或2,有2X4X4=32个三位数；

第二类，百位上的数是3,十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是123,4

中的任一个，有3X4=12个三位数，

所以比341小的三位数的个数为32+12=44,

因此341是这个数列的第45项，即“=45.

15.某出版社的7名工人中,有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印

刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？

解析：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”“只会印刷"''既会排版又会印

刷”中的一个作为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选

出的人数，可将问题分为三类：

第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2

人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有3X1=3种选法.

第二类：2人中被选出一人，有2种选法.若此人去排版，则再从会排版的3人中选1

人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有2X3X1

=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人

中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理知共有2X3X2=12种选法.再由分类加法计

数原理知共有6+12=18种选法.

第三类：2人全被选出，同理共有16种选法.

所以共有3+18+16=37种选法.

16.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分.一

球队打完15场，积分33分.若不考虑顺序，问该队胜、负、平的情况共有多少种.

解析：总积分的来源分为胜、平、负3类，可以考虑用分类加法计数原理.设该队胜x

场，平y场,则负(15—x—y)场,其中x,yGN,由题意,得3x+y=33,又因为y=33—3x》0,

所以xWll且x+yW15,所以有如下三种情况：

尸x=l。l，,或Ix尸=130,,或1x=9,

尸6.

故该队胜、负、平的情况共有3种.

第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

II)分层设计助学助记认知更深刻

________________填一填________________

1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系

(1)联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方

法种数的问题.

(2)区别：分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立,用其中任何

一种方法都可以做完这件事.分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互

依存,只有各个步骤都完成之后才算做完这件事.

2.应用两个计数原理解决计数问题的标准

(1)分类要做到不重不漏,分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理

求和，得到总数.

(2)分步要做到步骤完整,步与步之间要相互独立,根据分步乘法计数原理，把完成每

一步的方法数相乘得到总数.

________________判一判________________

判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

1.一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共

有不同的选派方法9种.(J)

2.一个科技小组中有4名女同学，5名男同学若从中选任一名女同学和一名男同学参

加学科竞赛，共有不同的选派方法20种.(J)

3.某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗

任务，安排方法共有14对I(V)

4.在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况

共有43种.(X)

5.3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有种.(X)

6.有三只口袋装有小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有

7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有36种不同的取法.(X)

7.由123,4组成没有重复数字的三位数的个数为24.(J)

________________想一想________________

1.有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同

的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？某同学解答如下：

每次升1面旗可组成3种不同的信号；

每次升2面旗可组成3X2=6种不同的信号；

每次升3面旗可组成3X2X1=6种不同的信号，

根据分类加法计数原理知，共有不同信号3+6+6=15利I他解答的对么，问题出在哪

里？

提示：每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同.

每次升I面旗可组成3种不同的信号；

每次升2面旗可组成3X3=9种不同的信号；

每次升3面旗可组成3X3X3=27种不同的信号；

根据分类加法计数原理得，共可组成：3+9+27=39种不同的信号.

审题时要细致，把题意弄清楚.本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起

旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏.

2.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门

学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有34还是43种？

提示：要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠

军产生”.可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分

别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才完成

了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步.

第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况;

第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学

科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；

第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况.

由分步乘法计数原理知，共有4X4X4=43=64种不同的冠军获得情况.

此类问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，关键

是明确要完成的一件事是什么.也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题

时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.

思考感悟：

________________练一练

1.31+a2）Si+/，2）S+，2+。3）完全展开后的项数为（）

A.9B.12

C.18D.24

解析：由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2X2X3=12.

答案：B

2.某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1

名女生，那么不同的选派方案有（）

A.6种B.7种

C.8种D.9种

解析：可按女生人数分类：若选派一名女生，有2X3=6种；若选派2名女生，则有3

种.由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法.

答案：D

3.小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝

卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上（一块空地只能种植一种作物），若小

张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有种.

解析：当第一块地种茄子时，有4义3义2=24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有

4X3X2=24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案.

答案：48

4.如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C,则不同的走法有种.

解析：由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有2义2=4种不同的走法.因

此由分类加法计数原理共有2+4=6种不同走法.

答案：6

二测恋用呈改加点句「川绦更靖港

知识点一选取与分配问题

1.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，

从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？

解析：由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人.则可分三类：

第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法；

第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法；

第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一

人，有2X6=12种方法.

故共有2+6+12=20种选法.

2.有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位

老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()

A.11B.10

C.9D.8

解析：法一：设四个班级分别是A,B,C,D,它们的老师分别是a,b,c,cl,并设a

监考的是8,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a

监考C,。时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法.这样，由

分类加法计数原理知共有3+3+3=9种不同的安排方法.

