初三数学上册期末考点练习复习

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点和圆的位置关系

知识点一点和圆的位置关系

位置关系图形定义性质及判定

点在圆外点在圆的外部d>ro点P在0。的外部.

点在圆上点在圆周上d=r=点P在O。的圆周上.

点在圆内点在圆的内部d<r0点P在。。的内部.

典例1（2018•满城县期中）如图，在△ABC中，NC=90°,AB=4,以C点为圆心，2为半径作。C,则AB

的中点0与。C的位置关系是（）

A.点0在。C外B.点0在。C上C.点0在。C内D.不能确定

【答案】B

【详解】解：连接0C,由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可得：

1

0C=-AB^r,故点0在。C上，

故选B.

【名师点睛】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可直角三角形

斜边上的中线为斜边的一半算出点与圆心的距离d,则d>r•时，点在圆外；当d=i"时，点在圆上；当d〈r时,

点在圆内.

典例2（2016•邯郸市期末）Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,如果以点A为圆心，AC为半径作0A,

那么斜边中点D与。A的位置关系是（）

A.点D在0A外B.点D在。A上C.点D在。A内D.无法确定

【答案】A

【解析】根据勾股定理求得斜边4B=Rm=2k，

则力。=V5,

V5>2,

点在圆外.

故选A.

典例3（2019•雨花台区期末）已知点A在半径为r的。。内，点A与点0的距离为6,则r的取值范围是

（）

A.r<6B.r>6C.r26D.rW6

【答案】B

【详解】•.•点4在半径为r的。。内，

04小于r,

而。4=6,

r>6.

故选:B.

【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已

知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

知识点二三点定圆的方法

1）经过点4的圆：以点A以外的任意一点。为圆心，以。4的长为半径，即可作出过点4的圆，这样的圆有无

数个.

）

2）经过两点4、8的圆：以线段4B中垂线上任意一点。作为圆心,以。4的长为半径，即可作出过点4、B的

圆，这样的圆也有无数个.

3）经过三点时:

情况一：过三点的圆：若这三点4、B、C共线时，过三点的圆不存在；

情况二：若4、B、C三点不共线时，圆心是线段4B与BC的中垂线的交点，而这个交点。是唯一存在的，这

样的圆有唯---个.

三点定圆的画法：

1）连接线段AB,BC。

2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为0,此时0A=0B=0C,于是点0为圆心，以0A为

半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.

典例1（2017•天桥区期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大

小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）

A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块

【答案】B

【详解】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.

【名师点睛】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，

难度一般.

典例2（2019•慈溪市期末）数学课上，老师让学生尺规作图画RtaABC,使其斜边AB=c，一条直角边BC=a.小

明的作法如图所示，你认为这种作法中判断/ACB是直角的依据是（）

B.直径所对的圆周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°的圆周角所对的弦是直径

【答案】B

【解析】由作图痕迹可以看出0为AB的中点，以0为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径

花弧与圆0交于一点C,故NACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断NACB是直角的依据是：直径

所对的圆周角是直角.

故选：B.

【考点】作图一复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理.

知识点三三角形的外接圆

1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做

三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

2）三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无

数个，这些三角形的外心重合.

3）外接圆圆心和三角形位置关系：

1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；

2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；

3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

AAA

典例1（2018•滨河新区期末）边长为1的正三角形的外接圆的半径为（）

A.-B.—C.—D.更

2236

【答案】C

【详解】如图所示，连接OB,OC,过0作ODLBC；

VAABC是正三角形，

二/!?0€=唔=120°,

V0B=0C,

AZB0D-^=60°,

1l

“c八BD7V3

.../0BD=30。，OB=—=i=T,

2

故选c.

【名师点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形.

典例2有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距

离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确;

②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；

③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故

正确；

④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确.

故选B.

典例3（2019•重庆市期中）如图，0是△ABC的外心，则41+42+43=（）

【答案】C

【详解】如图,

,:OA—OB,

z.3=Z.4,

同理，z.1=z.5,z.2=z.6,

•••43+44+N1+45+42+46=180°,

41+42+43=90°,

故选C.

【名师点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解

题的关键.

