三年级上册全册讲义及详解

乘除法巧算

基础例题:

这一讲介绍的是乘法巧算和除法巧算的一些基本方法.在计算乘法时，一个

数与10、100,1000这样的数相乘，很容易算出结果，例如23x10=230,

23x100=2300,23x1000=23000等.有三组乘法在巧算时也经常用至h

2x5=10,4x25=100,8x125=1000.

加减法里有带符号搬家，乘法中也有.在计算多个数相乘时，我们可以通过

带符号搬家改变运算顺序，简化计算.

例题1

计算：(1)2x13x5;(2)4x11x25.

分析：仔细观察算式，如何改变一下运算顺序来变得简

单些呢？

练习1

计算：(1)4x17x25;(2)125x10x8.

有时题目中没有明确给出2与5、4与25、8与125相乘，我们可以通过拆

数的方法凑出［0、100、1000,例如：18x5=9x2x5=90.

例题2

分析：这两个小题中有25或者125,这两个数能够如何

巧算呢？

练习2计算：(1)25x5x32;(2)56x125.

/------COD------

乘法中常见运算技巧

>乘法中的凑整：2x5;4x25;8x125.

>带符号搬家：在只有乘除运算的算式里，每个数前面的运算符号是这个数的符号.不

论数移动到哪个位置，它前面的运算符号不变.带符号搬家依据的运算律是：

(1)乘法交换律：axb=bxa.

(2)乘法结合律：ax(b*c)=(axb)xc.

计算：(1)36x114-9;(2)4000-125.

分析：如何利用除号后面的数进行除法凑整呢？

练习3

计算：(1)28x11-=-4;(2)300+25.

在计算连续乘除法运算时，式子中经常会出现括号.在乘除法去括号时，同

加减法去括号时类似，要注意变号的问题，具体来说，乘除法中去括号的法则是:

括号前面是乘号，去掉括号不变号；括号前面是除号，去掉括号变符号.

例题4

计算：(1)720+(72*5+13);(2)(81723)x(123+3)+(6-3).

分析:在去括号的时候要注意些什么？去掉括号后算式变成了什么样？能够如

练习4

计算：(1)130+(13+3x15)；(2)36-5-(3x11)x11.

挑战极限：

除了去括号之外，有时候还需要添括号来简化运算.

例题5

计算：(1)31(X)0+8+125;(2)333+15x5.

分析：第一问中看到8和125,能不能让它俩相乘呢？第二问中15和5处

能不能加个括号呢？加括号时要注意什么呢？

例题6

计算：(26+25)x(27+17)x(25+9)x(17+39).

分析：在去括号的时候要注意些什么？去掉括号后算式变成了什么样？能够

如何巧算？

<xx)-

去括号和添括号原则

在只有乘除运算的算式里，如果括号的前面是“+”，那么不论是去掉括号或添上

括号，括号里面运算符号都要改变，即“X”号变“+”变“X”；如果括号的

前面是“X”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都不改变.

例如：

①a*(b+c)=a*b+c②a*方+c=ax(6+c)

淳岩

运算符号的来历

同学们每天都与+、一、X、;打交道，做起

题来也已经习惯了有它们的帮助，但你们一定还不

知道它们来到这个世界上的时间可比数字晚多了.

大约五百年前，德国科学家魏特曼在横线上加

上一竖来表示增加的意思，在加号上去掉一竖来表

四“示减少的意思，从此，数学这一学科就多了两个新

作业

，计算：⑴2X9X5：成员，珞瓢舄£土”、"一”的来历.

“X”是英国的数学家欧德艾在三百多年前提

2.计算：(1)25x12：出来的，淄就测聚法是一种特殊的加法，于是把“+”

佥口以吉q曰.亦公1人工似1“X/”“二”S.IUJ-L.

3.计算：(1)200+25;(2)3000+125；

(3)12x14+3+7；(4)12x254-3.

4.计算：(220^8)x(84-7)4-(224-7).

5.计算：42000+2+4+25.

第二讲

枚举法中的字典排列

这里的东西可真.好吃，肚子

基础例题:

在上一讲中我们学习了简单的枚举法;二直接把斫有

情况一一列举出来.但如果问题较为复杂，直接枚举很有可

能产生重复或者遗漏，这时就需要有一些特别的方法来帮助

我们枚举出所有情况.本讲就主要介绍两种枚举的方法：字

典排列法和树形图法.

