不等式知识点汇总

不等式知识点汇总1、不等式的基本性质②（传达性）^>^>c=>a>c①（对称性）a>bOb>a④（可积性）>byc>Qac>bea>b,c<Q=>ac<be⑦（开方法例）“>b>0=>7>茨亦（”wM且”>］）③（可加性）a>boa+c>b+c（同向可加性）a>b,c>d=>a+c>b+d（异向可减性）3>b、c<dna-c>b-d⑤（同向正数可乘性）ci>b>^Od>Q=>ac>bd（异向正数可除性）⑥（平方法例）>b“gN,且办>1）.n11.n11—>-⑧a>b>0=>—<-;a<b<0=>（倒数法例）abab2、几个重要不等式②（基本不等式）畔n皿（“，bwR）（当且仅当a=b时取到等号）.变形公式：“+方2屁》肋寸用基本不等式求最值时（积左和最小，和立积最大）,要注意知足三个条件“一正、二定、三相等”.⑤a3+b3+c3>3abc（a>O,b>Ox>0）（当且仅当a=b=c时取到等号）.?a2+b2>2ab（a,bwR）,（当且仅当a=b时取”=”号）.变形公式：④a2+b2+c2>ab+bc+ca（a,beR）（当且仅当a=b=c时取到等号）.③（三个正数的算术一几何平均不等式）斗土亦《、b、ceR+）（十且仅十a=b=c时取2到等号）.⑥若ab>0,则￡+#22（当仅当a=b时取等号）若0,贝0-+-<-2（当仅当ababa=b时取等号）⑧妝〉0H寸,卜］>“Oy>“2Ox<—“或*>“；\x\<aox2<a2<=>-a<x<a?⑦!1<+m<1<a+n<11其中（a>b>0,m>0,八>0）规律：小干1同加则变大.aa+mh+nb大于1同加则变小.⑨绝对值三角不等式a±b\<\a\+\b\.3、几个著名不等式①平均不等式：一占.「<、何<￥<'十；卢3bwRj,（当且仅当a=b时取”="号）.（即调和平均生几何平均生算术平均生平方平均）.★计八.（ci+b\a"+?>{ci+by变形公式：------I<----------;旷+Zrn----------.I2丿22②幕平均不等式：打+...+<>丄（5+0++a）?n③二维形式的三角不等式：后+昇+如+nJu—花）2+（）「）』（xpypx2.y2wR）?④二维形式的柯西不等式（/+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2ab,c,deR）.当且仅当dd=/?c时，等号建立.⑤三维形式的柯西不等式：（打+心2+打）（，+人2+*2）>（a}b{+a2b2+。冉）2?⑥一般形式的柯西不等式：（和+亦++弘乍宙+仇2++仇2）>a?+a2b2+...+anbn)1.)>牛如?则称血）为凸⑦向屋形式的柯西不等式:设Np是两个向量，则0?/问同，当且仅当p是零向崑或存在实数八使二审时，等号建立.⑧排序不等式（排序原理）：设q<a2<...<an}<b2<...<bn为两组实数.2n是久$,???&的任一排列，则,bc^c.....caf)n+a2b^}++讷<a}c{+a2c2^...+ancn<a}b}+a2b2+...+anbn.(反序和W乱序和伙eN\k>\)等.1Q1①舍去或加上-些项,如叫）2+严+声5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式

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0（或

v0）（“

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0）解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数?二判：判断对应方程的根?三求：求对应:画方出程对的根应函数的图象?五解集：根据图象写岀不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

?四画6、高次不等式的解法：穿根法?分解因式,把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切儿联合原式不等号写出不等式的解集.

的方向，7.分式不等式的解法：s次序和)当且仅当a}=a2==①或也=b2==bn时,反序和等于次序和.⑨琴生不等式:（特例：凸函数、凹函数）若左义在某区间上的函数随意两点不￡（加工卫）,有广（山+?丫2）5./（“）+?/（￡）或

/（x）,关于泄义域中22（或凹）函数.不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、剖析法：英它方法有：换元法、反证法、缩法、结构法，函数单一性法，数学概括法等.常有不等式的放缩方法：②将分子或分母放大（缩小），如

放>oOf（x）-g（x）>0先移项通分标准化,则小Q（“<或5"时同理）/（X）Jm）?g）no----->0<=><gCv）U（A）*O规律：把分式不等式等价转变为整式不等式求解.无理不等式的解法：转变为有理不等式求解⑵加心>0）。了3“l/w<^f/(x)>0j7Qy<g(x)0]g(x)>oJM<[g(x)]2⑴的>c“>0)o["g°,[fMxr|7(x)>0⑶J/(X)>g(x)o<<g(x)>0[/(x)>UCv)]2[7(力no(；))y/f(X)>Qg(X)O?g(X)?0规把律无：理不等式等价转变为有理不等式，窍门在于从“小”的一边剖析求解.久指数不等式的解法：⑴当a>1时，aM>aglx)of(x)>g(x)(2)当0VdV1时，af{x}>a^(x)of(x)<g(x)规律：根据指数函数的性质转变.对数不等式的解法+m)>o(1)当a>1时，log“/(x)>log“g(x)O<g(x)>o

/U)>5(A)p[/U)>0⑵-10VdV1时，]og“y(v)>Iogdg(x)o<g(x)>0规律：根据对数函数的性质转变.1K含绝对值不等式的解法：⑶同解变形法，其同解立理有\x\<aO:-①a<x<a(a>0);?\x\>a<^>x>°或￥<-a(a>0);③|/(x)|<g(x)O-g(x)<f(x)<g(x)(g(x)>0)?|/(x)|>g(K)ofix)>g(?Y)或f(x)<-g(x)(g(x)>0)规律：重点是去掉绝对值的符号.⑵平方法：\fM\<|g(x)|of\x)<g2(x).⑴従义a(a>法：同0)-a(a12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段议论去绝对值、毎段屮取交集，最后取各段的并集.13.含参数的不等式的解法解形如ax2+bx+c>0且含参数的不等式时，要对参数进行分类议论，分类议论的标准有:⑴议论"与0的大小；⑵议论△与0的大小；⑶议论两根的大小.恒建立问题⑵不等式Cix2+bx+c<0的解集是全体实数（或恒建立）的条件是:①当d=0时=>b=O,CVO；②当dHO时nV"|