知识点四反证法

反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定

义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

典例1（2018•古田县期中）已知：在AHBC中，AB^AC,求证：48力4c.若用反证法来证明这个结论，

可以假设（）

A.Z-A=Z-BB.AB=BCC.乙B=ZCD.Z-A—Z.C

【答案】c

【详解】已知：在AABC中，AB^AC,求证：NBKNC.若用反证法来证明这个结论，可以假设48=NC,

由“等角对等边“可得AB=AC,这与已知矛盾，所以NBKNC.

故选：C

【名师点睛】本题考核知识点：反证法.解题关键点：理解反证法的一般步骤.

典例2（2019•乳山市期末）用反证法证明“a>b”，对于第一步的假设，下列正确的是（）

A.a<bB.aRbC.a<bD.a=b

【答案】C

【详解】解：根据题意，判定与a?b相矛盾的判断是a<b，故答案为C

【名师点睛】此题主要考查对反证法的概念的理解，熟练掌握内涵，即可解题.

巩固训练

一、单选题（共10小题）

1.（2019•临清市期末）。。的半径为5cm,1是线段冰的中点，当好7cm时，点/与。。的位置关系是

（）

A.点4在。。内B.点/在上C.点/在外D.不能确定

【答案】A

【详解】V0P=7cm,A是线段OP的中点，

.,.0A=3.5cm,.小于圆的半径5cm,

二点A在圆内.

故选A.

【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据0P的长和点A是0P的中点，得到0A=3.5cm,小于圆

的半径相等，可以确定点A的位置.

2.（2019•合肥市期中）如图，王大伯家屋后有一块长12m,宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半

圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长为（）

【详解】解：连接0A,交半圆。于E点,

在RtZ\OAB中,0B=6,AB=8,

所以0AROB2+4B2

=10；

又0E=0B=6,

所以AE=OA-OE=4.

因此选用的绳子应该不大于4m,

故选：B.

【名师点睛】本题考查勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点.熟练运用勾股定理.

3.(2018•海口市期末)设P为。。外一点，若点P到。0的最短距离为3,最长距离为7,则。。的半径为

()

A.3B.2C.4或10D.2或5

【答案】B

【详解】解：:下为。。外一点，若点P到。0的最短距离为3,最长距离为7,

二。0的直径为：7-3=4,

的半径为2,

故选：B.

【名师点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

4.（2019•重庆市期中）已知。。的直径为10,点A在圆内，若0A的长为a,则a应满足（）

A.0<a<5B.a<5C.0<a<10D.a<10

【答案】A

【详解】：。。的直径为10,

二。。的半径长为5,

:点4在圆内，

二。4的长a的取值范围为：0Wa<5,

故选A.

【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.

5.（2019•连云港市期末）如图，在矩形中，AB=4,AD=3,若以4为圆心，4为半径作。A下

列四个点中，在。4外的是（）

J-----------

A.点4B.点BC.点CD.点。

【答案】C

【详解】解：如下图，连接AC,

•.•圆A的半径是4,AB=4,AD=3,

...由勾股定理可知对角线AC=5,

/.D在圆A内，B在圆上,C在圆外，

故选C.

【名师点睛】本题考查了圆的简单性质，属于简单题，利用勾股定理求出AC的长是解题关键.

6.（2018•降化县期末）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐

标为（-3,2）,则该圆瓠所在圆心坐标是（）

A.(0,0)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(0,-1)

【答案】C

【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点0,

•点A的坐标为（-3,2）,

二点0的坐标为（~2,-1）.

故选C.

7.（2019•湖州市期中）抢凳子是小时候常玩的游戏，人围成圈将凳子放在中间，主持人开始敲鼓，此时

人围着凳子按同一方向转圈.当敲击声停止时，就要抢坐在凳子上，因为凳子数量少于玩游戏的总人数，未

抢坐到凳子上的玩家淘汰下场.现在甲、乙、丙3位同学准备玩抢凳子的游戏，谁先抢坐到凳子上谁获胜如

图，三人已站定，主持人要在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放在图中三角形的（）

【答案】D

【详解】要使游戏公平，那么凳子应该到三角形三个顶点的距离相等，所以凳子应该放在图中三角形的外

心.

故选D.

【名师点睛】本题考查了三角形外心的意义，三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，三角形的外

心到三角形三个顶点的距离相等.