法二：让a先选，可从8,C,。中选一个，即有3种选法.若选的是8,则6从剩下

的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计

数原理知，共有3X3X1X1=9种不同安排方法.

答案：C

知识点二组数问题

3.从1,3,579这5个数中，每次取出2个不同的数分别记为a,b,共可得到1g。一电6

的不同值的个数是()

A.9B.10

C.18D.20

解析：1g“一lgIgf有多少个不同值，只要看与不同值的个数即可.分两步分别

取出a,b；第1步，从5个数中取出1个数作为a,有5种取法；第2步，从剩下的4个数

中取出1个数作为从有4种取法.根据分步乘法计数原理，共有5X4=20(种)取法.由于

1339

]=$,j=],故Iga—1g方的不同值的个数为20—2=18.

答案：C

4.用0,1,2,3,4五个数字，

(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？

(2)可以排成多少个三位数？

(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0,数字也可以重复，每个位置都有5种排

法，共有5X5X5=53=125种.

(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种

方法，第二、三位可以排0,因此，共有4X5X5=100种.

(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4,因此，可以分两类，一类是末位数字是

0,则有4X3=12种排法；一类是末位数字不是0,则末位有2种排法，即2或4,再排首

位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2X3X3=18种排法.因

而有12+18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

知识点三涂色问题

5.如图，用4种不同的颜色涂图中的矩形A,B,C,D,要求相邻的矩形涂色不同，则

不同的涂法有（）

C

A.72种B.48种

C.24种D.12种

解析：法一：先分两类.一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，8有3种涂法，C有

两种涂法，。有一种涂法，共有4X3X2X1=24（种）涂法；二是用三种颜色，这时A,B,C

的涂法有4X3X2=24（种），。只要不与C同色即可，故。有两种涂法.故不同的涂法共有

24+24X2=72（种）.故选A.

法二：分步先给A涂4种方法，再给B涂3种，再给C涂2种，最后涂。有3种方法，

完成4步，完成涂色共有4X3X2X3=72种，故选A项.

答案：A

6.如图所示，一环形花坛分成A,B,C,£＞四块，现有四种不同的花供选种，要求在

每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（）

A.96B.84

C.60D.48

解析：依次种A,B,C,。4块，当C与A种同一种花时，有4X3X1X3=36种种法；

当C与A所种的花不同时，有4X3X2X2=48种种法.由分类加法计数原理知，不同的种

法种数为36+48=84.

答案：B

知识点四计数原理在几何中的应用

7.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60。的共有（）

A.24对B.30对

C.48对D.60对

解析：如图，在上底面中选囱。，四个侧面中的面对角线都与它成60。，共8对，同样

ACi对应的也有8对，下底面也有16对，共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所

以全部共有48对.

答案：C

8.已知集合〃={-3,-2,-1,0,1,2},a,b^M,P（a,6）表示平面上的点.

（1）尸可表示平面上多少个不同的点？

（2）P可表示平面上多少个第二象限内的点？

⑶P可表示多少个不在直线y—x上的点？

解析：（1）确定一点坐标分两步，先确定横坐标有6种方法，再确定纵坐标有6种方法，

所以共有6X6=36种不同坐标.

（2）确定a有3种，确定人有两种，根据分步计数原理，第二象限内点的个数是3X2=

6.

（3）点P（mb）在直线y=x上的充要条件是。因此。和b必须在集合M中取同一元素，

共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个.结合（1）可得不在直线＞=x上的点共有36—6

=30（个）.

三测|僮时测评难易适中应考更高效

__________基础达标__________

一、选择题

1.由数字0,123,4可组成无重复数字的三位数的个数是（）

A.60B.48

C.24D.10

解析：分3步.第一步：首位数有4种不同的选法；

第二步：十位数字有4种不同的选法；

第三步：个位数字有3种不同的选法.

由分步乘法计数原理知可以组成无重复数字的三位数的个数是4X4X3=48.故选B项.

答案：B

%冬

La-CZH

—I1------0----

2.如图所示，电路中有4个电阻和一个电流表，若没有电流通过电流表，其原因仅因

电阻断路的可能性共有（）

A.9种B.10种

C.11种D.12种

解析：分两类：第1类，品断路时，若R断路，Ri，&有4种可能，若心不断路，则

尺,R至少有一个断路，有3种可能，故&断路时有7种可能.

第2类，凡不断路时，以必断路，此时，&,R3共有4种可能，则共有4+7=11种可

能.故选C项.

答案：C

3.（“1+42+43+“4＞31+匕2＞（。1+。2+。3）展开后共有不同的项数为（）

A.9B.12

C.18D.24

解析：由分步乘法计数原理得共有不同的项数为4X2X3=24.故选D项.

