概率之离散随机变量

概率之离散随机变量第1页，共83页，2023年，2月20日，星期五非等可能事件的概率怎么计算？在概率论中怎么应用微积分理论？··········设{Ω，A，P}为随机试验E的概率空间问题一样本空间Ω中的元素与试验有关,从数学角度看,希望Ω是抽象的集合问题二问题三问题四第2页，共83页，2023年，2月20日，星期五为了全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,将随机试验的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念.在随机试验完成时,人们常常不是关心试验结果本身,而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣.第3页，共83页，2023年，2月20日，星期五随机变量的引入实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.Ω={红色、白色}

非数量将Ω

数量化可采用下列方法红色白色第4页，共83页，2023年，2月20日，星期五即有X(红色)=1,X(白色)=0.这样便将非数量的Ω={红色，白色}数量化了.第5页，共83页，2023年，2月20日，星期五实例2

抛掷骰子,观察出现的点数.S={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有则有第6页，共83页，2023年，2月20日，星期五抛一枚硬币，考察正、反面出现的情况，则这样就把原来有具体含意的样本空间化为直线上的抽象点集如果令则在上述映射下，新的“样本空间”为例，而样本点对应关系为第7页，共83页，2023年，2月20日，星期五设{Ω，A，P}为概率空间是定义在Ω上的单值实函数，若有定义则称为随机变量注一：自变量是实数自变量是样本点因变量是确定的实数因变量是不确定的实数普通函数随机变量注二：是随机变量是事件

随机变量的引入使得所有试验的样本空间都是直线上的集合事件直线上的集合利用微积分来研究随机现象第8页，共83页，2023年，2月20日，星期五随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).2.说明(1)随机变量与普通的函数不同第9页，共83页，2023年，2月20日，星期五随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.(3)随机变量与随机事件的关系第10页，共83页，2023年，2月20日，星期五实例3掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有即X(e)是一个随机变量.第11页，共83页，2023年，2月20日，星期五实例4在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:若用X表示该家女孩子的个数时,则有可得随机变量X(e),第12页，共83页，2023年，2月20日，星期五实例5

设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则是一个随机变量.实例6设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:且X(e)的所有可能取值为:第13页，共83页，2023年，2月20日，星期五实例7设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:第14页，共83页，2023年，2月20日，星期五实例8某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:第15页，共83页，2023年，2月20日，星期五3.随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X的可能值是:随机变量连续型实例91,2,3,4,5,6.非离散型其它第16页，共83页，2023年，2月20日，星期五实例2若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能值是:实例3

设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X的所有可能取值为:第17页，共83页，2023年，2月20日，星期五实例11

随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”.则X的取值范围为(a,b).实例10随机变量X为“灯泡的寿命”.(2)连续型

随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为第18页，共83页，2023年，2月20日，星期五

将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，则样本空间为考虑事件例定义随机变量正面出现的次数则第19页，共83页，2023年，2月20日，星期五很多试验产生的结果本身就是随机变量

考察某地区的日平均气温

日平均降水量都是随机变量例例电子产品的寿命

是随机变量

从一大批产品中随机抽取

件进行测试，其测得的次品数

是一随机变量例例某城市的日耗电量

是一随机变量注一：通常用大写字母

等表示随机变量,用小写字母

等表示实数注二：随机变量简记为第20页，共83页，2023年，2月20日，星期五例

1.1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1，2，3．因此，X是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量．X的取值情况可由下表给出：第21页，共83页，2023年，2月20日，星期五第22页，共83页，2023年，2月20日，星期五我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如表示至少取出2个黑球这一事件，等等．表示取出2个黑球这一事件；由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此变量X是样本空间Ω上的函数：第23页，共83页，2023年，2月20日，星期五例

1.2掷一颗骰子，令：X：出现的点数．则X就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6．表示掷出的点数不超过4这一随机事件；表示掷出的点数为偶数这一随机事件．返回主目录第24页，共83页，2023年，2月20日，星期五例1.3一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品．现从中取出6件，令：X：取出6件产品中的次品数．则X就是一个随机变量．它的取值为0，1，2，…，6．表示取出的产品全是正品这一随机事件；表示取出的产品至少有一件这一随机事件．第25页，共83页，2023年，2月20日，星期五例