8.（2018•福州市期中）RtZ\4a'中，/右90°,AOZcm,除4c叩，则它的外接圆半径为（）

A.5B.2.5C.8D.10

【答案】B

【详解】VZC-900,AC^Zcm,BC=4cm,：.AB=ylAC2+BC2=5an.

•.,△/回是直角三角形，

.•.△/SC的斜边为它的外接圆的直径，

二它的外接圆的半径为2.5cm.

故选B.

【名师点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，

斜边长的一半为半径的圆是解题的关键.

9.（2018•福州市期末）若正方形的边长为a,其内切圆的半径为r,外接圆的半径为凡则r：〃：a=-

（）

A.1：1：V2B.1：V2:2C.1：V2:1D.72:2:4

【答案】B

【详解】

作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形.

在中心的直角三角形的角为360。+4+2=45°,

..•内切圆的半径为p

外接圆的半径为叵,

2

-'•r：R：a=1：V2；2.

故选B.

【名师点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表

示出来.

10.（2018•眉山市期中）如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】C

【详解】一个三角形三边垂直平分线的交点是这个三角形外接圆的圆心，

如果在外部，则这个三角形是钝角三角形.

故选C.

【名师点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且

这一点到三个顶点的距离相等，解题关键是画出图形即可求解.

二、填空题（共5小题）

11.（2018•路北区期末）已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8,最短距离为4,则此圆的半径为

【答案】2或6

【详解】①当点在圆外时，

•..圆外一点和圆周的最短距离为4,最长距离为8,

二圆的直径为8-4=4,

二该圆的半径是2；

②当点在圆内时，

•.•点到圆周的最短距离为4,最长距离为8,

圆的直径=8+4=12,

二圆的半径为6,

故答案为2或6.

【名师点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键.

12.（2019•惠山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求

另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是.

【答案】3<r<5.

【解析】根据勾股定理可求得BD=5,三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，点A与点D的距离最近，点

A应该在圆内，所以r>3,三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在

圆外，所以r〈5,所以r的取值范围是3<r<5.

13.（2019•台东市期中）若圆。的半径是5,圆心的坐标是（0,0）,点尸的坐标是（一4,3）,则点一与

。。的位置关系是_______.

【答案】点P在圆上

【详解】•••点P的坐标是（-4,3）,

.♦.OP"+42=5,

V0P等于圆0的半径，

.,.点P在圆0上.

故答案为点P在圆0上.

【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已

知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

14.（2018•路北区期末）如图，O。是2148c的外接圆，乙4=45。，BC=4,则。。的禀律为.

【答案】4夜

【解析】如图，连接OB,0C.

上45°,二/6彼90°,；.△瞅是等腰直角三角形.

又：於4,二陟Q>50cos45°=2VL二。0的直径为4&.

故答案为：4夜.

15.（2018•阳谷县期末）如图，在AABC中，ZA=60°,。。为aABC的外接圆.如果BC=2/5,那么。0

的半径为

【答案】2

【详解】解：连接OC、0B,作ODJ_BC,

ZA=60°,

：.ZB0C=120°,

二ND0C=60°,N0DC=90°,

•••℃学龄=2,

2

故答案为：2.

【名师点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出NBOC=120。.

三、解答题(共3小题)

16.(2018•路北区期末)如图，A,P,B,C是半径为8的。。上的四点，且满足ZBAC=NAPC=60°,

(1)求证：AABC是等边三角形;

(2)求圆心0到BC的距离OD.

【答案】(1)证明见解析(2)4

【解析】解：(1)证明：•；NAPC和NABC是同弧所对的圆周角，...NAPC=NABC。

又•.•在AABC中，ZBAC=ZAPC=60°,Z.ZABC=60",

AZACB=180°-ZBAC-ZABC=180°-60°-60°=60°。

」.△ABC是等边三角形。

AO为4ABC的外心。

,

，B0平分NABC。AZ0BD=30°...0D=8xi=4(>

(1)根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知NBAC=NAPC=60°可得△ABC的每一个内角都等于60°,从而

得证。

(2)根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD,从而根据30度角所对边是斜边一半

的性质,得OD=8X：=4

17.(2018•惠山区期中)如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).

(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；

(2)点M的坐标为

与。M的位置关系.

【答案】(1)见解析；(2)(2,0)；(3)点D在。M内;

【解析】解：(1)如图1,点材就是要找的圆心；

(2)圆心"的坐标为(2,0).故答案为：(2,0)；

(3)圆的半径A括722+42=2隗.

