概率论与数理统计多维随机变量连续

概率论与数理统计多维随机变量连续第1页，共21页，2023年，2月20日，星期五⑶P(0

<

X

1,

0

<Y

2)例4(P88例4)试求：⑴常数C;⑵分布函数F(x,y);⑶P(0<X1,

0<Y2)与P(YX).解⑴由规范性知：∴C=12;⑵记为G

yxoGGP(X

Y)

第2页，共21页，2023年，2月20日，星期五例5

设r.v.(X,Y)的联合d.f.

为其中k

为常数.求常数k;

P(X+Y1),P(X<0.5);

联合分布函数F(x,y);

边缘d.f.

与边缘分布函数例5第3页，共21页，2023年，2月20日，星期五y=x10xy解令D(1)第4页，共21页，2023年，2月20日，星期五x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.5第5页，共21页，2023年，2月20日，星期五的分段区域y=x10xyD第6页，共21页，2023年，2月20日，星期五当0

x<

1,0y<

x

时，1(3)当x<0或y<0时,

F(x,y)=0当0

x<1,xy<1时，v=u10uv第7页，共21页，2023年，2月20日，星期五当0

x<1,y1时，v=u10uv1第8页，共21页，2023年，2月20日，星期五当x

1,0y<1时，v=u10uv1当x

1,y1时，第9页，共21页，2023年，2月20日，星期五F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<1,0y<

x

，2x2y2–y4,

0

x<1,x

y<1，2x2–x4,0

x<1,y1，y4,x

1,0y<1，1,x

1,y1，第10页，共21页，2023年，2月20日，星期五(4)=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,1,x

10,y<0y4,0y<

1,

1,y1=第11页，共21页，2023年，2月20日，星期五第12页，共21页，2023年，2月20日，星期五

yxoG设G是平面上的有界区域,其面积为S.若二维随机变量

(X,Y)的概率密度为则称(X,Y)在G上服从均匀分布.

向平面上有界区域

G

内任投一质点，四、两个常见的二维分布1.均匀分布B若质点落在

G

内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布..第13页，共21页，2023年，2月20日，星期五若二维随机变量(X,Y)具有概率密度其中均为常数,2.正态分布则称(X,Y)服从参数为的二维正态分布.记作(X,Y)～N().且第14页，共21页，2023年，2月20日，星期五§2边缘分布联合分布F(X,Y)（X,Y）整体地看局部地看FY(y

)FX(x

)XY二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.问题：二者之间有什么关系吗?分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数但作为一维随机变量,X,Y也有自己的分布函数.由联合分布可以确定边缘分布由边缘分布一般不能确定联合分布反之?转化为一维时的情形第15页，共21页，2023年，2月20日，星期五FX(

x

)=F(x,+)X和Y的联合分布函数为F(x,y

),则(X,Y)关于X的边缘分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数为二、连续型二维随机变量的边缘概率密度(X,Y)关于Y的边缘概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率密度为第16页，共21页，2023年，2月20日，星期五例2设(X,Y)的概率密度是解求边缘密度.分段函数积分应注意其表达式

yx01y

=

xy

=

x2

在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限.第17页，共21页，2023年，2月20日，星期五

yx-a0

a

例3(P93

例6)

设(X,Y

)服从椭圆域上的均匀分布,求(1)

求(X,Y

)的边缘密度函数解(1)由题知(X,Y)的概率密度为同理可得(2)

(2)

,其中A为区域:X与Y不服从均匀分布二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布

yxa0

a

Ax+y=a第18页，共21页，2023年，2月20日，星期五解例4

(P94例7)求二维正态分布的边缘密度.～～二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布均与

无关逆命题成立吗？由边缘分布一般不能确定联合分布请看下例第19页，共21页，2023年，2月20日，星期五例5(P96)

若二维随机变量(

X,Y)的概率密度为求边缘密度函数

解同理～～但反之不真二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正态分布的联合分布未必是正态分布但反之不真第20页，共2