同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排

列的规a：

如果我把这三个东西都带回我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不,

单词都单1

..云广田工工工二厂工:二仁瑟'还是先吃玉米，哎，还是先吃饼干吧！到

从a到z的顺序排列，然后是第3，

所谓“字典排列法”，就是指在枚举的丁怅学典里的‘单恸潮产忙也

序那样排列出所有答案.例如，用1、2、3各一次可以组成

多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都按

从小到大排列，枚举的顺序是：123,132,213,231,312,

321.下面我们用字典排列法来解决几个问题.

例题1.卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏

宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到的宝物数量共有多少

种不同的可能？（可能有人没有发现宝物）

个

分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢?

练习：

1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人,

每人至少得到1本笔记本，请问：老师有多少种不同的奖励

方法？

例题2.老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3

个数的和是8.如果两个同学写出的3个自然数相同，只是

顺序不一样，则算是同一种写法.试问：同学们最多能得出

多少种不同的写法？

分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为

（1、2、5）、（2、5、1）和（5、1、2）都算同一种写法.

练习：

2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10,

共有多少组这样的三个数？

用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换

顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关

键.往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚

举的每个结果里就没有明确的顺序关系；反之，那么枚举时

要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系.再

在求解计数问题时，审题非常关键.往往一字之差就会

有天壤之别.

枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问

题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏.这时就需要预

先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举.

例题3

如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、

7这七个数字.请问：

(1)从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2,一共

有多少种选法？

(2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9,一共

有多少□种选□法？□□□□□

分析：第二问中的和大于9是什么意思？也就是最小等

于10,那最大又是多少？和共有几种可能？

练习3

有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边

有一行小字：密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同.不用考虑数

的先后顺序,你知道密码共有多少种可能吗？

数一数下图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？

分析：含星星的长方形会由几个小方格组成呢？我们可

以依据长方形的种类进行分类.

练习4

数一数下图中包含星星的正方形有多少个？

☆

在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或

者还有没有漏掉的情况.只有在分类已经做到“不重不漏”

的前提下，才能够进行进一步的枚举.

例题5

妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止.如果天数不限.可

螺的吃法一共有多少种？

分析：虽然题目对天数没有限制，但要求每天至少吃2

个.照此推算，最多能吃几天？

例题6

午餐的时候，食堂为同学们准备了苹果、桃子和桔子三种水果，

每种都有很多.东东想要挑3个水果吃.请问东东有多少种不同的选

法？

分析：仔细审题，挑的3个水果能不能是同种的水果？

若要分类枚举，应该如何分类呢？

淳当

作业

6.有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有多少

字典是如何排序的？

种不同的分法？

7.有面值分别为1元、10元利50御典语爵典中血喇击单蚓的位置是这样决定的：

3.如果从中任取3张竭蚂畔聊翻轨如果相同，那么就看下一

8.老师要求墨莫写4篇作文，题目不限，但是每天至少写1篇.那么墨莫完

成这些作文共有多少市除赢揖能?如果不同，那么就按照从0到Z的顺序进

9.爷爷要墨莫多吃水果，孑¥排顼|8廿芯如说术防&微和2检。他遨两个单词，第一个

为止.那么墨莫一共尊翎雕?b和/,b排在/前面,所以book排在look

10.体育馆里有很多足球和篮球，体育老师要小高从里面拿4个，请问小高有

多少种不同的选择？之前.再比如说：匕。。卜和boat这两个单词，前两个

字母都是b。，所以就看第三个字母，。在a之后，

所以字典里book出现在boat之后.

再来看看中文字典，现在的中文字典主要采用

日.日土林上―HAAlil石击，什4二日上击七J十匚田：五〜

第三讲

移多补少与等量代换

☆

做移多补少的题目，最好的办法就是借助于画线段图，画图能给人一种直观

的感觉，帮助我们理清数量关系.

例题1

OOOOOOOOOO

亍多个.

（2）第一行给第二行个才能使第一行与第二行一样多.

（3）第一行给第二行个才能使第一行比第二行多2个.

（4）第一行给第二行个才能使第二行比第一行多2个.

分析：动手试试，移动下，弄清开始时第一行比第二行多几个？

练习1

阿呆和阿瓜分糖果，开始时阿呆有14个，阿瓜有4个.后来阿呆给了阿瓜

6个，这时谁的糖果多？多几个？

例题2

小高和墨莫分别有一些巧克力，小高比墨莫多10块.

（1）小高给墨莫8个，这时谁的巧克力多？多几块？

（2）小高给墨莫多少块才能使两人的巧克力一样多？

（3）要让墨莫的巧克力比小高多4块，需要谁给谁巧克力？给几块？

分析：可以画出增减示意图表示下给的过程？

练习2

一开始田鼠爸爸比田鼠妈妈多11块宝石，要让爸爸比妈妈多3块宝石，需

要爸爸给妈妈多少块宝石？

例题3

®开始时卡莉娅比萱萱多30张高思杀卡片.每次卡莉娅给萱萱3W

张.

