向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示及其运算【知识概要】1.向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量3迪点;（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如Q读作向量，3迪点;TOC\o"1-5"\h\za a向量也可以用两个大写字母上面加―►箭头来表示，如.，表示由4到5的向量.a为向AB AB A量的起点，5为向量的终点）.向量A5 （或.）B AB a的大小叫做向量的模，记作网（或a）.注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别;②长度为0的向量叫零向量，记作。.0的方向是任意的注意。与0的区别③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大

小，不确定方向.例1下列各量中不是向量的是（DA.浮力 B.风速C.位移D.密度例2下列说法中错误的是（A）••A•零向量是没有方向的 B零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的例3把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（D）A・一条线段BA・一条线段B.一段圆弧C.上一群孤立点 D.一个单位2）向量坐标的有关概念①基本单位向量：在平面直角坐标系中，方向分别与’轴和，轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为和.iJ②将向量的起点置于坐标原点。，作3Ja cy ^oa.a则0A叫做位置向量，如果点A的坐标为ay）,它在^O.^A a （x,y）

轴和轴上的投影分别为〃n，则x y M,NOA=OM+ON,a=OA=xi+yj.③向量的正交分解在②中，向量0A能表示成两个相互垂直的向量,、，分别乘上i”jTOC\o"1-5"\h\z实数一后组成的和式，该和式称二一x,y _一为.、，的线性组合，这种向量的表示方法叫做向ij坐标，记为a=(x/.

a(x,坐标，记为a=(x/.

a(x,y)一般地，对于以点小y)为起点，点

f P(x,y)为终P(x,y/1 1 1 2 2 2应地就可以把有序实数对I2叫|做的坐(x2-,，y;-y)n瞅pqM上点的向量应地就可以把有序实数对I2叫|做的坐(x2-,，y;-y)n瞅pqM上标，3)4)a—(x,y),b—(x标，3)4)a—(x,y),b—(x,y)，XeR1 1 2 2向量的模；设a-(xj)a-x，y)「由两点间距离公式,a+b=(x+x,y+y);a-b=(x-xj-y);向量的模；设a-(xj)a-x，y)「由两点间距离公式,可求得向量a的模(…_ |a|—xx2+y2・注：①向量的大小可以用向量的模来表示,即用向量的起点与终点间的距离来表示;②向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4已知点4的坐标为(2。)，点5的坐标为(30)A (2,0)B (-3,0)网二4忸卜3，求点「的坐标.一解:一点p的坐标为(612)或(612).TOC\o"1-5"\h\zP ( ,) ( , )55 5 5例5已知助心，求、〃的坐标.2a+b—(-4,3),a-2b—(3,4) a b解：：a—(-L2)/—(-2,-1)- - _例6设向量.日巾rR，化简：a，-b,c，八,hur(1)一九(ha+b-c)-H(九a+b-c)+(H—九)(b—c)TOC\o"1-5"\h\z.2(九Ha4九b-Hc)—X(2-Ha42b)+2Hc——解：都为0.—-► -► —►—► -►.向量平行的充要条件平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量(我们规定0与任一向量平行).已知a与b为非零向量，若a=(x,y),b=(x,y)，则a//b的充要条件是-xJ所以，向量平行的充要条件^ xy—xy 一 一 -12 21可以表示为：a//b=a=九b(其中九为非零实数)=xy=xy.

例7已知向量。=.3，点g_D，若向量ab与a平行，且网二2岳，求向量。B的坐标.解”的坐标为(6,%或(-2,5)..定比分点公式1)定比分点公式和中点公式①PP是直线l上的两点，P是l上不同于PP的TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2任一点，存在实数大，使P产九PP，儿叫做点尸分尸尸所成的比，有三种情PPPP人 r111 2 12况：—一.-♦I 一（内分）九＞0（外分）-1＜（内分）九＞0（外分）-1＜入＜0②已知p,、P（P（x,y）P（x,y(外分)入＜-12 2 2PPfPP（ZeR,人1）.P是直线PP上的一是直线,上任一点，且1 2点，令P(x,y)，则12x=得，这个公y=一九y27 1+Z式叫做线段PP的定比分点公式，特别地5Zt时，PPP 人一1 P12为线段PP为线段PP的中点，此时2x+x 一x=F，叫做线段PP的y+y 121y二一中点公式.注：①PP卜内.咫可得PP注：①PP卜内.咫可得PP=i±|x|-PP2；②当入1时，定比分点的坐标公式X阜乜和

