模糊集理论及其应用第二章

模糊集理论及其应用第二章1第1页，共55页，2023年，2月20日，星期五第二章模糊映射与模糊数2.1一元模糊映射及其性质(P3~11)2.2多元模糊映射及其性质(P12~17)2.3模糊数及其运算(P18~29)312182第2页，共55页，2023年，2月20日，星期五§2.1一元模糊映射及其性质2.1.1一元经典扩展原理

定义2.1.1

设U,V

为两个论域,则由映射f:U→V可诱导出如下两个集值映射

(i)f:P(U)→P(V)

A→f(A)={f(u)∣uA}.用特征值表示,有

f(A)(v)=∨f(u)=v

A

(u),vV.(2-1-1)(ii)f

-1:P(V)→P(U)

B→f

-1(B)={uU∣f(u)B}.用特征函数表示,有

f-1(B)(u)=B

(f(u)),uU.(2-1-2)我们称由(2-1-1)确定的集值映射f

和由(2-1-2)确定的集值映射f

-1

为普通映射f:U→V

的经典诱导映射;而称式(2-1-1)和式(2-1-2)为一元经典扩展原理;称f(A)为A在f下的像,而f-1(B)称为B在f下的原像,如下图所示目录3第3页，共55页，2023年，2月20日，星期五4第4页，共55页，2023年，2月20日，星期五

例2.1.1设U=V

=(－∞,＋∞),映射

f

:U→V

u→f(u)=sinu.A=[-1,1]P(U),B=[0,1]P(V),则由式(2-1-1)得f(A)=f([-1,1])=[-sin1,sin1]而由式(2-1-2)

f-1(B)=f-1([0,1])=[2nπ,(2n+1/2)π],(n=0,±1,±2,…)目录5第5页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.1.2一元模糊扩展原理

定义2.1.2

设U,V

为两个论域,f:U→V为普通映射，则由f

可诱导出如下两个模糊映射：

(i)f:F(U)→F(V)

A→f(A)其中vV，有

目录6第6页，共55页，2023年，2月20日，星期五通常称由式(2-1-3)和式(2-1-4)所确定的模糊映射为Zadeh型函数.f(A)称为U

上的模糊集A

在f

下的像,而称f-1(B)为V上的模糊集B在f

下的原像.如下图所示7第7页，共55页，2023年，2月20日，星期五

例2.1.2

设U={u1,u2,u3,u4,u5},V={a,b,c,d},映射f

:U→V

定义为

(1)当u{u1,u3}时,f(u)=a;(2)当u{u2,u4,u5}时,f(u)=c;又设A=(0.9,0.3,0.8,0.6,0.7)F(U),试求B=f(A),f-1(B).目录8第8页，共55页，2023年，2月20日，星期五

解:因为f-1(a)={u1,u3},f-1(c)={u2,u4,u5},f-1(b)=

f-1(d)=,所以由式(2-1-3)得

f(A)(a)=∨uf-1(a)

A(u)=A(u1)∨A(u3)=0.9∨0.8=0.9.

f(A)(b)=0,f(A)(d)=0,

f(A)(c)=∨uf-1(c)

A(u)=A(u2)∨A(u4)∨A(u5)=0.3∨0.6∨0.7=0.7.从而得B=f(A)=(0.9,0,0.7,0).而由式(2-1-4)得f-1(B)(u1)=B(f(u1))=B(a)=0.9f-1(B)(u2)=B(f(u2))=B(c)=0.7f-1(B)(u3)=B(f(u3))=B(a)=0.9f-1(B)(u4)=B(f(u4))=B(c)=0.7f-1(B)(u5)=B(f(u5))=B(c)=0.79第9页，共55页，2023年，2月20日，星期五所以

f-1(B)=(0.9,0.7,0.9,0.7,0.7).

由此可见,Af-1(f(A)).

此结论对于任一模糊映射都成立,即定理2.1.1设f:F(U)→

F(V)

为模糊映射,则

(1)

Af-1(f(A)),且f为单射时,等号成立;(2)f(f-1(B))B,且f

为满射时,等号成立.目录10第10页，共55页，2023年，2月20日，星期五下面我们利用分解定理给出模糊扩展原理的几种其它形式.定理2.1.2(扩展原理Ⅰ)设U,V为两个论域,f和f-1为由f:U→V诱导的模糊映射,A∈F(U),

B∈F(V),则(1)f(A)=∪λ[0,1]

f

(A);(2)f-1(B)=∪λ[0,1]

f

-1(B);11第11页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.1.3(扩展原理Ⅱ)设U,V为两个论域,f和f-1为由f:U→V诱导的模糊映射,A∈F(U),