答案：D

4.我们把各位数之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合

数”中首位为2的“六合数”共有（）

A.18个B.15个

C.12个D.9个

解析：依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，

分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3

个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112,共计3+6+3+3=

15个.

答案：B

5.由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“134”）或严格递减（如

“421”）顺序排列的数的个数是（）

A.4B.8

C.16D.24

解析：由题意分析知，严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同

理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为4+4=8.

答案：B

6.五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有

两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有（）

A.60种B.40种

C.20种D.10种

解析：设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣，可能是AB,AC,

AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10种情况，假设A,8两人拿到自己的外衣，则

C,D,E三人不能拿到自己的外衣，所以只有C取£>,。取E,E取C或C取E,。取C,

E取。两种情况.所以根据分步乘法计数原理，应有10X2=20种情况.

答案：C

7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中

甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）

A.280种B.240种

C.180种D.96种

解析：由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有

4种选法.后面三项工作的选法有5X4X3种，因此共有4X5X4X3=240（种），故选B项.

答案：B

二、填空题

8.从集合｛0,1,2,3,5,7,11｝中任取3个不同元素分别作为直线方程Ar+By+C=0中的A,

B,C,所得直线经过坐标原点的有条.

解析：因为过原点的直线常数项为0,所以C=0,从集合中的6个非零元素中任取一

个作为系数A,有6种方法，再从其余的5个元素中任取一个作为系数B,有5种方法，由

分步乘法计数原理得，适合条件的直线共有IX6X5=30（条）.

答案：30

9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人

参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有

种.

解析：分三类：若甲在周一，则乙丙有4X3=12种排法；

若甲在周二，则乙丙有3X2=6种排法；

若甲在周三，则乙丙有2X1=2种排法.

所以不同的安排方法共有12+6+2=20种.

答案：20

10.从2,3,456,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，

则可以组成个不同的对数值.

解析：从8个数中选两个数字，且这两个数字不相同的方法数有8X7=56种，又log24

=log39,log42=log93,Iog23=log4%Iog32=log94重复了4次，要减去4,...共有不同的对

数值56-4=52个.

答案：52

II.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可

连成不同直线的条数是.

解析：设5个点所在直线为/,直线外两点为A,8.解决本题可分三类：

第一类，确定直线的两点都在直线/上时，确定的直线为/,只有这1条直线；

第二类，确定直线的两点中一点在/上，另一点不在/上时，可以分两步完成选这两个

点的任务，第一步从共线的5点中选一个点，有5种选法，第二步，从A、8中选一个点，

有2种选法，故共有5X2=10（条）直线；

第三类，确定直线的两点均不在/上，则只能是A、B两点，故能确定1条直线.

由分类加法计数原理，共可确定1+10+1=12（条）直线.

答案：12

12.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A,8两种作物，每种作物种植一

垄，为有利于作物生长，要求A,B两种作物的间隔不小于6垄，则种植48的不同方法

有种.（用数字作答）

解析：按从左往右把各垄田地依次列为1,2,3,…，10.分两步：

第一步，先选垄,有1,8；1,9；1,10；2,9；2,10；3,10,共6种选法；

第二步，种植A,B两种作物，有2种选法.

因此，由分步乘法计数原理，

不同的选垄种植方法有6X2=12（种）.

答案：12

三、解答题

13.用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个

格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，不同的涂色方法共有多少种（用数字作答）.

解析：不妨将图中的4个格子依次编号为①②③④，当①③同色时，有6X5X1X5=

150种方法；当①③异色时，有6X5X4X4=480种方法.所以共有150+480=630种方法.

14.用0,123,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？

解析：分类末位分别为0,2,4,

末位为0的数字有4X4X3=48

末位为2的数字有3X4X3=36

末位为4的数字有3X4X3=36

由加法原理共有48+36+36=120,...比2000大的四位偶数有120个.

__________能力提升__________

15.已知集合A=｛m，a2,的，a4],集合8=｛囱，岳｝,其中即织i=1,2,3,4,）=1,2）

均为实数.

（1）从集合4到集合B能构成多少个不同的映射？

（2）从集合B到集合A能构成多少个不同的映射？

解析：（1）依据映射的定义知从集合A到集合B的映射是指集合A中的元素在集合B中

都有唯一确定的元素与之对应，因此集合A中的每一个元素〃。=1,2,3,4）与集合B中元素的

对应方法都有2种，所以根据分步乘法计数原理，构成的映射有2X2X2X2=24=

16（个）.

（2）集合B的每一个元素与与集合4中元素的对应方法都有4种.故构成B-A的映射

有4X4=42=16（个）.

16.某人有4种颜色的灯泡（每种颜