名师点睛：本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心材的

坐标是解题的关键.

18.（2019•陕西中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作AABC

的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）

【答案】如图所示见解析.

【详解】如图所示，。。即为AABC的外接圆.

【名师点睛】本题考查了尺规作图——三角形的外接圆，正确把握三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直

平分线的交点是解题的关键.

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二次函数和一元二次方程

知识点一二次函数与一元二次方程之间的联系

已知二次函数y的值为加，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.

例如：已知二次函数尸-y+4x的值为3,求自变量x的值.就是求方程3=-*+4立即

x2-4x+3=0）的解。反过来，解方程*-4户3=0,就是已知二次函数尸*-4;什3的值为0,求自变

量x的值.

典例1如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（）

A.-l<x<5B.x>5C.x〈-l且x>5D.xV—1或x>5

【答案】D

【解析】由图象得：对称轴是x=2,其中一个点的坐标为（5,0）,

二图象与x轴的另一个交点坐标为（一1,0）o

由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,

.,.xV—1或x>5。故选D。

典例2关于x的方程2加什4=0有两个不同的实根，并且有一个根小于1,另一个根大于3,

则实数力的取值范围为（）

55

A.ui>—B.m<---

22

13

C.m<-2或%>2D.ni>一

6

【答案】A

【详解】-2mx+4=0有两个不同的实根,

/.△=4m2-16>0,解得：m>2或ni<-2,

・・•二次函数开口向上，有一个根小于1,另一个根大于3,即表明当x=l和x=3是都出现在x轴

下方，

l-2m+4<0且9-6m+4<0,解得：m>—,

2

综上，m>—

2

故选A

典例3根据下面表格中的对应值：

X3.233.243.253.26

ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09

判断方程ax2+bx+c=0（aW0,a,b,c为常数）的一个解x的范围是（）

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

【答案】C

【解析】分析：根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax'+bx+cR的根，再根据

函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围.

解答：解：函数y=ax''+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax^+bx+cuO的根，

函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；

由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间,

对应的x的值在3.24与3.25之间即3.24<x<3.25.

故选C.

知识点二抛物线与龙轴的交点情况

2

二次函数y=ax+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标打、x2,是对应一元二次方

程a/+bx+c=0的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的

判别式判定：

①有两个交点04>00抛物线与％轴相交；

②有一个交点（顶点在％轴上）=d=0Q抛物线与X轴相切；

③没有交点=4<0=抛物线与％轴相离.

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：

抛物线y=ax2+bx+c(a^O)一元二次方程ax2+bx+c=0

与X轴的公共点的个数(aWO)的根的情况

毋-4ac>0有两个有两个不相等的实数根

有一个有两个相等的实数根

%4ac<0没有公共点没有实数根

典例1已知二次函数1一+3-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是()

A.mW5B.m22C.m<5D.m>2

【答案】A

【详解】•：二次函数y=x2-x+；m-l的图象与x轴有交点,

4

?.△=(-1)-4X1X(-'-

解得:m<5,

故选A.

典例2二次函数y=*-6x+/的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为(1,0),

则另一个交点的坐标为()

A.(-1,0)B.(4,0)C.(5,0)D.(-6,0)

【答案】B

【详解】解：由二次函数y=/一6x+m得到对称轴是直线％=3,则抛物线与％轴的两个交

点坐标关于直线％=3对称，

•••其中一个交点的坐标为(1,0),则另一个交点的坐标为(5,0),

故选：C.

巩固训练

一、单选题(共10小题)

1.函数y=ax2+2ax+m(aV0)的图象过点(2,0),则使函数值yVO成立的x的取值范围是()

A.xV-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2

【答案】A

【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-|j=-l,

而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),

...抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-4,0),

Va<0,

二抛物线开口向下，

...当x<-4或x>2时，y<0.

故选A.

【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,

aWO)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

2.二次函数y=x2-6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为(1,0),则另

一个交点的坐标为()

A.(-1,0)B.(4,0)C.(5,0)D.(-6,0)

【答案】B

【详解】解：由二次函数y=x2—6x+m得到对称轴是直线x=3,则抛物线与x轴的两个交点

坐标关于直线x=3对称，

...其中一个交点的坐标为(1,0),则另一个交点的坐标为(5,0),

故选：C.