（1）给几次才能使两人的卡片一样多？

（2）给几次才能使萱萱比卡莉娅多12张？

分析：能不能先算清楚一共给多少张才能使两人的卡片一样多？或者萱萱比

卡莉娅多12张？

练习3

刘老师有两盒糖果，红盒比蓝盒多30粒糖，每次从红盒取5粒糖放到蓝盒,

取几次后两盒糖的粒数就同样多？

之前例题中的移多补少基本上要借助于画图，画图是表示数量关系非常直观

的方法.除了画图之外，用简洁的语言来表示数量关系也十分重要.下面我们来

看看等量代换的相关题目，同学们要用简洁的语言来表示数量关系.

等量代换的思想是解决应用题时的常用技巧之一，在使用等量代换时，一般

从问题开始分析.

例题4

------------------------------=^=

(1)4只小狗=8只小猫，那么5只小狗等于多少只小猫的体重？修

(2)2只小狗=4只小猫，1只小猫=2只鸭子，那么12只小狗等于多

少只鸭子的体重？

(3)3只小狗=4只小兔，5只小兔=7只小鸡，那么12只小狗加

4只小兔等于多少只小鸡的体重？

分析•：第(1)、(2)问中利用等量代换中的倍数关系，找清楚1只小狗等于

几只小猫？第(3)问中能否将12只小狗加4只小兔变为全是小兔？

7头大象和10头长颈鹿重量相等，那么40头长颈鹿和多少头大

象重量相等？

例题5

1只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，3只兔

子的重量等于9只鸡的重量，那么1只猴子的重量等于多少只鸡的重

量？

分析：1只兔子等于几只鸡的重量呢？再分析出猴子与鸡的重量关系？

例题6

已知所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同.3只大鸭子和2

只小鸭子共重32千克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，请问2只大鸭子

和1只小鸭子共重多少千克？

分析：能否将题目中的条件列出来？通过倍数关系将题目中都变为大鸭子或

者小鸭子？求出大小鸭子各几千克？

1S.当

三藏取经

作业三藏西天去取五，一着十万八千程.

1.阿呆有20个西瓜，阿瓜春那常律感十五，问公几日得回程.

阿瓜给阿暴城臬“题，.收录在他

(1)

zK甘旨的是唐

等？朝高僧玄奘.因为他被人们认为是唐朝第一高僧，

所以又被称为“唐僧”.他受唐太宗李世民派遣，到

(2)阿呆给阿原箧他讲脚婀籍叫睡邯跳遍牛五部，一千三

百三十五卷,些了中印文化的交流西游记》

僧码原型

7%^.一开始阿呆比阿瓜多87个西瓜，要让阿呆比阿瓜多3个再

西瓜，需要阿呆给阿瓜多少个西瓜？

3.小高给萱萱28个苹果后，

(1)小高和萱萱一样多，问之前谁多？多几个？

(2)小高比萱萱多10个，问之前谁多？多几个？

4.用3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，用

5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？

5.师傅和两个徒弟一起组装零件，师傅组装3个与

大徒弟组装2个所用的时间相同，而大徒弟组装3个与小

徒弟组装1个所用的时间相同.请问：小徒弟组装4个的

时间三个人一共能装几个零件？

第四讲

寻找隐藏周期

批注[胡羽辰1]:第一格漫画中是“邻国”

其实泰勒斯就是从之前的日食记录中找到了日食发生的周期，根据周期做出

周期现象无处不在，日常生活里有很多这样的例子，例如分针每60分

钟就绕钟面一圈回到原来的位置，星期日再过七天还是星期日，地铁不断在线路

上来回运行……所以学好周期问题对于我们平时生活会很有帮助，本讲就先解决

几个简单的周期问题.

在解决周期问题时，关键在于找到周期的长度.只要能找到周期的长度，再

用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期

的部分后剩下的个数.

例题1

如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在，

一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了100步，落在一

个圆圈里.一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆

时针方向跳了200步，落在另一个圆圈里.那么这两个圆圈里的数乘

积是多少？

分析：跳几步一个周期？两只电子跳蚤分别落在了哪个

圆圈中？

练习1

钟表上现在时针正对着数字2,那么121小时后时针正对着数字几？

有些问题，只给出了变化的规律，并没有给出明确的周期.这就需要我们按

,把隐藏的周期找出来,再利用周期进行计算.