B∈F(V),则(1)f(A)=∪

[0,1]

f

(As);(2)f-1(B)=∪

[0,1]

f

-1(Bs).目录12第12页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.1.4(扩展原理Ⅲ

)设U,V为两个论域,f和f-1为由f:U→V诱导的模糊映射,A∈F(U),

B∈F(V),则(1)f(A)=∪[0,1]

f

(HA()),其中HA()满足

As

HA()A

,

[0,1];(2)f-1(B)=∪

[0,1]

f

-1(HB()),其中HB()满足Bs

HB()B

,

[0,1].13第13页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.1.3模糊映射的基本性质定理2.1.5设f:F(U)→F(V)为模糊映射,{At

|t∈T}F(U),则(1)f(∪t∈T

At)=∪t∈T

f(At);(2)若A,

B

∈F(U)且A

B,则f(A)

f(B);(3)f()=;(4)f(∩t∈T

At)

∩t∈T

f(At).目录14第14页，共55页，2023年，2月20日，星期五

证明:(1)vV,若f-1(v)=,由定义2.1.2知f(∪t∈T

At)(v)=0,且

t∈T,f(At)(v)=0,从而(∪t∈T

f(At))(v)=∨

t∈T

f(At)(v)=0.于是等式成立.若f-1(v)≠,则由式(2-1-3)知f(∪t∈T

At)(v)=∨f(u)=v

(∪t∈T

At)(u)=∨f(u)=v

∨t∈T

At(u)=∨t∈T

∨f(u)=v

At(u)=∨t∈Tf(At)(v)=(∪t∈Tf(At))(v)从而有f(∪t∈T

At)=∪t∈T

f(At).15第15页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.1.6设f:F(U)→F(V)为模糊映射,A∈F(U),[0,1],则(1)f

(As)=f(A)s

;(2)f

(A)=f(A)当且仅当vV,u0U,s.t.f(A)(v)=A(u0).证明:(1)∵vV,有

v

f(A)s

iff

f(A)(v)>

iff

∨u∈f-1(v)

A(u)>

iff

u0U,s.t.f(u0)=v

且A(u0)>iff

u0U,s.t.f(u0)=v

且u0

As

iff

vf

(As).

∴f

(As)=f(A)s

目录16第16页，共55页，2023年，2月20日，星期五注2.1.1:一般说来,f

(A)=f(A)不成立.例2.1.3设U=V=[0,1],f:U→V定义为取A∈F(U),使A(u)=1－u(uU),则vV,由定义2.1.2知取

=1,则f(A)

={0,1},但f

(A1)={f

(0)}={0},故f(A)1≠

f(A1).17第17页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.1.7设f

-1:F(V)→F(U)

为由f:U→V诱导的模糊映射,{Bt|tT}F(V),则(1)保空性:f-1()=;(2)保序性:若B,

G

∈F(V)且B

G,则f-1(B)

f-1(G);(3)保并性:f-1(∪

t∈T

Bt)=∪

t∈T

f-1(Bt);(4)保交性:f-1(∩

t∈T

Bt)=∩

t∈T

f-1(Bt);(5)保逆合性:若B∈F(V),(f-1(B))′=

f-1(B′).目录18第18页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.1.8设f

-1:F(V)→F(U)

为由f:U→V诱导的模糊映射,BF(V),则(1)f-1(B)λ

=

f-1(Bλ);(2)f-1(B)sλ

=

f-1(Bsλ);证明:∵uU,有u

f-1(B)

f-1(B)(u)≥B(f(u))≥λf(u)B

u

f-1(B

)∴f-1(B)

=

f-1(B

)即(1)成立.同理可证(2)也成立.19第19页，共55页，2023年，2月20日，星期五§2.2多元模糊映射及其性质2.2.1二元扩展原理定义2.2.1设Ai∈F(Ui)(i=1,2,…,n),则A1,A2,…,An的Descartes乘积,记作目录20第20页，共55页，2023年，2月20日，星期五定义2.2.2设U1,U2,V为三个论域,f:U1×U

→V为二元普通映射,则由f诱导的二元模糊映射f:F(U1)×F(U2)→F(V)