【名师点睛】考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质.

3.二次函数y=ax?+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax'+bx+m-kO有两个不相等的实数根，

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【详解】一元二次方程ax'+bx+m—1=0有两个不相等的实数根，可以理解为y=ax?+bx和

y=l—m有交点，可见1—mV2,...ni〉一1,...m的最小值为0,故答案选A.

【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本性质，解此题的要点在于理解“ax'+bx+m

—1=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=l—m有交点”这句话的意义.

4.已知m,n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)=2的两根，若a<b,则下列判断正确的

是一

A.a<m<b<nB.m<a<n<b

C.a<m<n<dD.m<a<b<n

【答案】D

【详解】解：：(x-a)(x-b)=2,

，m、n可看作抛物线y=(x-a)(x-b)与直线y=2的两交点的横坐标，

•抛物线丫=(x-a)(x-b)与x轴的两交点坐标为(a,0),(b,0),如图，

.,.m<a<b<n.

故选：D.

【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系；根据题意得出m、n可看作

抛物线y=(x-a)(x-b)与直线y=2的两交点的横坐标是解决问题的关键.

5.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图(1)位置时，拱顶(拱桥洞的最

高点)离水面2m,水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是()

图(1)

A.y=-2x2B.y=2x2C.y=-1x2D.y=[x2

【答案】C

【解析】抛物线顶点为(0.0),所以设抛物线方程为y=ax2(a<0);(2,-2)是图像上的点，

所以一2=aX22,a=—故选C

6.已知一元二次方程1-(x-3)(x+2)=0,有两个实数根%和9(xKxJ,则下列判断正确

的是()

A.-2<X)<X2<3B.x,<-2<3<X2C.-2<X,<3<X2D.X)<-2<x2<3

【答案】B

【详解】设y=-(x-3)(x+2),yj=l-(x-3)(x+2)

Vy=0时，x=-2或x=3,

.\y=-(x-3)(x+2)的图像与x轴的交点为(-2,0)(3,0),

VI-(x-3)(x+2)=0,

，y尸1-(x-3)(x+2)的图像可看做y=-(x-3)(x+2)的图像向上平移1,与x轴的交点

的横坐标为X]、X2,

V-K0,

二两个抛物线的开口向下，

/.X1<-2<3<X2,

故选B.

【名师点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解

题关键.

7.如图，抛物线y=ax2+bx+c(aH0)与x轴一个交点为(-2,0),对称轴为直线x=1,则y<0

时x的范围是()

A.x>4或x<—2B.—2<x<4

C.-2VxV3D.0<x<3

【答案】B

【解析】因为抛物线与x轴的一个交点为(-2,0),对称轴为直线x=l,所以抛物线另一个与

x轴的交点为(4,0),「.yVO时，一2VxV4.故选B.

8.已知函数y=(k-3)x?+2x+l的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()

A.kW4且k#3B.kV4且k#3C.k<4D.kW4

【答案】D

【解析】(1)当k=3时，函数y=2x+l是一次函数，

,：一次函数y=2x+l与x轴有一个交点,

(2)当k#3时，y=(k-3)x、2x+l是二次函数，

•二次函数y=(k-3)x2+2x+l的图象与x轴有交点，

二b'-4ac^0,

Vb-4ac=2-4(k-3)=-4k+16,

，-4k+1620,；.kW4且kO3,

综合(1)(2)可知，k的取值范围是kW4,

故选D.

【名师点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根的判别式，解答此题时要注意分类讨论,

不要漏解.

9.如图，已知二次函数y=o?+bx+c的部分图象，由图象可估计关于n的一元二次方程

山^+加+。=0的两个根分别是玉=1-6,x2=

A.-1.6B.3.2

C.4.4D.5.2

【答案】C

【详解】由抛物线图象可知其对称轴为x=3,

又抛物线是轴对称图象，

:.抛物线与X轴的两个交点关于x=3对称，

2

而关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两个根分别是X”x2,

那么两根满足2X3=X,+X2,

而Xt=l.6,

/.X2=4.4.

故选C.

【名师点睛】此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较

为简单的试题.