人=-1 x=1+九y上显然都无意义，也就是说，当儿1时，定y1十九2比分点不存在*2)三角形重心坐标公式AABC的三个点的坐标分别为AABC的三个点的坐标分别为A(x,y),B(x,y),C(x,y)1 1 2 2 3 3为mbc的重心，则例8在直角坐标系内P43)p(26)，点P在直线TOC\o"1-5"\h\zP(4,3),P(2,6) PPP上，且1Ppi-2IPPI，求出;的坐标.P12 1 2解：当P在PP上时，P(03)；当P在PP延长线上,12 ' 12P(-8,15)e例9已知A__(，，,是直线.上一点，若

A(3-,〃十，一(4P AB2AP-3AB，求点P的坐标-——rY±——J解1注意定比分点的定点，可得p(一”一5).P( , )2 2仿法提炼*几个重要结论

1.若。1.若。b为不共线向量，则C^,cz+h,人为以〃为邻边a+b a-b a,b的平行四边形的对角线的向量;a+b2+a—b2=2（a2+b2）；3.G为*的重心0GA+GB+GC=0oG（卑产,4±产）[A（XT）B2（2》C3叶厂）]【基础夯实】.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量.与。是共线向量，则A、B、C、D四点ABCD必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等;④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是钻=ABDC

⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量钻、£在Ab同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图 4cAC与共线，虽起点不同，但其终点却相同.BC评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好..下列命题正确的是（CA.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是•平行四边形的四顶点C.•平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行.在下列结论中，正确的结论为(D(1)a〃b且|a|二|b|是a=b的必要不充分条件(2)a〃b且|a|二|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|二|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|W|b|是aWb的充分不必要条件A.(1)(3) B.⑵⑷C.(3)(4)D.(1)(3)(4).已知点A分有向线段sc的比为2,则在下列BC结论中错误的是(D)A.点C分4.的比是-1 B.点AB3C分出的比是-3BAC点C分AC的比是-2 D点3A分B的比是2CB5.已知两点网16)、p(30),点27y)分有向线段PPP1―I,—6)P(3,0) P(-—,y) PPTOC\o"1-5"\h\z12 3 I2所成的比为J则九、的值为(C)人 人yA—1，8 B.i C—. 4 4,-81,—8 D4,i4 , 8AABC的两个顶点A(3,7)和B(-2,5),若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是(A)A(2,-7) B(-7,2)C(-3,-5) D(-5,-3)*■“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件.答案：必要非充分已知a、b是两非零向量,且a与b不共线，若非零向量c与a共线，则c与b必定答案：不共线已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x二即答案：2或72AABC的顶点A(2,3),B(-4,-2)和重心G(2,-1),则C点坐标为*答案：(8,-4)11.已知M为4ABC边AB上的一点，且q %，3 =SAAMC8MBC则M分.所成的比为AB .答案：17【巩固提高】

.已知点A(…、夙52)，线段AB上的三等分点A—(-1,-4) B(5,2) AB依次为P、1的比「人依次为P、1的比「人P PP A,BPP2 1 2 12»：Pi(1,-2),P2(3,0),A、B分班所成的比人、入分别为-1,-2.过P(13)、P(72)的直线与一次函数-2"+8的图P(1,3) P(7,2) y——x十二1 2 5 5象交于点”求P分而所成的比值P P PP12解：A12.已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3,0)、N(-1,-2),求平行四边形的各个顶点坐标解：B(8,—1)C(4,-3)D(一6,-1).设P是AABC所在平面内的一点，BC+BA—2BP，则(B)(A). pa+PB=0 (B)*PC+PA=0

◎PB+PC-0(D).16.若平面向量a,b满足b-(2,(D).16.若平面向量a,b满足b-(2,-1),则a-(-1,1)或(-3,1).a+b-1,a+b平行于i轴，17.在△AbC中，点P在BC上，且/加=2PC,若PA=(4,3),PQ=若PA=(4,3),PQ=(1,5),B.(-2,7)D.(2,-7)则BC等于()A.(-6,21)C.(6,-21)解析：选AAC=2AQ=2(PQ-PA)^(-6,4),PC=lA^AC=(-2,7),BC=3