(A1,A2)→f(A1,A2)的隶属函数为vV21第21页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.2.1(二元扩展原理Ⅰ)设

f:F(U1)×F(U2)→F(V)为二元模糊映射,则(A,B)∈F(U1)×F(U2),有f(A,B)=∪[0,1]

f

(A,B);22第22页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.2.2(二元扩展原理Ⅱ)设

f:F(U1)×F(U2)→F(V)为二元模糊映射,则(A,B)∈F(U1)×F(U2),有f(A,B)=∪[0,1]

f

(AS,BS);目录23第23页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.2.3(二元扩展原理Ⅲ)设

f:F(U1)×F(U2)→F(V)为二元模糊映射,则(A,B)∈F(U1)×F(U2),有f(A,B)=∪λ[0,1]

f

(H1(),H2())其中Hi()(i=1,2)满足条件AS

H1()A,BS

H2())B24第24页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.2.4设f:F(U1)×F(U2)→F(V)为由f:U1×U2→V诱导的模糊映射,[0,1]则(1)f(A,B)S=f

(AS,BS);(2)f(A,B)=f

(A,B),当且仅当vV,(u1,u2)f-1(v),s.t.

f(A,B)(v)=A(u1)∧B(u2).25第25页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.2.2实数论域上模糊集的二元运算下面我们利用二元扩展原理构成实数论域上模糊集合的加,减,乘,除,取大和取小六种二元运算.为此,设L={＋,－,·,÷,∨,∧}为算子集,为

L的任一算符,则可视为二元映射:R×R→R(x,y)→x

y根据二元扩展原理,可将算符扩展到F(R)中去,即定义2.2.3设:F(R)×F(R)→F(R)为由:R×R→R诱导的二元模糊运算,

A,B∈F(R),则A

B=∪λ[0,1]

λ(AλBλ)其中AλBλ={x

y∣x∈Aλ

,

y∈

Bλ},特别地目录26第26页，共55页，2023年，2月20日，星期五A＋B=∪λ[0,1]λ(Aλ＋Bλ),其隶属函数为zR,A-B=∪λ[0,1]λ(Aλ-Bλ),其隶属函数为zR,27第27页，共55页，2023年，2月20日，星期五(3)A·B=∪λ[0,1]λ(Aλ·Bλ),其隶属函数为zR,(4)A÷B=∪λ[0,1]λ(Aλ÷Bλ),其隶属函数为zR,(其中B∈F(/R)-{0})目录28第28页，共55页，2023年，2月20日，星期五(5)A∨B=∪λ[0,1]λ(Aλ∨Bλ),其隶属函数为zR,(6)A∧B=∪λ[0,1]λ(Aλ∧Bλ),其隶属函数为zR,目录29第29页，共55页，2023年，2月20日，星期五例2.2.1设U={0,1,…,4},A,B∈F(U),且A=(0.4,0.2,1,0,0),B=(0,0.3,0.5,0.7,0),求(A+B)(2),(A-B)(2),(A·B)(2),(A÷B)(2),(A∨B)(2),(A∧B)(2).解:

(A+B)(2)=∨x+y=2(A(x)∧B(y))=(A(0)∧B(2))∨(A(1)∧B(1))∨(A(2)∧B(0))=(0.4∧0.5)∨(0.2∧0.3)∨(1∧0)=0.4∨0.2∨0=0.4(A-B)(2)=∨x-y=2(A(x)∧B(y))=(A(2)∧B(0))∨(A(3)∧B(1))∨(A(4)∧B(2))=(1∧0)∨(0∧0.3)∨(0∧0.5)=0(A·B)(2)=∨x·y=2(A(x)∧B(y))=(A(1)∧B(2))∨(A(2)∧B(1))=(0.2∧0.5)∨(1∧0.3)=0.2∨0.3=0.330第30页，共55页，2023年，2月20日，星期五

(A÷B)(2)=∨x÷y=2(A(x)∧B(y))=(A(2)∧B(1))∨(A(4)∧B(2))=(1∧0.2)∨(0∧0.5)=0.2(A∨B)(2)=∨x∨y=2(A(x)∧B(y))=(A(0)∧B(2))∨(A(1)∧B(2))∨(A(2)∧B(2))∨(A(2)∧B(1))∨(A(2)∧B(0))=(0.4∧0.5)∨(0.2∧0.5)∨(1∧0.5)∨(1∧0.3)∨(1∧0)=0.4∨0.2∨0.5∨0.3∨0=0.5(A∧B)(2)=∨x∧y=2(A(x)∧B(y))=(A(2)∧B(2))∨(A(2)∧B(3))∨(A(2)∧B(4))∨(A(3)∧B(2))∨(A(4)∧B(2))=(1∧0.5)∨(1∧0.7)∨(1∧0)∨(0∧0.5)∨(0∧0.5)=0.7可以计算出

(A+B)=(0,0.3,0.4,0.4,0.5).

