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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精2020-2021学年北师大版数学必修4课时分层作业:1.8.2函数y=Asin(ωx+φ)的性质含解析课时分层作业(十一)函数y=Asin(ωx+φ)的性质(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知函数f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像是()A.关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),0))对称 B.关于直线x=eq\f(π,4)对称C.关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),0))对称 D.关于直线x=eq\f(π,3)对称A[由于T=eq\f(2π,ω)=π,得ω=2,则f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))).当x=eq\f(π,3)时,sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)+\f(π,3)))=0,∴该函数的图像关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),0))对称,故选A.]2.函数y=8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x+\f(π,3)))取最大值时,自变量x的取值集合是()A。eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x=-\f(5π,6)+\f(kπ,3),k∈Z))))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x=\f(π,36)+\f(kπ,3),k∈Z))))C。eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x=\f(kπ,3),k∈Z))))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x=\f(π,9)+\f(kπ,3),k∈Z))))B[∵y的最大值为8,此时sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x+\f(π,3)))=1,即6x+eq\f(π,3)=2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),∴x=eq\f(kπ,3)+eq\f(π,36)(k∈Z),故选B.]3.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,3)))上单调递增,在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(π,2)))上单调递减,则ω等于()A.3B.2C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)C[由题意知,函数在x=eq\f(π,3)处取得最大值1,所以1=sineq\f(πω,3),即ω=eq\f(3,2),故选C。]4.函数y=sin2x的一个单调递增区间可以是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,4),\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2)))C。eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(3π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,π))A[由-eq\f(π,2)+2kπ≤2x≤eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z,得-eq\f(π,4)+kπ≤x≤eq\f(π,4)+kπ,k∈Z,故当k=0时的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,4),\f(π,4)))。]5.将函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))的图像向右平移eq\f(π,8)个单位,所得图像所对应的函数是()A.非奇非偶函数 B.既奇又偶函数C.奇函数 D.偶函数C[将函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))的图像向右平移eq\f(π,8)个单位后,得函数y=sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,8)))+\f(π,4)))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,4)+\f(π,4)))=sin2x,为奇函数,故选C。]二、填空题6.设函数y=1-3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中-\f(π,2)≤x≤0)),当x=________时,函数的最大值为4.-eq\f(5π,12)[由-eq\f(π,2)≤x≤0知-eq\f(2π,3)≤2x+eq\f(π,3)≤eq\f(π,3),当2x+eq\f(π,3)=-eq\f(π,2),即x=-eq\f(5π,12)时,y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))取最小值-1,故y=1-3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))取最大值4。]7.当-eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)时,函数f(x)=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3)))的最大值是________,最小值是________.eq\r(2)-eq\f(\r(2),2)[∵-eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2),∴-eq\f(π,6)≤x+eq\f(π,3)≤eq\f(5,6)π。∵当x+eq\f(π,3)=-eq\f(π,6),即x=-eq\f(π,2)时,f(x)min=-eq\f(\r(2),2),当x+eq\f(π,3)=eq\f(π,2),即x=eq\f(π,6)时,f(x)max=eq\r(2).]8.关于函数f(x)=4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))(x∈R)有下列命题,其中正确的是________.(填序号)①y=f(x)的表达式可改写为y=4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)));②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;③y=f(x)的图像关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),0))对称;④y=f(x)的图像关于直线x=eq\f(π,6)对称.①③[因为4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))=4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)-2x))=4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6))),所以①正确,易得②不正确,而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6)))=0,故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),0))是对称中心,③正确,④不正确.]三、解答题9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0,ω>0,-\f(π,2)<φ<\f(π,2)))一个周期的图像如图所示,(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值;(2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间.[解](1)由题图知,函数f(x)的最小正周期为T=4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)+\f(π,6)))=π,函数的最大值为1,最小值为-1.(2)T=eq\f(2π,ω),则ω=2,又x=-eq\f(π,6)时,y=0,所以sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6)))+φ))=0,而-eq\f(π,2)〈φ<eq\f(π,2),则φ=eq\f(π,3),所以函数f(x)的表达式为f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))),由2kπ-eq\f(π,2)≤2x+eq\f(π,3)≤2kπ+eq\f(π,2),k∈Z,得kπ-eq\f(5π,12)≤x≤kπ+eq\f(π,12),k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ-\f(5π,12),kπ+\f(π,12))),k∈Z。10.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立,且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>f(π),求f(x)的单调递增区间.[解]因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>f(π),故sin(π+φ)〉sinφ,得sinφ〈0,又f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立,故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))=±1,即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)+φ))=±1,eq\f(π,3)+φ=eq\f(π,2)+kπ,k∈Z,φ=eq\f(π,6)+kπ,k∈Z。又sinφ<0,取φ=-eq\f(5π,6),故f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(5π,6)))。令-eq\f(π,2)+2kπ≤2x-eq\f(5π,6)≤eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z,解得eq\f(π,6)+kπ≤x≤eq\f(2π,3)+kπ,k∈Z。故f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+kπ,\f(2π,3)+kπ)),k∈Z。1.已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图像不可能是()D[当a=0时f(x)=1,C符合,当0<|a|<1时T〉2π,且最小值为正数,A符合,当|a|>1时T<2π,且最小值为负数,B符合,排除A、B、C.D项中,由振幅得a>1,∴T〈2π,而由图像知T〉2π矛盾,故选D。]2.将函数y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))的图像向右平移eq\f(π,2)个单位长度,所得图像对应的函数()A。在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12),\f(7π,12)))上单调递减B.在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12),\f(7π,12)))上单调递增C。在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,3)))上单调递减D。在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,3)))上单调递增B[由题可得平移后的函数为y=3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,2)))+\f(π,3)))=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(2π,3))),令2kπ-eq\f(π,2)≤2x-eq\f(2π,3)≤2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),解得kπ+eq\f(π,12)≤x≤kπ+eq\f(7π,12)(k∈Z),故该函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,12),kπ+\f(7π,12)))(k∈Z)上单调递增,当k=0时,选项B满足条件,故选B。]3.ω为正实数,函数f(x)=2sinωπx的周期不超过1,则ω的最小值是________.2[由eq\f(2π,ωπ)≤1,得ω≥2.即ω的最小值为2.]4.设函数f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x+\f(π,5))),若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤
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