例题2

伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数.请问：当数到

200的时候，正好数到哪根手指？

分析：开始数1的时候指着的是大拇指，下一次指到大

拇指的时候是数几呢？几个数一个循环？

练习2

如图，在A,B两地之间有11个站，一辆车不停的往返于两地之间.从A

出发，每天走到下一站，到达8地后的第二天又回到11号站，第1天的时候它

在A站，那么第100天时它在哪个站？

例题3

100位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：

先让第一位同学报1,然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位

同学所报的数乘以7,再报出乘积的个位来.请问：最后一名同学报

M是几？

分析：试着把每位同学报的数都写出来，找找看有没有

周期？

练习3

同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报

6,然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以2,再报出

乘积的个位来.请问：第50个同学报的是几？

例题4

84位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：

先让第一位同学报1,第二位同学报3,然后从第三位同学开始，每

位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位

来.请问：最后一名同学报的是几？总共有多少人报的数是3?

练习4

50位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位

同学报4,第二位同学报9,然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两

位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来.请问：最后一名同学报的是几？

例题5

甲、乙、丙、丁四兄弟各收藏了一些宝石.每天早上他们都要聚

在一起，重新分配宝石.分配的规则就是：宝石最多的人分给其他三

人每人1颗.如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有

10、7、5、4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中各

有几颗宝石？

分析：先试着算一下开始几天四人的宝石数量，可以用

下面这个表格来表示，试着再往下填几行:

11-

2L*C2

-_2fg

例题6,

•辆公我气车在一条公路上行驶，公路上日1次有6个汽车站A,B,C,D,E,

F.汽足从AH1发,每回一站即停车,:到达F后又沿原路返回，仍是每到一站都

停车,到达a言再i反叵如此往阪行期L如果汽车从出发后算起，每连续

停车£W站加涧,那么;气车在第2013次停车前的上一次

加油是在哪站？

分析：将停车的汽车站写出来看能否发现周期规律？

浬野

作业

6.“我是大好人大好人……”依次重复邨喻雷著星个字是

什么'哈雷彗星是最著名的短周期彗星，每隔75或

现在时针指着嗖通敏礴卫黜③你畲譬蜃’是嚏一能用裸

针指着数字几？

11。位同学从左督鲁薪添零嵬馥髀瓠着猿左睛人一生中

报数：先让第」将同孽鞭哒哪辆驷:锄物孽舞始匹觑彗星的周

位同学都把前一期最早唐撰曲数覆福蒙碱醐酬的巡勺，因此这

位来，那么第哪鲤，统强班芳畲少？

9.数列9,8,6,2……从第2个数起，每个数都是它前

1695年，已是皇家学会书记官的哈雷开始专

面一个数的两倍的个位数字，请问，第99个数是多少？

e如图，骁陈鲍翻生谯生、强斛、唔98年的彗

这7座房子中，凰雪夔塞粼蜗袍处嬲事里做磨丁展期他计算了它

天开始按照8c箱的林姬泅爰现一佳映嵋疫鸳而拜年瑜秀82年出现

矮人的房子中做麻汝道雕露船雅麻箫由吸畲房云

袋然；寸iFr

中做客？

植树问题

这两讲我们将要学习一个新的问题一一间隔问题.植树问题是间隔问题中重

要的一种，像这样间隔数目和端点数目不同的情况我们在日常生活中会遇到很

多，这一讲我们就主要来解决这类问题.

对于植树问题而言，主要分为两类，第一类是直线上的植树问题，第二类是

环线上的植树问题.下面先来讲讲直线上的植树问题.

对于一条线段来说，两边的端点是特殊的地方，需要尤其注意.

§1直线上的植树问题

例题1

(1)马路的：刎种树，且可赚种树.若每隔5米种一棵树，马

路长30米，问有几棵树？

(2)马路的西刎种树，且西赚种树.若每隔5米种一棵树，共

有20棵树，问马路有多长？

分析：审清楚题目，两端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？

练习1

道路的巧刎插红旗，且可强也要插上红旗.若每隔6米插一面，马路长24

米，问有几面旗？

例题2

马路的二刎安路灯.

