概率论随机变量的分布函数

概率论随机变量的分布函数第1页，共30页，2023年，2月20日，星期五

———|——>x二、定义设X

是随机变量，x为任意实数，称函数为X的分布函数(distributionfunction)记作X～

F(x)或FX(x)如果将X

看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间的概率.第2页，共30页，2023年，2月20日，星期五三、分布函数的性质1单调不减即若x1<x2，则F(x1)≤F(x2)；2.非负有界F(x+0)=F(x)3.右连续性质1--3是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.第3页，共30页，2023年，2月20日，星期五例1

一袋中有6个球，其中2个标号为1，3个标号为2，1个标号为3,任取1个球，以X表示取出的球的标号，求X的分布函数；并求P｛2≤X≤3｝解：由已知X的可能值为1,2,3．

P{X=1}=2/6,P{X=2}=3/6,P{X=3}=1/6.所以X的分布律为

X 123

pk 2/63/61/6第4页，共30页，2023年，2月20日，星期五

0123F(x)xF(x)的图形为第5页，共30页，2023年，2月20日，星期五它的图形是一条右连续的阶梯型曲线在随机变量的每一个可能取值点x=xk(k=1,2,…),该图形都有一个跳跃，跳跃高度为pk

一般地，对于离散型随机变量X

来讲，如果其概率分布律为,k=1,2,…

其中x1<x2<…

则X的分布函数为第6页，共30页，2023年，2月20日，星期五例2一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的半径平方成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求（1）随机变量X的分布函数．解(1)求随机变量X的分布函数F(x)当0≤x≤2时，P{0≤X≤x}=cx2(c为待定常数)

又因为｛0≤X≤2｝为必然事件,故1=P{0≤X≤2｝故

于是当x<0时,事件{X≤x}为不可能事件,得F(x)=P{X≤x｝=0当x>2时,{X≤x｝为必然事件,于是F(x)=P{X≤x｝=1第7页，共30页，2023年，2月20日，星期五综上所述x0123F(x)的图形F(x)

11/2第8页，共30页，2023年，2月20日，星期五【注】本例中分布函数F(x)的图形是一条连续曲线，且除x=2外，补充定义x=2处函数值为0后，得到第9页，共30页，2023年，2月20日，星期五第四节连续型随机变量及其

概率密度一、定义probabilitydensity.注：(1)由定义知道，改变概率密度f(x)在个别点的函数值不影响分布函数F(x)的取值，因此概率密度不是唯一的.(2)连续型随机变量的分布函数是连续函数.第10页，共30页，2023年，2月20日，星期五二、性质(1),(2)用于验证一个函数是否为概率密度注(4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个．(4)若f(x)在点x处连续，则有第11页，共30页，2023年，2月20日，星期五连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：3.

性质(3)表示P{x1<X≤x2｝等于曲线f(x)在区间(x1,x2]上的曲边梯形的面积。1.

F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。2.说明曲线f(x)与x轴之间的面积等于1。可得计算公式：第12页，共30页，2023年，2月20日，星期五注：

1.

设X为连续型随机变量，对于任意可能值

a

,证明由此知2.若X是连续型随机变量，则有因此，第13页，共30页，2023年，2月20日，星期五

例1:设随机变量X具有概率密度(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。

解:(1)由于

于是X的概率密度为，解得k=3.(2)从而第14页，共30页，2023年，2月20日，星期五练习解(1)第15页，共30页，2023年，2月20日，星期五例2:

连续型随机变量X的分布函数（1）求A，B（2）求X的概率密度（3）P{-1<X<2}解（1）由分布函数的性质知由连续型随机变量的分布函数的连续性知所以B=1.F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以A=1/2于是X分布函数为：（2）X的概率密度为第16页，共30页，2023年，2月20日，星期五分布函数三、三种重要的连续型分布：

1．均匀分布(UniformDistribution)设连续随机变量X具有概率密度则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为XU(a，b).第17页，共30页，2023年，2月20日，星期五均匀分布的意义第18页，共30页，2023年，2月20日，星期五

短时间间隔的股票价格波动等.均匀分布常见于下列情形：在数值计算中的舍入误差；

例3

设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000

欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.解:

由题意，R的概率密度为而第19页，共30页，2023年，2月20日，星期五例3

某车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X

是7:00到7:30之间的均匀随机变量,求他候车时间少于5分钟的概率。解：以7:00为起点0，以分为单位依题意，X

～U(0,30)

从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有车到达车站为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.第20页，共30页，2023年，2月20日，星期五所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.第21页，共30页，2023年，2月20日，星期五若随机变量X的概率密度为常数且大于零,则称X服从参数为的指数分布.X的分布函数为：2.

指数分布显然，f(x)≥0，且第22页，共30页，2023年，2月20日，星期五

f(x)及F(x)的图形:10xF(x)f(x)0x第23页，共30页，2023年，2月20日，星期五【注】1.若随机变量X对任意的s>0,t>0有则称X的分布具有无记忆性.指数分布具有无记忆性

2.指数分布有着重要应用.如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述.第24页，共30页，2023年，2月20日，星期五例4

设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为

求(1)此种灯泡使用寿命超过100小时的概率.(2)任取5只产品,求有2只寿命大于100小时的概率.解:(1)第25页，共30页，2023年，2月20日，星期五或(2)设Y表示5只产品中寿命大于100小时的只数,则故第26页，共30页，2023年，2月20日，星期五解：分析：关键：t>0时,{T>t}={N(t)=0}.

时间间隔大于t，在[0，t]时间内未发生故障。因为{T>t}={N(t)=0},服从参数为λ的指数分布。例4

设设备在任何长为t时间内发生故障的次数N(t)π(λt)的possion分布,求相继两次故障间的时间间隔T的分布函数。~.第27页，共30页，2023年，2月20日，星期五其中,(>0)为常数,则称X服从参数为,

的正态分布，记为.显然，f(x)≥0，且可以证明参数的意义将在后面的章节中给出

(三)正态分布若随机变量X的概率密度为第28页，共30页，2023年，2月20日，星期五正态分布的概率密度函数f(x)的性质(1)曲线关于直线x=

对称.(2)当x=

时，f(x)取得最大值;(3)在x=

处曲线有拐点，且以x轴为渐近线;Of(x)x(4