第八知识块立体几何易错点与备考启示

第8知识块立体几何热点及易错知识热点知识透析1、从知识要求来讲，应包括这些方面：平面，平面的基本性质，平面图形直观图的画法。两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及逆定理。两个平面的位置关系。平行平面的判定和性质、平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。棱柱（包括平行六面体）。棱锥。棱台。多面体。圆柱。圆锥。圆台。球。球冠和球缺。旋转体。体积的概念与体积公理。棱柱、圆柱的体积。棱锥、圆锥的体积。棱台、圆台的体积。球的体积。2、直线和平面：（1）掌握平面的基本性质、空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系（特别是平行与垂直关系）以及它们所成的角和距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算以给出公垂线时的距离。（2）能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直的性质和判定，进行论证和解决有关问题。对异面直线上两点距离公式不要求记忆。（3）会用斜二侧画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。（4）理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。3、多面体与旋转体：（1）理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球以及有关概念和性质。了解球冠和球缺的概念。（2）掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。（3）了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图。（4）对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥、棱台的对角面。棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面的平行于底面的截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。命题规律从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，2至3个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．

高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力

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近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题.概念、方法、易误点及应试技巧总结1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．判定两个平面平行的方法：（1）根据定义——证明两平面没有公共点；（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。3、两个平面平行的主要性质：⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在教材中中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。4、空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角．对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－－的平面角（记作）通常有以下几种方法：(1)根据定义；(2)过棱上任一点O作棱的垂面，设∩＝OA，∩＝OB，则∠AOB＝；(3)利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A，分别作另一个平面的垂线AB(垂足为B),或棱的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则∠ACB＝或∠ACB＝－；(4)设A为平面外任一点，AB⊥，垂足为B，AC⊥，垂足为C，则∠BAC＝或∠BAC＝－；(5)利用面积射影定理，设平面内的平面图形F的面积为S，F在平面内的射影图形的面积为S，则cos＝.5、空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．6、棱柱的概念和性质⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱直棱柱正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。⑶须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。⑷关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与《直线、平面、简单几何体》第一部分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等．从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点．7、球面距离⌒两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。⌒8、球的表面积及体积公式球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。错解剖析易错点一、空间几何体及投影例1、如图，该物体的俯视图是（）.【错解】B【错误分析】：投影方向不对.【答案】：C.例2、水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是（A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D.任意三角形【错解】B【错误分析】：不熟悉斜二侧画法的规则.【答案】：C.例3、正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（）.A. B. C. D.【错解】：A.【错误分析】：对正方体和球的关系理解不清.【答案】：:B.正方体的对角线就是球的直径.易错点二、两条直线之间的位置关系例4、如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）．【错误分析】：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．【答案】见解析【解析】∵梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．

∴AB，CD必定相交于一点，

设AB∩CD＝M．

又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．

∴M∈α∩β．

又∵α∩β＝，∴M∈，

即AB，CD，共点．【易错点点睛】在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论例5、在立方体ABCD－A1B1C1D1

（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？【错误分析】：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影【答案】见解析【解析】(1)连结BD,交AC于点O.(2)BD1和AC是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.【易错点点睛】异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.易错点三、直线与平面之间的位置关系例6、由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A,B,C，O为⊿ABC的外心，求证：.【错误分析】：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝，所以.【答案】见解析【解析】取BC的中点D，连PD、OD，【易错点点睛】证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即可.这些从本题证法中都能十分明显地体现出来例7、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,M为OA的中点，为的中点（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。【错误分析】：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，后者较简便，但新课标地区文科没学空间向量。【答案】（2）（3）【解析】法一：（1）证明：取OB中点E，连接ME，NE又（2）为异面直线与所成的角（或其补角）作连接 ，所以与所成角的大小为（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作于点Q，又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即取,解得(2)设与所成的角为,,与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,由,得.所以点B到平面OCD的距离为【易错点点睛】在作异面直线所成的角时，顶点往往选择在其中一条直线上，而且常常是该线段的端点或中点，在构成角的过程中，常常让其中一条线不动，另一条线沿着某个平面滑动（平移），直到两线相交，在计算异面直线所成的角时，要注意按“作→证→算”的步骤来进行．在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的．例8、如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.【错误分析】：直线和平面所成的角求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。【答案】（1）m＝（2）点Q应当是AICI的中点【解析】（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1⊥A1C1,且D1O1⊥A1A，所以D1O1⊥平面ACC1又AP平面ACC1A1，故D1O1⊥AP.那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。【易错点点睛】求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.易错点四、平面与平面之间的位置关系例9、如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PB＝AB＝2MA．求证：（Ⅰ）平面AMD∥平面BPC；（Ⅱ）平面PMD平面PBD；【错误分析】：证明面面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.【答案】见解析【解析】因为PB平面ABCD，MA平面ABCD，所以PB∥MA．因PB平面BPC，MAeq\o(\s\up0(),\s\do1(/))平面BPC，所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，因为MA平面AMD，AD平面AMD，MA∩AD＝A，所以平面AMD∥平面BPC．（2）连接AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连接EF，MF．因ABCD为正方形，所以E为BD中点．因为F为PD中点，所以EFeq\o(\s\up3(∥),\s\do3(=))eq\f(1,2)PB．因为AMeq\o(\s\up3(∥),\s\do3(=))eq\f(1,2)PB，所以AMeq\o(\s\up3(∥),\s\do3(=))EF．所以AEFM为平行四边形．所以MF∥AE．因为PB平面ABCD，AE平面ABCD，所以PBAE．所以MFPB．因为ABCD为正方形，所以ACBD．所以MFBD．所以MF平面PBD．又MF平面PMD．所以平面PMD平面PBD．【易错点点睛】在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．例10、在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA⊥AB，求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的正切值；（2）D点到平面PBC的距离．【错误分析】：本题是一个无棱二面角的求解问题.确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；【答案】（1）（2）【解析】（1）设AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，则∠EPD=90°，PD⊥PE又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．∵DC∥AB，∴DC⊥平面PAD．由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan（2）由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，因此平面PDC⊥平面PBC，作DH⊥PC，H是垂足，则DH是D到平面PBC的距离．在Rt△PDC中，，DC=2，，．平面PBC与平面PAD成二面角的正切值大小为，D到平面PBC的距离为【易错点点睛】立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来。2022备考启示（一）方法总结1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。（3）直线和平面垂直证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。（4）平面和平面相互垂直证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。（二）2022年高考预测从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，1至3个填