(1)一端有路灯，另一端没有.若每隔4米安一盏灯，马路长

40米，间有几盏灯？

(2)两端都没有路灯.若每隔6米安一盏灯，共有12盏灯，问

分析：审清楚题目，一端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？

练习2

马路的西刎种树，且争强不秒.若每隔3米种一棵树，马路长30米，问有

几棵树？

例题3

有如图三条马路.现在要在马路的;刎种树，且每条马路的可缴

郁种树.已知北路长40米，东路和西路分别长80米.每隔5米种一

棵树，问共种几棵树？

|-------北汽

分析:试着一条路一条路的求出有几棵树？并且把树画一画？

西路东路

练习3

在如图两条马路的一侧安路灯，且每条马路的两端都没有路灯.若每隔9

米安一盏路灯，一共安了20盏路灯.已知北路长81米，问西路长多少米？

§2环线上的植树问题

除了一条直线上的间隔问题之外，环形的排列也会存在间隔，先来看一个示

从图中不难看出，在环形上间隔数和端点数是相同的.

例题4

学校有一个圆形水池，

(1)水池外的周长为40米.如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共

要种几棵树？

(2)水池内的周长为30米.如果绕着水池内共有10个换水孔，且相

邻两个换水孔的距离相等，问相邻的两个换水孔间的距离是多少米？

分析：环形植树中，间隔数和棵树之间什么关系？

练习4

鸟巢外一周共有1000米，绕着鸟巢的一周有灯和树木，

（1）如果每两盏灯之间的距离是5米，问鸟巢外一周有几盏灯？

（2）如果鸟巢外共有250棵树，且相邻两棵树的距离相等，问相邻两棵树的距离

是多少？

例题5

10个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距

离都相等.现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人

之间的距离还是相等.请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，

相邻两人之间的距离又是多少米？

分析：试着求出站好男生后有多少个间隔？每个间隔中加入2个女生后一共

有多少人？

例题6

如下图所示，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100米、宽

为70米.现在需要在所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可

以拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树，那么最少要种多少棵树？

加了记得加上.

淳哲

作业

11.一条长500米的路的两边都要种树，并^^帮要种，如

H.按时间长短可分为植树日、植树周或植树月，总

______________________________________________________________

Qar

果每隔5米种一棵树，请问一共要种多少棵树？修

12.一条路的一边种树，并且两头都不种树，如果每隔12米

种一棵树，

(1)共种了6棵，请问马路长多少米？

(2)若马路长120米，则种了多少棵树？

13.有如图三条马路，长度都是100米.现在要在马路的一侧

种树，且每条马路的两端都种树.每隔5米种一棵树，问

共种几棵树？

14.用蜡烛摆成一个周长60厘米圆形的造型，

(1)若蜡烛每隔4厘米摆一个，一共需要多少根蜡烛？

(2)如果共有20根蜡烛，且相邻两个蜡烛间隔相同，问

相邻的两根蜡烛间的距离是多少厘米？

15.同学12人围着长480米的操场玩游戏，每两名

同学间距离相等.如果在每两名同学间插入3名老师，使

每两人间距离相等.请问：有多少名老师？每两人间距离

是多少米？

第六讲

复杂间隔问题

这么多书我一个人搬上那我来帮你吧!

去会累死的！

一天，卡莉娅

要去6层的图书馆

看书，老师便让她

顺路搬一堆书上去.＜不用！我就搬N

到一半，也就是3层,

一人一半哪！

/我搬一半书

［你撒一半书吧!,

同样是撮

了一半，为优

么我这么累

剩下3层

就交给你了!―我们到

好好休息一下!

看起来小高和卡莉娅每人都搬了三层楼，但仔细想一想是这样吗？其实小高

从三层开始搬到6层的确是搬了3层楼，但卡莉娅要走的楼梯只有1到2一层和

2到3一层，一共只有两层楼，所以小高会比卡莉娅累很多.

其实我们在登楼的时候算的并不是具体的楼层，而是两层楼之间间隔的楼

梯，我们可以把楼层看作是端点，把楼梯看作是点之间的线段，就可以画出这样

像这样间隔数目和端点数目不同的情况我们在日常生活中还会遇到很多，例

如锯木头、排队、爬楼梯、铺砖等等，这一讲我们就主要来解决这类问题.

例题1

小马虎从1层开始爬楼梯，且速度保持不变.他爬到5层用了7

分钟.又过了21分钟，他爬到几层？

分析：从1层走到5层一共要走多少层？

练习1

小高从1层开始向上爬，且速度保持不变，他爬到3层用了3分钟.问小高

从5层爬到11层要用几分钟？

例题2

萱萱和墨莫去王老师家玩，王老师住在15层.两人同时从一楼

速度都保持不变，当萱萱走到第3层的时候，墨莫恰好到了

第5层.那么当墨莫走到王老师家的时候，萱萱到了几层？

分析：从1层走到3层一共要走多少层？到5层呢?