注:一般说来,A-A=不一定成立,A+A=2·A也不一定成立.由此可见,模糊集合的四则运算与实数的四则运算有着本质的区别(参见书中P37例2.2.2).目录31第31页，共55页，2023年，2月20日，星期五§2.3模糊数及其运算2.3.1凸模糊集及其性质定义2.3.1设R为实数集,A∈F(R),如果对R中满足x<y<z的任意实数x,y和z都有A(y)≥min(A(x),A(z))则称A为R上的凸模糊集.目录32第32页，共55页，2023年，2月20日，星期五

例如:

正态模糊集A∈F(R),

是R上的凸模糊集,其隶属函数曲线如图2.3.1所示,而由图2.3.2所确定的模糊集是非凸的.33第33页，共55页，2023年，2月20日，星期五性质2.3.1

A∈F

(R)为凸模糊集当且仅当λ[0,1],Aλ为区间.

证明:必要性:设A为凸模糊集,λ[0,1],x,zAλ且x<z,则y[x,z],有A(y)≥min(A(x),A(z))≥λ

,故yAλ.这说明若两点在Aλ中,则以这两点为端点的整个区间包含在Aλ中.因此,Aλ是一个区间.

充分性:设λ[0,1],Aλ为区间,对任意实数x<y<z,取λ=

min(A(x),A(z)),则xAλ且zAλ.因为Aλ为区间,故yAλ,即A(y)≥λ=

min(A(x),A(z))于是,由定义2.3.1知为凸模糊集.□34第34页，共55页，2023年，2月20日，星期五性质2.3.2若A,B∈F(R

)均为凸模糊集,则A∩B也是凸模糊集.

证明:

由定理1.4.2(2)知,λ[0,1],

(A∩B)λ=Aλ∩Bλ.因为A,B均为凸模糊集,所以由性质2.3.1知Aλ和Bλ均为区间.而区间的交仍为区间,故(A∩B)λ为区间.于是由性质2.3.1知A∩B为凸模糊集.□目录35第35页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.3.2凸模糊集表现定理定义2.3.2若映射I:[0,1]→P(R)满足(i)0≤λ1<λ2

≤1I(λ2)I(λ1);(ii)λ[0,1],I(λ)为R的子区间;.则称I为R的区间套.记I(R)为R的全体区间套之集.显然,区间套必为集合套,故I(R)u(R).目录36第36页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.3.1(凸模糊集表现定理)设I∈I(R),=∨λ[0,1]

{λ

I(λ)≠},则(1)A=∪λ[0,1]λI(λ)为凸模糊集;(2)xR

,A(x)=∨λ[0,]

{λ

x∈

I(λ)}.37第37页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.3.3模糊数及其性质定义2.3.3设A∈F(R),若λ(0,1],Aλ为R中有限闭区间,则称A为R上的一个模糊数;若A为模糊数,且A1=kerA={a},则称A是关于a的严格模糊数.记R-为R上的全体有限闭区间(称为区间数)所成之集,而记R~为R上的全体模糊数所成之集.显然,如果我们把实数a与单点集{a}等同看待,则实数区间数模糊数凸模糊集即R⊂R-⊂R~⊂c(R)(这里c(R)表示R上的全体凸模糊集所成之集).

目录38第38页，共55页，2023年，2月20日，星期五下面给出两个判别凸模糊集成为模糊数的充分必要条件.定理2.3.2

A∈F(R

)为模糊数iff存在[a,b],使得(1)在[a,b]上,A(x)≡1;(2)在(-,a)中,A(x)为右连续的增函数,且0≤A(x)

<1;(3)在(b,+)中,A(x)为左连续的减函数,且0≤A(x)

<1.39第39页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.3.3

A∈R~

iffλ[0,1],Aλ为非空有界闭凸集.利用这两个定理可以方便地判断一个凸模糊集是否为模糊数,关于模糊数的例子参见教材P40中的例2.3.2.设r∈R~,若aR

s.t.

r(x+a)为偶函数,则称r是对称模糊数.

