黑龙江省哈尔滨市重点中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题及参考答案

级高二下学期4月月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列10，9，8，7，6，……，则该数列的公差是（）A．0.5 B．1 C．－1 D．－0.52．已知，，且A与B相互独立，则（）A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.883．已知等差数列满足，则数列的前9项和（）A．9 B．18 C．36 D．724．成对样本数据Y和x的一元线性回归模型是，则下列四幅残差图满足一元线性回归模型中对随机误差e的假定的是（）A． B．C． D．5．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列。类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（）A．36 B．25 C．49 D．646．已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（）A． B． C．7．某大学毕业生为自主创业于2019年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2019年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款，计划于2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划还款的所有还款数额比按原约定还款的所有还款数额少（）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率。1年按12个月计算）A．27450元 B．22450元 C．18300元 D．28300元8．已知等差数列为单调递增数列，且前三项和为9，前三项积为24，数列的前n项和为且，则（）A．当时，的值最小 B．当时，的值最大C．当时，的值最小 D．无最值二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．设公比为q的等比数列，若则（）A． B．当时，C．和的等比中项为4 D．10．设等差数列的前n项和为，若，则（）A． B． C． D．11．已知为数列前n项和，则下列结论成立的有（）A．若数列为等比数列，且，则数列为等差数列B．若数列为等差数列，若，则C．若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，且，则公差为2D．若数列的通项公式为，则该数列的前100项和12．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如：，，则（）A． B．n为素数时，C．数列是等比数列 D．Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．已知数列的前n项和为，且，则。14．已知等比数列的前n项和为，若，，则。15．甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加学校组织的朗诵比赛，决出第1名到第5名的名次。甲和乙去询问成绩，评委对甲说：“很遗憾你和乙都没得到冠军。”对乙说：“你当然不会是最差的。”从这两个回答分析，5人的名次排列有种不同情况。（用数字作答）16．已知数列的前n项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有．若，则的值为．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17．（本小题10分）等比数列的公比为2，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18．（本小题12分）在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列的前n项和为，，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明数列的前n项和．19．（本小题12分）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A、B两名同学中产生，测试方案如下：A、B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率是，A、B两名同学作答问题相互独立．（1）设A答对的题数为X，求X的分布列；（2）设B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由。20．（本小题12分）已知数列满足．数列满足，且．（1）求数列，的通项公式；（2）求的前n项和．21．（本小题12分）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项之积为，且．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求对所有的正整数n都有成立的k的范围．22．（本小题12分）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务．A市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：元）频数2035251055（1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望；（2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．活动规则是：某张方格图上共61个方格，依次记为第0格、第1格、第2格、…、第60格．棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束。①设棋子移到第n格的概率为（其中），求证：当时，是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．2021级高二下学期4月月考数学试题答案1-8．C B C B A B A C9-12．ABD ABC ACD ABC13-16．9；3；54；17．【答案】（1）， （2）【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且，，成等差数列，∴，∴，解得，∴，：（2），∴．综上，．18．【答案】（1）， （2）【详解】（1）由于是等差数列，设公差为d，当选①②时：，解得，所以的通项公式，．选①③时，解得，所以的通项公式，．选②③时，解得，所以的通项公式，．（2）由（1）知，，所以，所以，∵∴19．【答案】（1）略 （2）选择A同学，理由见解析【详解】（1）设A答对的题数X，则，且，，则X的分布列为：X23P（2）设B答对的题数Y，且，，，，由（1）知：，，而，，所以，，故选择A．20．【答案】（1），【详解】（1）由题可知，①，所以，②，①－②得，所以（*），又因为，所以，符合（*）式，所以，．∵，∴，则，所以为等比数列．又因为，所以，（2）由（1）可知，∴21．【答案】（1）， （2）【详解】（1）设等比数列的公比为，，∵，，成等差数列，∴，∴，化为：，，解得．又满足，∴，即，解得，∴，（），∵数列的前n项之积为，∴，∴，即，∴是以2为公差的等差数列．又，即，（2）由（1）知，所以恒成立，所以数列单调递减，即又因为对所有的正整数n都有成立，所以，由可得，若恒成立，只需即可，又，当且仅当，即时成立所以22．【答案】（1）16.372；（2）①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析．【解析】（1）根据数据算出，由Z服从正态分布，算出概率，即，进而算出X的数学期望；（2）①棋子开始在第0格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即．棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以，即，进而求证当时，是等比数列；②由①知，，，…，，得，所以，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率．【详解】解：（1），因为Z服从正态分布，所以．所以，所以X的数学期