阿呆和阿瓜比赛走楼梯，且各自速度保持不变，他们都从1层开

始走，当阿呆走到4层的时候阿瓜刚走到3层，那么，当阿呆走到16

层时候，阿瓜走到第几层？

例题3

王老师想自己做一套家具.他每锯断一次所花的时间相同.他先

把4根木头每根锯成3段，共用了24分钟，如果要把另外8根木头

每根锯成6段，共需要几分钟？

分析：把一根木头锯成2段要锯几下？锯成3段要几下

呢？锯成6段呢？

月了20秒，那么若以同样的速度，他要把同一条面包分成4段要用多少秒？

例题4

50个乌龟排成一列，乌龟“慢慢”是从前往后数第40个，而乌龟

“吞吞”是从后往前数第32个，请问：这两只乌龟之间有多少个乌龟？

分析：试着找到它俩的具体位置，再进行具体分析.

练习4

一群羊站成一排，喜羊羊是从前往后数第10只，也是从后往前数第10只,

那么共有多少只羊？

例题5

班里一共有42名学生，做游戏站成一圈.从班长萱萱为起点开

始数.

(1)如果墨莫是顺时针数第26个，小高是顺时针数第17个，

那么墨莫与小高间有多少名同学？

(2)如果墨莫是顺时针数第13个，小高是逆时针数第27个,

么墨莫与小高间有多少名同学？修

分析：试着画出示意图，在图中标出每个人的位置，再

做进一步的分析.

例题6

甲、乙、丙三人锯同样粗细的木棍，分别领取8米、10米、6米长的木棍，

要求都按2米的规格锯开.劳动结束后，甲、乙、丙分别锯了24、25、27段，

那么锯木头速度最快的比速度最慢的多锯多少次？

分析：考虑8米、10米、6米长的木棍每根会锯成几段？

再分析每人锯了几根？

源岩

作业

16.青蛙从9层跳到4层要跳25级台阶.如果各层楼之间的

台阶数相同，那么青蛙从第3层跳到第7廛黑需要上多

“埃及奴隶睡着了，发明了面包

少级台阶?

加n土灶，，口w严传说公元前2600年左右，有一个为主人用水和

17.两只青蛙蹦跑

口山口以.而到上面粉做饼的埃及奴隶，一天晚上，饼还没有烤好

蹦已经跳到3移

卬性的1小他就睡着了，炉子也灭了•夜里，生面饼开始发酵,

到9楼的时候，

“工叱我,―膨大了•等到这个奴隶一觉醒来时，生面饼已经比

18.伐木场举行锯木

牝PRnHff昨晚大了一倍.他连忙把面饼塞回炉子里去，他想

米一段只要140

卡即干曲夕।这样就不会有人知道他活还没干完就大大咧咧睡着

成9段需要多少

了.饼烤好了，它又松又软.也许是生面饼里的面

,粉、水或甜味剂（或许就是蜂蜜）暴露在空气里的

野生酵母菌或细菌下，当它们经过了一段时间的温

车站上共有30个人在排队等车，大李排在第15个，而小修

李排在倒数第23个，请问：大李和小李之间有多少人？

20.老师和同学们围成一圈做游戏，一共有40个人，

从老师开始数，阿呆是顺时针数第33个人，阿瓜是逆时

针数第11个人，请问：阿呆和阿瓜中间隔了几个人？

修

第七讲

和倍与和差

批注[h2]:改

本讲中，我们将学习一类新的应用题——和差倍问题.所谓“和差倍问题”,

就是指题目条件中给出的是数量之间的和、差或者倍数的大小，通过和、差、倍

其中某几个条件来求出具体每个数量的大小.

在解决和差倍问题时，线段图法是最常用的方法，一般选取较少的数量画成

一段，再按照题目条件中所给的数量关系画出其他量的长度，再设法通过条件求

出一段所代表的数量即可.

先来看一下和倍问题，和倍问题就是条件中给出了和的关系和倍数关系的问

题.

例题1

纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍，请

问：男、女职工各有几人？

分析：试着补全下面这个线段图，男职工画成一段的话,

~~

女职工应该画成几段呢？

II"］，，

男职工

女职工

某小学有学生共1500名，其中男生人数是女生的2倍，请问:

男、女生各有多少人？

例题1中一个量是另一个量的整倍数，这类问题比较容易解决.当一个量

不是另一个量整倍数，而是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以

先把“多”的去掉，或把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决.

