正态分布大数定律与中心极限定理

正态分布大数定律与中心极限定理第1页，共45页，2023年，2月20日，星期五记作其中及＞0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。设连续型随机变量X的概率密度为

1.正态变量的密度函数第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第2页，共45页，2023年，2月20日，星期五特别地，当时，正态分布叫做标准正态分布。其概率密度为2.正态分布的密度曲线若固定μ=0第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第3页，共45页，2023年，2月20日，星期五0.53.正态变量的分布函数4.标准正态分布的密度函数与分布函数第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第4页，共45页，2023年，2月20日，星期五4.正态密度函数的性质第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第5页，共45页，2023年，2月20日，星期五（3）第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第6页，共45页，2023年，2月20日，星期五第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第7页，共45页，2023年，2月20日，星期五

若,求X

落在区间内的概率，其中例题4.1.2例题4.1.1,解：查表可得：故第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第8页，共45页，2023年，2月20日，星期五解查表得第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第9页，共45页，2023年，2月20日，星期五拐点拐点随机变量X落在之外的概率小于3‰。通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性原理，我们常把区间看作是随机变量X

的实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理（或3σ

法则）。第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第10页，共45页，2023年，2月20日，星期五

例4.1.3

把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，调节器的设定温度

为d度,已知液体的温度T是随机变量，且（1）若度的概率；度，求（2）若要求保持液体的温度至少为80度的概率不少于0.99，问d至少为多少度？解（1）由已知，所求的概率为（2）据题意，需求d,使得因为第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第11页，共45页，2023年，2月20日，星期五利用0.9901正态分布表，有所以即故设定温度d至少为81.165度.一般地，给定实数存在实数使得为随机变量X上的则称百分位点.百分位点的解释和应用在数理统计部分还要详细说明第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第12页，共45页，2023年，2月20日，星期五二、正态分布的数字特征1.数学期望第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第13页，共45页，2023年，2月20日，星期五1.方差3.中心矩第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第14页，共45页，2023年，2月20日，星期五若k为偶数，若k为奇数，奇函数对称积分则：第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第15页，共45页，2023年，2月20日，星期五例题4.1.4第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第16页，共45页，2023年，2月20日，星期五例题4.1.5（2009，4分）第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第17页，共45页，2023年，2月20日，星期五二维随机变量(X,Y)的正态分布概率密度表示如下：

其中，参数及分别是随机变量X及Y的数学期望，及分别是它们的标准差，参数参数r

是它们的相关系数。三、二维正态分布1.二维正态分布的密度第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第18页，共45页，2023年，2月20日，星期五2.二维正态分布的边缘密度定理4.2.1

其中第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第19页，共45页，2023年，2月20日，星期五置换积分变量但是，一定注意，反过来，两个一维正态分布未必能确定二维正态分布.第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第20页，共45页，2023年，2月20日，星期五3.二维正态分布的独立性与相关系数应用相关系数公式能够计算出：第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第21页，共45页，2023年，2月20日，星期五另外,若设相关系数为零，则如果随机变量X与

Y

独立,并且都服从正态分布,则在二维正态分布中，独立性与不相关是一致的，这是二维正态分布的一个重要特征.第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第22页，共45页，2023年，2月20日，星期五例4.2.2设随机变量X与Y独立,并且都服从正态分布N(0,1),求的概率密度.解第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第23页，共45页，2023年，2月20日，星期五例题4.2.3第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第24页，共45页，2023年，2月20日，星期五四、正态变量的线性函数的分布定理4.3.1证由于是单调函数，且反函数为第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第25页，共45页，2023年，2月20日，星期五推论定理4.3.2证第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第26页，共45页，2023年，2月20日，星期五以上结论还可以推广到更一般的情况第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第27页，共45页，2023年，2月20日，星期五例题4.3.1定理4.3.3第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第28页，共45页，2023年，2月20日，星期五例题4.3.2第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第29页，共45页，2023年，2月20日，星期五第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第30页，共45页，2023年，2月20日，星期五四、切比雪夫定理

1.背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级1000名学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？2.切比雪夫定理（不等式）：第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第31页，共45页，2023年，2月20日，星期五第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第32页，共45页，2023年，2月20日，星期五第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第33页，共45页，2023年，2月20日，星期五例题4.4.1设独立随机变量并且方差是一致有上界的，即存在某则对于任何正数，恒有

定理2（切比雪夫大数定理）分别有数学期望及方差

D(X1),一常数K，使得第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第34页，共45页，2023年，2月20日，星期五证第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第35页，共45页，2023年，2月20日，星期五第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第36页，共45页，2023年，2月20日，星期五3.依概率收敛定义推论：存在:设独立随机变量服从同一分布,期望及方差则对于任何正数，有第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第37页，共45页，2023年，2月20日，星期五在独立试验序列中,设事件A的概率P(A)=

p，定理3(伯努利定理）按概率收敛于事件A的概率p.即对于任何正数则事件A在n

次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数,有证设随机变量Xi表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…),则这些随机变量相互独立，服从相同的0-1分布，且有数学期望与方差：由切比雪夫定理的推论即得而就是事件A在n次试验中发生的次数m，由此可知第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第38页，共45页，2023年，2月20日，星期五五、中心极限定理1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。设随机变量之和为:且数学期望和方差都存在：设随机变量相互独立,则则和的标准变量为：2.中心极限定理变量的设定第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第39页，共45页，2023年，2月20日，星期五列维定理服从相同的分布，并且有数学期望和方差：则当时，(z为任意实数)设独立随机变量它们和的极限分布是正态分布，即第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第40页，共45页，2023年，2月20日，星期五第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第41页，共45页，2023年，2月20日，星期五各次实验中发生的概率为棣莫弗—拉普拉斯定理n

次实验中发生的次数,则有其中z

是任何实数，设在独立实验序列中,事件A

在随机变量表示事件A在为任意实数第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第42页，共45页，2023年，2月