例如:三角模糊数,正态模糊数,Cauchy模糊数等都是对称模糊数.40第40页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.3.4模糊数表现定理定理2.3.4目录41第41页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.3.5模糊数运算法则

(i)区间数的运算法则定义2.3.4设∈L={＋,－,·,÷,∨,∧}为R上的二元运算,A=[a,b],B=[c,d]为R中两个区间,则z∈R,有([a,b][c,d])(z)=∨xy=z

([a,b](x)∧[c,d](y))目录42第42页，共55页，2023年，2月20日，星期五下面就算符的不同形式,给出区间数的各种运算(1)[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d](2)[a,b]－[c,d]=[a－d,b－c](3)[a,b]·[c,d]=[p,q],其中p=min{ac,bc,ad,bd},

q=max{ac,bc,ad,bd}(4)[a,b]÷[c,d]=[a/d,b/c](c>0,d>0)(5)[a,b]∨[c,d]=[a∨c,b∨d](6)[a,b]∧[c,d]=[a∧c,b∧d]43第43页，共55页，2023年，2月20日，星期五例2.3.1设[a,b]=[－2,2],[c,d]=[1,4],则[－2,2]+[1,4]=[－2+1,2+4]=[－1,6],[－2,2]－[1,4]=[－2－4,2－1]=[－6,1],[－2,2]·[1,4]=[－8,8],其中p=min{－2,－8,2,8},

q=max{－2,－8,2,8},[－2,2]÷[1,4]=[－2/4,2/1]=[－1/2,2],[－2,2]∨[1,4]=[－2∨1,2∨4]=[1,4],[－2,2]∧[1,4]=[－2∧1,24]=[－2,2].44第44页，共55页，2023年，2月20日，星期五

注意:对于区间数的除法运算,若0∈[c,d],则[a,b]÷[c,d]不一定是一个区间数,如

[-1,1]÷[-1,1]={[-1,1]÷[-1,0]}∪{[-1,1]÷[0,1]}=(-∞,-1]∪[-1,+∞)=(-∞,+∞)不是有限闭区间,故不是区间数.目录45第45页，共55页，2023年，2月20日，星期五(ii)模糊数的运算法则定义2.3.5设p,q∈R~,∈L={＋,－,·,÷,∨,∧}则根据分解定理可定义模糊数的运算为(1)p

q=∪λ[0,1]

λ(pλqλ)其隶属函数为(p

q)(z)

=∨xy=z[p(x)

∧q(y)]其中x,y,z∈R(2)设k为非负实数,则r∈R~,k与r的乘积为k·

r=∪λ[0,1]

λ(k

·rλ)其隶属函数为(k·

r)(x)

=∨k·

y

=x

r(y)x,y∈R46第46页，共55页，2023年，2月20日，星期五例2.3.2

设近似等于2的模糊数为目录47第47页，共55页，2023年，2月20日，星期五

例2.3.2

设T(a,),T(a1,1),和T(a2,2)均为三角模糊数,k>0,求T(a1,1)+T(a2,2),k·T(a,).目录48第48页，共55页，2023年，2月20日，星期五

解:因为λ[0,1],有T(a,)λ=[a－(1－λ),a+(1－λ)].所以由定义2.3.5知(1)T(a1,1)+T(a2,2)=∪λ[0,1]λ[T(a1,1)λ+T(a2,2)λ]=∪λ[0,1]λ{[a1－1(1－λ),a1+

1(1－λ)]+[a2－2(1－λ),a2+2(1－λ)]}=∪λ[0,1]λ[a1+a2－(1+2)(1－λ),a1+a2+(1+2)(1－λ)]=T(a1+a2,1+2).(2)k·T(a,)=∪λ[0,1]λ{k·[a－(1－λ),a+(1－λ)]}=∪λ[0,1]λ{[k·a－k·(1－λ),k·a+k·(1－λ)]}=T(k·a,k·)49第49页，共55页，2023年，2月20日，星期五定理2.3.5设k>0,p,q,r∈R~,则∈L={＋－,·,÷,∨,∧},p*q∈R~,k*r∈R~.这说明模糊数关于“＋,－,·,÷,∨,∧”这六种运算和数乘运算都是封闭的.

证明:

因为λ(0,1],pλ,qλ和rλ都是区间数,故有区间数的运算知

pλ*

qλ∈R-,k*rλ∈R-,从而由模糊数的表现定理知,

p*q∈R~,k*r∈R~.50第50页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.3.6模糊数运算性质(i)模糊数的截集运算性质首先介绍一些将在证明模糊数的截集运算性质需用到的概念定义2.3.6设A∈F(U),记

则称和分别为模糊集A的高和底.(1)若u,v∈U,s.t.A(u)=1,A(v)=0则称A为正则模糊集;(2)若,则称A为拟正则模糊集;(3)若u0∈U,s.t.A(u0)=,则称是可达的定理2.3.6设A∈F(R

),