例题2

交通协管员一个月一共开出78张罚单.这些罚单有两种：一种

是违章停车，一种则是闯红灯.违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚

单数量的4倍还多3张.违章停车的罚单共有几张？

分析：哪种罚单的数量较少？应该把哪种罚单的数量画成一

段呢？

卡莉娅和小山羊一共有92颗糖，卡莉娅的糖果数量比小山羊的3

倍多4颗，请问：卡莉娅有多少颗糖？

例题3

果园中梨树和苹果树共有67棵，梨树比苹果树的2倍少2棵,

苹果树有多少棵？

分析：如果再多2棵梨树的话，总共有多少棵树？梨树J

是苹果树的多少倍？

文具店里有圆珠笔和钢笔共76支，圆珠笔比钢笔的3倍少4支，

圆珠笔有多少支？

我们解决了和倍问题后，如果只知道“和”与“差”呢？这就是接下来要解

决的问题----和差问题.

例题4

小高和墨莫一共有40元，其中小高比墨莫少14元，那么墨莫有

多少元？

分析：把小高的钱数画成一段，不难画出如下图所示的

线段图，如何求出“1”段代表的钱数呢？

—!]I

力施一其用比,一._岁，他俩的年龄加起来正好是70岁，那么妈妈

.第少岁,4元

和差公式

较大的数=（和+差）+2

较小的数=（和-差）+2

瓜4

这就是求解和差问题的公式.以后遇到“和差问题”时，就可以套用这个公式进行

的条件呢?

例题6

登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家125名.原来第

一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，即使这样第一组仍比第二组多

5名.原来第一组有多少名专家？

分析：两组的人数和是多少？差是多少？

浬岩

人类登月历史

作业月球是地球最亲密的邻居.多少个夜晚，当人

21.包子铺里有肉包子和菜包子共90个，其中肉包子数量是

a八卷蚀鹭夜空贝，银色的月亮总是让无数人浮想联

菜包子的2倍，肉包字有几个？

20

22.某市去年一年熟"世纪，

倍多5天，那么烬峪萍重该予调吼天筋雨了月球神秘的面纱.

23.公园里有松树和柏树赤军檄，端麟噗醐侬鬣演愈烈.苏

2棵，柏树有多联少棵援？射卫星，建立太空空间站，取得了一系列巨大

24.体育室里篮球和足球共46个，并且篮球比足球多6个，

请问：足球有通*?美国不甘落后’也在1961年5月25日向全

25.小高、壤婶布懒研田飒蟠月就榭的糖楚年7月21

曰龄舲门.主山.上一小心逡泡袖加梯字沛驯曰而，在

卡莉娅的2倍，墨莫的糖和卡莉娅一样多，请问卡莉娅有

几块糖?

第八讲归一向题

例题1

汽车厂每名工人每天生产汽车零件6个.按照这样的速

度，10名工人3天能生产多少个零件？如果要用5天的时间

生产出300个零件，那么需要多少名工人？

分析：试着先求出10名工人每天能生产多少个零件？

练习1

每人每小时能包125个饺子.按照这样的速度，8个人

5小时能包多少个饺子?

例题i中，''每名工人每天生产的零件个数”是解题的修

关键，我们把这样的量称为“单位量”，而求解“单位量”，

利用“单位量”进行分析的应用题就称为“归一问题”.归

一问题是基本应用题的重要组成部分，在解决归一问题时，

关键是要找到“单位量”，也就是把多倍的量“归”成单位

的“一

例题2

牛吃草，6头牛5天吃90捆草，按照这样的速度，8头

牛3天吃多少捆草？多少头牛10天吃60捆草？

分析：每头牛每天吃多少捆草？

练习2

鲨鱼吃小鱼，4头鲨鱼3分钟吃1200条小鱼，按照这样

的速度，5头鲨鱼8分钟吃多少条小鱼？

当单位量不可求时，可以试着把某些量设成单位量来解

决.在设单位量的时候，通常设为“1”份.

一艘远洋轮船上共有30名海员，船上的淡水可供全体

船员用40天.轮船离港10天后在公海上救起15名遇难的

外国海员.假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可

供船上的人再用多少天？

分析：如果设1名海员1天消耗“1”份淡水，那么船

上开始总共有多少多少淡水？10天后呢？

某油库里有一定量的汽油，可以供20辆出租车用35天,

但在这些车用了10天后又从别的地方调来了5辆出租车共

同使用这些汽油，那么剩下的油还能用几天？

前面的几个例题都可以直接算出或设出单位量，但有时

候的归一问题只凭借现在所学的知识无法算出单位量，但可

以根据前后的一些倍数关系的比较来解决，这种方法称为

“倍比法”.

