多面体与球的组合体问题

/专题多面体与球的组合体问题TOC\o”1-3”＼h\z\uＨYPＥRＬIＮＫ\ｌ＂_Toc４5141832２"综述 PAGEREF＿Ｔoc451４18322\h2ＨYPERＬINＫ\ｌ"_Ｔｏc451４１8323"１。球与柱体的组合体ﻩPAGERＥF＿Tｏc４514183２3\h2HＹＰＥRLINK\ｌ＂＿Toc4５1418324"1.１球与正方体ﻩPAGEREF_Tｏc45１418324\h2HＹPERLＩNＫ＼l"_Ｔoc4５1４１832５＂１。2球与长方体 PＡＧEＲEF_Toｃ451４１83２5\ｈ3HYPEＲLＩＮK＼l”_Toc4５14１8326”1.３球与正棱柱 PAＧＥREＦ_Ｔｏｃ４51４１8３26\h３HYPＥＲLINK\l＂_Ｔoc45１4183２7"２球与锥体的组合体ﻩPAGEＲEF_Toc45１４１8３２７＼h3HYPERＬＩNＫ\l”＿Toc451４18３28”2．1球与正四面体 PAＧEREF＿Toc4514183２８\ｈ３HYPＥRLＩNK＼l”_Toc4５14１8329"2.２球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 ＰAGERＥF_Ｔoc４5141８329\h4HYPＥRLINK3三视图相结合的组合体问题 PAGEREF＿Toc４5１4１８3３1＼ｈ5HYＰERLIＮＫ\l"_Toc4５1４18332”4。球的截面问题 ＰＡGＥREＦ_Tｏc4514１833２＼h６HYＰＥRLINK＼l"_Tｏｃ451４18３3３”专项训练题球与几何体的组合体问题 PAGＥREＦ_Ｔｏc4５1418333\ｈ6综述在各类考试中,与球有关的问题往往是：外接球一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球，确定其半径的方法主要是：将几何体补为长方体或正方体，化为这两种特殊几何体的外接球问题；利用外接球的球心的特点(到几何体所有顶点的距离相等，先确定球心的轨迹，再列等式,解得半径）解此类题的关键是:球心到多面体的顶点的距离都相等，都等于球的半径，这是确定球心位置的基本依据要知道下列知识：(1）正方体，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处；(2)直棱柱的外接球的球心在高的中点;(３）对于底面是三角形的棱锥，需要知道：在空间，到三角形三个顶点距离相等的点,在经过该三角形外心且与该三角形平面垂直的直线上;(4)对某些特殊的三棱锥，可以将其补成为正(长）方体，三棱锥的外接球就是正(长)方体的外接球内切球也即球在几何体内部，与其所有侧面均相切,这种球的半径往往用体积公式来确定，类似于求三角形内接圆的半径问题。１。球与柱体的组合体1。1球与正方体如图１所示,正方体，设正方体的棱长为,为棱的中点，为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆,则。例将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为(）A。2 ﻩﻩﻩB.4ﻩ ﻩC．８ﻩ ﻩﻩD.161。2球与长方体长方体必有外接球,不一定存在内切球(只有为正方体时才有）。设长方体的棱长为其体对角线为，则，外接球的半径1．3球与正棱柱下面以正三棱柱为例。设正三棱柱的高为底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心．根据几何体的特点，球心必落在高的中点，借助直角三角形的勾股定理,可求。例直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若,,，则球的表面积为（)A.B．C.Ｄ。提示:正弦定理求底面三角形的外接圆半径2球与锥体的组合体２。1球与三棱锥球与正四面体正四面体，即所有棱长均相等的三棱锥，它既存在外接球，也存在内切球，两心合一。棱长为a外接球的半径为，内切球的半径为，二者是3：１的关系，可以用体积来证明。2．2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥例已知正四棱锥的底边和侧棱长均为,则该正四棱锥的外接球的表面积为.36π例在正三棱锥Ｐ—ABC中，PA=PＢ=PC＝，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.C。4Ｄ.变式1：已知正三棱锥AＢC,点P,A，B，Ｃ都在半径为的球面上,若PA，PB,PＣ两两互相垂直，则球心到截面ＡBC的距离为__________＿_．（®变式2：（2０08浙江）已知球的面上四点Ａ、B、Ｃ、Ｄ，,,，则球的体积等于．解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于，,联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为,则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出．故球的体积等于．（如图4)变式３:正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为３,则内切球的半径是多少?CBASO2．4球与其他棱锥CBASO球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥S—ＡＢＣ,可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置．如图８，三棱锥，满足取的中点为，由直角三角形的性质可得：所以点为三棱锥的外接球的球心,则。例矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是()A.B.Ｃ。D.解：由题意分析可知,四面体的外接球的球心落在的中点，此时满足,。变式：1、三棱锥中，底面△ＡBC是边长为2的正三角形，PＡ⊥底面ABC，且PA=2,则此三棱锥内切球的半径为（）2．四面体ＡBＣＤ的四个顶点在同一球面上，AＢ=BC＝CD＝ＤＡ＝3，AＣ＝，BD=,则该球的表面积为A。１4πB．15πC．16πD.18π３、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．3三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图,然后考查其直观图的相关的组合体问题。解答的一般思路是根据三视图还原几何体,根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解．例9某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的球面面积为（)Ａ.5πﻩB。12πﻩC．２0π Ｄ．8π【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.ｅq\ｆ(1６，３）πB．eq\ｆ(19,3）πＣ.eｑ＼f（１9,12)πＤ。eｑ＼f(４，3）π4.球的截面问题必备知识：球的截面是圆，圆的圆心与球心的连线与截面垂直例如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高８cｍ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度,则球的体积为(）A.ｅq＼f（500π，3)cm3ﻩB.eｑ＼f（8６６π,3）cm３C．eq\f（1３72π，3）cm3 D.eｑ\f(2048π，3)cm3专项训练题球与几何体的组合体问题１、正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为（）A。B．C。D．2、已知三角形PAD所在平面与矩形ABCＤ所在平面互相垂直,PA=PD=AＢ＝2，若点P,A，Ｂ,C，D都在同一球面上，则此球的表面积等于（)A。B。C。D．3、正四面体ＡBＣD的棱长为4，E为棱BC的中点，过Ｅ作其外接球的截面，则截面面积的最小值为。（补成正方体，截面与OE垂直时面积最小,4π）4、已知正三棱锥AＢC，点P，Ａ,B，C都在半径为的球面上，若ＰA,PＢ,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为____＿_______.【答案】5、四面体中，共顶点的三条棱两两相互垂直,且其长别分为１、EＱ\ｒ（6)、3，若四面体的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为．（16π)6、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是ｅq\f（32,3），则这个三棱柱的体积为。（48根号3）7、（２013辽宁）已知三棱柱的６个顶点都在球的球面上，若,，，则球的半径为 （)A． B．ﻩC。ﻩＤ.8、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是。99、（２0１2新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形，为球的直径,且,则此棱锥的体积为 （)A． B。 C． D．10、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为Ａ Ｂ ﻩCD１1、四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，△是边长为3的等边三角形。若,则球的表面积为Ａ．Ｂ。C．Ｄ．１2、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为eq\f(9,8），底面周长为3,则这个球的体积为_＿＿___＿_.答案：ｅq\f(4π,3）四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为.1４、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为ａ,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(）A.πa2