10.已知二次函数y=x，'一2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1,0）,则关于x的

一元二次方程（一2x+m=0的两个实数根是（）

A.x,=l,X2=2B.XI=1,X2=3

C.Xi=­1,X2=2D.X1=­1,X2=3

【答案】D

【详解】将（一1,0）代入y=x‘'-2x+m得，0=1+2+m,

解得m=-3,

则得方程为:X2—2x-3=0,

解得（x+l）（x-3）=0,

X]——1,x2=3.

所以D选项是正确的.

故选：D.

【名师点睛】本题考核知识点：本题考查了抛物线与x轴的交点，要知道，抛物线上的点符合函

数的解析式，同时要知道一元二次方程的解法.

二、填空题（共5小题）

11.已知二次函数y=x,-4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是.

【答案】k<4

【详解】•..二次函数y=x?-4x+k中a=l>0,图象的开口向上，

又1•二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方，

:.抛物线y=x2-4x+k的图象与x轴有两个交点,

?.△>0,即(-4)2-4k>0,

.\k<4,

故答案为：k<4.

【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，由题意得出抛物线与x轴有两个交点是解

题的关键.

12.已知抛物线y=3x?-4x+c的顶点在x轴上方，则c应满足的条件.

【答案】c>g

【详解】抛物线y=3x?-4x+c的开口向上，

其顶点的纵坐标为：牛M二铲」个，

4a4X33

由于抛物线的顶点在X轴上方，

所以号>0,

解得：c河,

故答案为：c>:

【名师点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，本题中的抛物线开口向上，因此也可以通过

根的判别式小于0来求解..

13.若函数y=(a—l)x2—4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为.

【答案】一1或2或1

【解析】：函数y=(a-l)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,

当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-l)X2a=0,

解得:a,=-l,a2=2,

当函数为一次函数时，a-l=0,解得：a=l.

故答案为：T或2或L

14.二次函数丫=ax?+bx+c(a。0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-l,与x轴的一

个交点为(1,0),与y轴的交点为(0,3),则方程ax?+bx+c=0(a。0)的解为

【答案】Xi=1,x2=—3

【详解】解：...抛物线y=ax?+bx+c与x轴的一个交点是(1,0),对称轴为直线x=T,

二抛物线y=ax?+bx+c与x轴的另一个交点是(-3,0),

.,•方程ax、+bx+c=0(aWO)的解为：Xi=l,x2=-3.

故答案为：Xt=l,X2=-3.

【名师点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出抛物线与x轴的交点坐标是解题

关键.

15.如图为二次函数y=Gf2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=l.若其与x轴一交点为

A(3,0)则由图象可知，不等式以2+法+0<0的解集是_______.

【答案】-l<x<3

【解析】试题分析：由图象得：对称轴是x=l,其中一个点的坐标为(3,0)

，图象与x轴的另一个交点坐标为(T,0)

利用图象可知：

ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，

/.-l<x<3.

三、解答题(共2小题)

16.已知二次函数y=2(x—l)(x—m—3)(m为常数).

(1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；

(2)当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？

【答案】（1）证明见解析；（2）m>-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.

【解析】分析：（1）首先求出与x轴交点的横坐标x1=LX2=m+3,即可得出答案；

⑵求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.

详解：

（1）证明：当y=0时，2（x—l）（x—m—3）=0.

解得Xi=1,x2=m+3.

当m+3=l,即m=—2时，方程有两个相等的实数根；当m+3Al,即m。一2时，方程有

两个不相等的实数根.

所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.

（2）解：当x=0时，y=2m+6,即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m+6.

当2m+6>0,即m>-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.

【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，

求出抛物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.

17.二次函数y=ax2+bx+c（aW（））的图象如图所示，根据图象解答下列问题.

（1）写出方程ax'+bx+c=0的两个根；

（2）写出不等式ax'+bx+cX）的解集;

⑶写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

⑷若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

【答案】（1）x=l或x=3是方程ax2+bx+c=O的两个根；（2）l<x<3；（3）当x>2时，y

随x的增大而减小；（4）k<2.