例题4

3只猴子3天吃3个桃子，按照这样的速度，6只猴子6

天能吃几个桃子？9只猴子要吃9个桃子，需要多少天？

分析：条件是3只猴子3天吃，问题是6只猴子6天吃,

它们之间有什么倍数关系？

练习4

2只猫2天能抓2只耗子，那么4只猫4天能抓几只耗

子？

例题5

9个人6天完成了12件作品，按照这样的速度，3个人

3天可以完成多少件作品？21人12天可以完成多少件作

品？

分析：与例题4类似，试着找一下条件与问题间的倍数

关系.

老李从批发市场以6元钱3千克的价格买进一些柚子,

然后以5元2千克的价格卖出去，那么要想获利180元，需

要买进多少千克柚子?

分析：思考下每6千克能获利多少元.

作Q口难言的版7

26.3窣“3只猫3分钟抓住3只老鼠，那么，100分钟抓100只老

名小鼠需要几只猫？”

这是一个很著名的问题.许多同学学了归一法后，在遇到

27.3位这个问题时，都会这么想：3只猫3分钟抓3只老鼠，那3只

老！猫1分钟就能抓1只老鼠，这样一来，它们100分钟恰好就能

抓住100只老鼠.所以需要3只猫就够了！

28.卡莉这是通常的回答，但是3只猫真的够了吗？其实，按题目

要折的说法，虽然能保证3只猫在3分钟内抓住3只老鼠，但并不

每天能保证它们每分钟恰好都抓住1只老鼠.因此，按题目的条件,

设每比较恰当的推理应该是：3只猫6分钟抓住了6只老鼠，9分

钟抓住了9只老鼠，99分钟抓住了99只老鼠.

29.3£问题就在剩下的第100只老鼠.如果3只猫共同追这只老

那么n3好亦寸;个'零彳宇『"'"A口―一-

30.16只兔子一共重60千克，那么36只兔子一共重多少千

克？多少只兔子一共重75千克？

第九讲

假设法解鸡兔同笼

这一讲我们学习鸡兔同笼问题，主要介绍关于“头数和与腿数和”的典

里鸡.兔同笼问题.

练一练

在下面各小题中，根据题意应该把几只鸡换成兔子？

(1)鸡、兔共6只，共有16条腿.

(2)鸡、兔共6只，共有20条腿.

(3)鸡、兔共6只，共有22条腿.

例题1

中国古代的数学著作《孙子算经》中记载了这样的一道题：''今

有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四

句的意思就是：有一些鸡和兔在同一个笼子里，从上面看有35个头,

从下面看有94条腿.请求出笼中的鸡和兔各有几只？

分析：假设如果笼中都是鸡，那么笼子里会有多少个头

和多少条腿？

有一些鸡和兔在同一•个笼子里，从上面看有21个头，从下面看

有48条腿.请求出笼中的鸡和兔各有几只？

在解决鸡兔同笼问题时，往往会分为这样几个步骤：首先，假设笼中全都是

☆

鹃或者兔，根据头数（即动物的个数）求出假设时的腿数，再把假设时的腿数与

实际情况相比较，找到差距和造成差距的原因（例如：把兔假设成鸡造成的腿数

差距），经过调整找到正确结果.

当然，鸡兔同笼问题不仅仅是指这些以“鸡”和“兔子”为内容的题，而说

的是可以用这类思想方法去解决的问题.

例题2

有一些三脚猫和五脚猪在同一个笼子里，从上面看有12个头，

从下面看有50条腿.请求出笼中的三脚猫和五脚猪各有几只？

分析：假设如果笼中都是三脚猫，那么笼子里会有多少

个头和多少条腿？

有一些独脚鸡和三脚猫从上面看有12个头，从下面看有28条

腿.请求出笼中的独脚鸡和三脚猫各有几只？

当然，鸡兔同笼问题不仅仅是指这些以动物为内容的题，而说的是可以用这

类思想方法去解决的应用题.

例题3

同学们去游乐场游玩，老师用500元钱买了套票和普通票两种门

票，普通票10元一张，套票20元一张，共买了35张.请问：两种

门票各买了多少张？

分析：本题该如何假设呢？

王东东老师买包子，肉包子8角一个，菜包子6角一个，结果花

了8元买了12个包子.请问：他买了几个肉包子？

班主任黄老师和班上的50名同学举行中秋晚会.黄老师吃了5块

月饼，男生每人吃了4块，女生每人吃了2块，最后一共吃了135块

月饼.请问班上有几名男生，有几名女生？

分析：之前的问题都只有两种不同的数量，而这道题出

现了老师、男生、女生三类人，能不能变成只有两类人的问

题？

孙悟空带着猴子们摘桃子，一共有15只猴子（包括孙悟空自己）,

他自己摘了