广东省汕尾市重点中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题及参考答案

-2023学年下学期汕尾市重点中学高二3月月考数学试卷（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）★祝考试顺利★第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9．5尺，立夏当日日影长为2．5尺，则春分当日日影长为（）A．4．5尺B．5尺C．5．5尺D．6尺2．曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．或3．已知数列为等差数列，且，，则等于（）A．40B．42C．43D．454．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度（）随开窗通风换气时间（）的关系如下图所示．则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（）A．B．C．D．5．已知为正项等比数列的前项和，，且，，成等差数列，则（）A．2B．C．D．46．已知函数在处取得极值10，则实数（）A．4或B．4或C．4D．7．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（）A．110B．100C．90D．808．设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（）A．在单调递增B．在单调递减C．在上有极大值D．在上有极小值二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．B．C．D．10．已知函数，则（）A．成立B．是上的减函数C．1为的极值点D．只有一个零点11．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0．618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为，数列满足，．再将半径为，圆心角为的扇形面积设为，则（）A．B．C．D．12．若方程和的根分别为，和，，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若，则________．14．函数的极值点为________．15．已知函数满足，且在上的导数满足，则不等式的解集为________．16．对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时，都有；③当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：①；②；③；④．则其中是“偏对称函数”的函数序号为________．四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？18．（12分）求下列函数的导数：（1）；（2）．19．（12分）已知函数在处有极值2．（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值．20．（12分）已知函数．（1）若在区间上为增函数，求的取值范围；（2）若的单调递减区间为，求的值．21．（12分）已知数列的通项公式为，在等差数列中，，且，又，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．22．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）已知，且，若，求证：．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解．【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为．故选：D2．解析：导数y′＝3－3x2，则切线斜率k＝3－3×22＝－9，所以切线方程为y－（－2）＝－9（x－2），即切线为y＝－9x＋16，故选A．3．解析：设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋3d＝13，∴d＝3，故a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42．故选B．4．【答案】C【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，由图可知，所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；故选：C5．解析：设数列{an}的公比为q（q>0），则由S3＝3a1＋2a2可得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1（舍去），又，a4，a5成等差数列，所以，即，所以．故选C．6．解析：∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b．∵f（x）在x＝1处取得极值10，∴即解得或经检验时函数f（x）在R上单调递增，无极值，不符合题意，当时函数f（x）在x＝1处取得极小值10，∴故选C．7．【答案】A【分析】根据所给数列的项归纳出通项公式，利用分组求和法求和即可．【详解】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，，因为，所以数列的前20项和为：，故选：A8．解析：令g（x）＝xf（x）（x>0），则g′（x）＝xf′（x）＋f（x），∵x2f′（x）＋xf（x）＝lnx，∴，∴，∴当0<x<1时，g′（x）<0，当x>1时g′（x）>0，∴g（x）在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，∵，∴，∴g（x）在（0，＋∞）上有极小值，即xf（x）在（0，＋∞）上有极小值，故选D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【答案】BCD【分析】利用导数的运算对四个选项一一求导，即可判断．【详解】对于A：．故A错误；对于B：．故B正确；对于C：．故C正确；对于D：．故D正确．故选：BCD10．【答案】CD【分析】本题首先可根据求导得出，然后利用导函数求出函数的单调性，最后结合单调性求出函数的最值，即可得出结果．【详解】因为，所以，当时，，，即当时是增函数，B错误，当时，，，即当时是减函数，则当时，取极小值，即最小值，，，故A错误，C正确，D正确，故选：CD．11．解析：由题意得，则，则选项A正确；又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3），所以an－2＝an－an－1（n≥3），a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝（a3－a2）＋（a4－a3）＋（a5－a4）＋…＋（a2021－a2020）＝a2021－a2＝a2021－1，则B正确；数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3），即an－1＝an－an－2，两边同乘an－1，可得，则，则选项C错误；由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－（a2020）2＋a2018·a2020－（a2019）2＝a2019·（a2021－a2019）＋a2020·（a2018－a2020）＝a2019·a2020＋a2020·（－a2019）＝0，则选项D正确．故选ABD．12．解析：由题，x1，x2和x3，x4分别是和的两个根，即y＝m与和交点的横坐标．对于函数，定义域为{x|x≠0}，，所以函数在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增，且x＝1时，y＝－1；对于函数，，所以函数在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）单调递减，且当x→＋∞，y→－2，x＝0时，y＝－2，x＝1时，y＝－1；故作出函数，的图象如图所示，注意到：当x∈（0,1）时，，由图可知，0<x3<x2<1，m∈（－2，－1），从而，解得，所以选项AD正确，选项C错误，又－1＝x1x2<x1x3<0．故选ABD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】【分析】先求出的解析式，再求即可．【详解】由题设，，∴．故答案为：14．【答案】【分析】利用导数求的极值点．【详解】由题设，当时，，递减；当时，，递增；所以由极小值点为，无极大值点．故答案为：15．．解析：令g（x）＝f（x）－x，则g′（x）＝f′（x）－1<0，∴g（x）在R上单调递减．由f（x2）<x2＋1，得f（x2）－x2<1，即g（x2）<1．又g（2）＝f（2）－2＝1，∴g（x2）<g（2），∴x2>2，解得或．故不等式的解集为．16．4．解析：由知，当时，导函数f′（x）<0，函数f（x）在上单调递减；当时，导函数f′（x）>0，函数f（x）在上单调递增．由题意可知函数f（x）的草图如图所示，由图象可知方程f（x）＝cosx在[－2π，2π]上的根的个数为4．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】第二种方式获奖者收益更多．【分析】从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求和，比较即可得结果．【详解】从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，即，，所以共获奖金元，由于，故第二种方式获奖者收益更多．18．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据复合函数的求导法则可得结果．（2）同样根据复合函数的求导法则可得结果．【详解】（1）令，，则，而，，故．（2）令，，则，而，，故，化简得到．【点睛】本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的导数，本题属于容易题．19．已知函数在处有极值2．（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值．【答案】（1），；（2）最小值是-2，最大值是2．【分析】（1）由题意知，，求的导函数，代入计算可得的值，注意检验；（2）在上的单调区间，从而确定最小值，计算端点值比较可求出最大值．【详解】解：（1），∵函数在处取得极值2，∴，解得，，经验证在处取极值2，故，（2）由，令，解得令，解得或，因此，在递减，在递增，的最小值是而，故函数的最大值是2．20．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增．利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知．因为，所以．由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题．21．解：（1）∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9．∵在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，则b2＝5．设等差数列{bn}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，∴（1＋5－d）（9＋5＋d）＝64，解得d＝－10或d＝2．∵bn>0，∴d＝－10应舍去，∴d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1，故anbn＝（2n＋1）·3n－1．（2）由（1）知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋（2n－1）3n－2＋（2n＋1）3n－1，①3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋（2n－1）3n－1＋（