【解析】1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1,0）和（3,0）,

•■•方程ax2+bx+c=0的两个根为x=l或x=3；

（2）不等式ax?+bx+c>时，通过图中可以看出：当l<x<3时，y的值〉0,

二不等式ax'+bx+cX）的解集为（1,3）；

(3)图中可以看出对称轴为x=2,

...当x>2时，y随x的增大而减小;

(4)•..抛物线y=ax，bx+c经过(1,0),(2,2),(3,0),

a+b+c=O

[4a+2b+c=2,

9a+3b+c=O

解得：a=—2,b—8,c=—6,

.,.-2x2+8x-6=k,移项得一2x?+8x-6—k=0,

△=64-4(-2)(-6-k)>0,

整理得：16-8k>0,

/.k<2时，方程ax2+bx+c=k有2个相等的实数根。

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二次函数图像和性质

知识点一二次函数的概念

概念：一般地，形如y=aX2+bx+C（a,b,c是常数，aA0）的函数，叫做二次函数。

注意：二次项系数aA0，而b,0可以为零.

二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项・

典例1下列函数是二次函数的是（）

A.y=x（x+1）B.x2y=l

C.y=2x2-2（x-1）2D.y=x—0.5

【答案】A

【详解】A、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；

B、整理后：y=±,不符合二次函数形式，故本选项错误；

X2

C、整理后，该函数的自变量的最高次数是1,属于一次函数，故本选项错误；

D、该函数属于一次函数，故本选项错误.

故选A.

典例2二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为.

【答案】-5、3、1

【详解】解：二次函数y=3x-5x?+l的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1.

故答案为：-5、3、1.

典例3（2018春门头沟区）已知函数“+3x为二次函数，求m的值.

【答案】m=-l

【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题.

【详解】解：由题意：f周一1不°,解得小=一1，

Im24-1=2

m=时，函数y=（，"-Dx'""+3x为二次函数.

知识点2：二次函数的图象和性质（重点）

二次函数的基本表现形式：

①y=ax2；②y=ax2+k；③y=a（%—h）2；@y=a（%—h~）2+k；⑤y=ax2+bx+c.

第一种：二次函数y=a尤2的性质（最基础）

开口方对称

a的符号顶点坐标性质

向轴

%>0时，y随x的增大而增大；xV0时，y随％的增

a>0向上（0，0）y轴

大而减小；％=0时，y有最小值0.

%>0时，y随工的增大而减小；工<0时，y随工的增

a<0向下（0，0）y轴

大而增大；无=0时，y有最大值0.

第二种：二次函数丁=ax?+c的性质

开口方顶点坐对称

a的符号性质

向标轴

%>0时，y随％的增大而增大；％V0时，y随工的增

a>0向上（0，C）y轴

大而减小；x=0时，y有最小值c.

%>0时，y随工的增大而减小；％<0时，y随工的增

a<0向下（0，。y轴

大而增大；％=0时，y有最大值c.

第三种：二次函数y=a（x-1）2的性质

开口方对称

a的符号顶点坐标性质

向轴

%>/i时，y随％的增大而增大；4<八时，y随x的增

a>0向上s,0)X=h

大而减小；x=/i时，y有最小值0.

%>无时，y随工的增大而减小；工<八时，y随工的增

a<0向下0,o)X=h

大而增大；x=h时，y有最大值0.

第四种：二次函数丁=a（x-八）2+九的性质

开口方对称

a的符号顶点坐标性质

向轴

时，y随汇的增大而增大；八时，y随工的增

a>0向上(h,k)X=h

大而减小；%=八时，y有最小值攵.

%A时，y随工的增大而减小；时，y随工的增

a<0向下(/i,k)X=h

大而增大；X=九时，y有最大值k.

二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：

-+k的形式，其中八=一/，人=笠卢•

典例1二次函数y=-2*-l图象的顶点坐标为()

A.(0,0)B.(0,-1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

【答案】B

【详解】解：,

其图象关于y轴对称，

...其顶点在y轴上，

当％=0时，y=—15

所以顶点坐标为(0,-1),

故选择：B.

典例2关于二次函数y=(x+2)2的图像，下列说法正确的是()

A.开口向下B.最低点是(2,0)

C.对称轴是直线x=2D.对称轴的右侧部分是上升的

【答案】D

【详解】对于二次函数y=0+2)2的图像，

Va=l>0,所以开口向上，故A错误；

最低点是(-2.0),故B错误;

对称轴是直线％=-2,故C错误；

对称轴的右侧部分，y随x的增大而增大，...是上升的，D正确；

故选D.

典例3抛物线y=-2(%-3)2顶点坐标是

A.(2,-3)