1.4上午8:00～9:00在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件．注意Y的取值是可列无穷个！第26页，共83页，2023年，2月20日，星期五例

1.5观察某生物的寿命（单位：小时），令：Z：该生物的寿命．则Y就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数．表示该生物的寿命大于3000小时这一随机事件．表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件．注意Z的取值是不可列无穷个！第27页，共83页，2023年，2月20日，星期五例

1.6掷一枚硬币，令：则X是一个随机变量．说明在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．第28页，共83页，2023年，2月20日，星期五例

1.7掷一枚骰子，在例1.2中，我们定义了随机变量X表示出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：等等．第29页，共83页，2023年，2月20日，星期五

用同一支枪对目标进行射击，直到击中目标为止,则射击次数

是离散型

r.v.离散型r.v非离散型r.v随机变量的分类定义散型随机变量

将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，定义正面出现的次数至多可列的取值为故是离散型

r.v例例114查号台一天接到的呼叫次数

是离散型

r.v电子产品的寿命

是否是离散型

r.v例问？若仅取有限或可列个值，则称

为离第30页，共83页，2023年，2月20日，星期五且r.v的所有可能的取值设

为离散型

r.v,设所有可能的取值为易知的统计规律完全由数列确定定义称为离散型的分布律离散型随机变量的分布律包括两方面①②r.v取各个值的概率§2.2离散型随机变量的概率分布1.离散型随机变量及其概率分布第31页，共83页，2023年，2月20日，星期五

将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记为正面出现的次数,求的分布律的取值为故的分布律为例2.1解,其样本空间为问分布律有什么特点？全部和为1所有样本点遍历一次第32页，共83页，2023年，2月20日，星期五具体写出，即可得X的分布律：例2.2从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．解

X的取值为5，6，7，8，9，10．并且第33页，共83页，2023年，2月20日，星期五例2.3将1枚硬币掷3次，令：X：出现的正面次数与反面次数之差．试求X的分布律．解：X的取值为-3，-1，1，3．并且第34页，共83页，2023年，2月20日，星期五设离散型随机变量X的分布律为则例2.4第35页，共83页，2023年，2月20日，星期五

设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).P{X=3}=(1-p)3p可爱的家园例2.5第36页，共83页，2023年，2月20日，星期五解：

以p

表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X的分布律为：Xpk

01234p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或写成P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625第37页，共83页，2023年，2月20日，星期五.记解

一球队要经过四轮比赛才能出线.设球队每轮被淘汰的概率为记

表示球队结束比赛时的比赛次数，求

的分布律.例2.6可能的取值为通过第轮比赛则代入

求得

的分布律为第38页，共83页，2023年，2月20日，星期五分布律的基本性质：①②证②分布律的本质特征本质特征的含义：离散型r.v的分布律必满足性质①②满足性质的数列必是某离散型r.v的分布律①②第39页，共83页，2023年，2月20日，星期五设随机变量X的分布律为解：由随机变量的性质，得该级数为等比级数，故有所以例2.7第40页，共83页，2023年，2月20日，星期五离散型r.v的概率分布规律相当于向位于处的“盒子”中扔球分布律的几种表示方法解析式法列表法矩阵法想象扔进第

个“盒子”的可能性是第41页，共83页，2023年，2月20日，星期五

严格说单点分布并不具有“随机性”,视为随机变量完全是理论上的需要2.几种重要的离散型随机变量（0）单点分布如果的分布律为则称服从，其中

为常数单点分布注单点分布也称为退化分布某事件发生的概率为则称该事件“几乎处处”发生例如记为或记为或第42页，共83页，2023年，2月20日，星期五一门课程的考试是“及格”还是“不及格”刚出生的新生儿是“男”还是“女”产品检验的结果是“合格”还是“不合格”射击结果是“击中目标”还是“没有击中目标”（一）（0-1）两点分布如果的分布律为则称服从两点分布,其中为常数(0-1)分布的实际背景若一个试验只产生两个结果，则可以用服从(0-1)分布的r.v来描述例例例例第43页，共83页，2023年，2月20日，星期五（二）伯努利试验与二项分布伯努利试验：只产生两个结果的试验伯努利试验产生什么样的随机变量？重伯努利试验：n将伯努利试验独立重复进行

次的试验例2.8某战士用步枪对目标进行射击，记击中目标没击中目标每射击一次就是一个伯努利试验,如果对目标进行

次射击,则是一个

重伯努利试验.例从一批产品中随机抽取一个产品进行检验，记合格不合格每检验一个产品就是一个伯努利试验.

