第4课时椭圆一轮复习讲义

第4课时椭圆考点点击椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．了解椭圆的参数方程．考向定位1、椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质是高考重点考查内容，多以选择、填空题的形式出现；2、直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查的热点，主要以解答题的形式考查。考纲解读掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质；理解椭圆的参数方程；能根据条件求椭圆方程；会利用椭圆的标准方程求出椭圆的焦点、顶点、离心率、准线方程及解决一些简单的实际问题．重难点重点：椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质难点：利用椭圆的性质解决一些简单的实际问题．考点精讲1、椭圆的定义与标准方程（1）椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.（2）椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.（3）椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.（4）求椭圆的标准方程的方法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.⑴范围：，所以椭圆位于直线和所围成的矩形里.⑵对称性：分别关于轴、轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个（-，0）、（，0）（0，-）、（0，）线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2和2，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜＜1.越接近于1时，椭圆越扁；反之，越接近于0时，椭圆就越接近于圆.3、椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.4、椭圆的参数方程椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.说明⑴这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点的离心角与直线的倾斜角不同：；⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.5、中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角()结合起来，建立+、等关系.6、椭圆上的点有时常用到三角换元：；高考实战1、（2022福建卷文11）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为2、（2022广东卷文7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A．B．C．D．3、（2022全国Ⅱ卷理12文12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则=（A）1（B）（C）（D）24、（2022四川卷理9文10）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案1、C2、B3、B4、D热点体例例1、根据下列条件，写出中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆方程；（1）准线方程为，离心率为；（2）经过点、；（3）长轴长是短轴长的2倍，焦距为．解析：（1）显然焦点在轴上，设椭圆方程为，由条件有，又，解得．∴所求椭圆方程为．（2）设椭圆方程为将点坐标分别代入，得，联立解得m=1，，∴所求椭圆方程为．评注：处理不明焦点位置的椭圆标准方程时，用一般方程可避免分类讨论．（3）由已知得，∴，，又由得，∴所求椭圆方程为或．评注：下结论时，要注意焦点位置．例2、已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，．（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证的面积只与椭圆的短轴长有关．解：设，，由题设．（1）在中，应用正弦定理，得．∵，∴．故，当且仅当时，取等号，∴．（2）在中，由余弦定理得，又，∴．∴.评注：椭圆上的点与两个焦点所成的三角形，常称为焦点三角形，解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理．解题中，通过变形，使之出例3、如图，已知椭圆，直线，P是直线上一点，射线OP交椭圆于点R，点Q在OP上，且满足，点P在直线上移动时，求点Q的轨迹方程．分析：因O、Q、R、P四点共线，则=,由点R、P的运动轨迹，消去、（均为正实数），可求出点Q的轨迹方程．解：设（为正实数），则．故，∴，即①，∵点分别在已知直线与椭圆上，∴，，即为…②，③，将②、③代入①得，即（不同时为0）．故所求的轨迹方程为评注：借助于向量求解，可减少运算量．例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线l过定点，并求出该定点的坐标.解析：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为由已知得：（Ⅱ）设，联立得，则又，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），当，直线过定点（2，0），与已知矛盾；当所以，直线l过定点，定点坐标为达标测试1、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则=______________。2、已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于.xyOAPB3、设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是。xyOAPB4、在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=。5、如图，点A是椭圆eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个顶点．过A作斜率为1的直线交椭圆于另一点P，点B在y轴上，且BP∥x轴，eq\o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(AP,\d\fo1()\s\up7(→))＝9，若B点坐标为（0，1），则椭圆方程是6、已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．8、已知椭圆E的中心在坐标原点O，经过两点．圆F的圆心是椭圆E的右焦点F，且圆F的半径恰等于椭圆的短半轴长．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；(Ⅱ)若点P是圆F上的一个动点，求的取值范围．参考答案1、2、3、4、5、6、D解析：对于椭圆，因为，则7、已知的焦点，在直线上找一点，求以为焦点，通过点且长轴最短的椭圆方程．7、8、(Ⅰ)(Ⅱ)的取值范围思维方法1、求椭圆方程的方法：除了根据定义外，常用待定系数法（先定性，后定型，再定参）.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时，可设方程为（）可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为（,）.2、椭圆有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点，四个顶点），“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）.要注意它们