独立地抽件产品进行检验,是否是重伯努利试验？要求概率保持不变如果产品批量很大,可近似看作重伯努利试验人物介绍伯努利问问第44页，共83页，2023年，2月20日，星期五在伯努利试验中，令“独立”是指各次试验的结果互不影响令注“重复”是指在每次试验中概率保持不变记第次试验结果有重伯努利试验中事件

发生的次数则

是一个离散型

r.vquestion问题的分布律是什么？第45页，共83页，2023年，2月20日，星期五①②的取值为发生次发生次次独立试验中重伯努利试验中事件

发生的次数从选个数组合相互独立事件组互不相容第46页，共83页，2023年，2月20日，星期五记从而

的分布律为易知①②定义若的分布律为则称

服从参数为

的二项分布,记为特别当时就是(0-1)两点分布，即重伯努利试验中事件

发生的次数

的分布律刚好是牛顿二项展开式的通项第47页，共83页，2023年，2月20日，星期五二项分布的图形第48页，共83页，2023年，2月20日，星期五

因为元件的数量很大，所以取20只元件可看作是有放回抽样一大批电子元件有10%已损坏,若从这批元件中随机选取20只来组成一个线路,问这线路能正常工作的概率是多少？实际背景：二项分布产生于n重伯努利试验解例2.9,记

表示20只元件中好品的数量，则线路正常第49页，共83页，2023年，2月20日，星期五分析

这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例2.9第50页，共83页，2023年，2月20日，星期五解第51页，共83页，2023年，2月20日，星期五图示概率分布第52页，共83页，2023年，2月20日，星期五

保险业是最早应用概率论的行业之一.保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率.

若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个人参加这类人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，⑴有40个人死亡的概率;⑵死亡人数不超过70个的概率.解例2.10记

为未来一年中在这些人中死亡的人数，则当很大时直接计算二项分布的值是很困难的n①用计算机编程计算②利用第五章介绍的极限定理来计算第53页，共83页，2023年，2月20日，星期五解因此例2.11第54页，共83页，2023年，2月20日，星期五一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．例2.11所以第55页，共83页，2023年，2月20日，星期五二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的次数第56页，共83页，2023年，2月20日，星期五

当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着n的增大，其取值的分布趋于对称

当(n+1)p

整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值第57页，共83页，2023年，2月20日，星期五对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？则由题意例2.12因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验．令：第58页，共83页，2023年，2月20日，星期五

独立射击5000次,命中率为0.001,解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.例2.13(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)

本例启示小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.第59页，共83页，2023年，2月20日，星期五如果随机变量X的分布律为则称随机变量X服从参数为λ的Poisson分布．（三）泊松分布第60页，共83页，2023年，2月20日，星期五分布律的验证⑴由于可知对任意的自然数k，有⑵又由幂级数的展开式，可知所以是分布律．第61页，共83页，2023年，2月20日，星期五在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；第62页，共83页，2023年，2月20日，星期五设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知解：随机变量X的分布律为由已知例2.13得由此得方程得解所以，第63页，共83页，2023年，2月20日，星期五例2.14第64页，共83页，2023年，2月20日，星期五解：设B={此人在一年中得3次感冒}则由Bayes公式，得第65页，共83页，2023年，2月20日，星期五Poisson定理证明：第66页，共83页，2023年，2月20日，星期五对于固定的k，有第67页，共83页，2023年，2月20日，星期五所以，第68页，共83页，2023年，2月20日，星期五Poisson定理的应用由Poisson定理，可知第69页，共83页，2023年，2月20日，星期五设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）．解：设B={600次射击至少命中3次目标}

进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.例2.15所以，第70页，共83页，2023年，2月20日，星期五为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？

解：设需配备

N

人，记同一时刻发生故障的设备台数为X，则X~b(300，0.01），需要确定最小的

N

的取值，使得：例2.16第71页，共83页，2023年，2月20日，星期五查表可知，满足上式的最小的N是8,因此至少需配备8个工人。第72页，共83页，2023年，2月20日，星期五设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法：